课件33张PPT。11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
11.3.2 直线与平面平行第十一章 立体几何初步1.掌握空间平行线的传递性的内容及应用.
2.理解空间等角定理的内容及应用.
3.理解异面直线的概念，会判断两直线是否异面.
4.理解直线与平面平行的判定定理、直线与平面平行的性质定理.
5.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：1.空间平行线的传递性与等角定理的应用.
2.通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理.
难点：等角定理中角的相等与互补的辨别，异面直线的判断，线面平行的判定定理与性质定理的应用.1.空间平行直线的传递性
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行.
上述结论（2）通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：
如果a∥b，a∥c，则 .一、平行直线b∥c2.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内.
如图，直线l与直线AB是异面直线.二、异面直线异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.
其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.
空间四边形用表示顶点的4个字母表示.
如图所示为空间四边形ABCD，
这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，
对角线为 ， .三、空间四边形ACBD直线与平面平行的判定定理（简称为线面平行的判定定理）
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.四、直线与平面平行直线与平面平行的性质定理（简称为线面平行的性质定理）
如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行.??例1一 平行线的传递性与等角定理的应用常考题型如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.
求证：（1）四边形BB1M1M为平行四边形.
（2）∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】（1）∵ ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴ AD＝A1D1且AD∥A1D1，AA1＝BB1且AA1∥BB1.
∵ M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴ AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴ 四边形AMM1A1为平行四边形，
∴ MM1＝AA1且MM1∥AA1.
∴ MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴ 四边形BB1M1M为平行四边形.（2）（方法1）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴ B1M1∥BM.
同（1）可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴ C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴ ∠BMC＝∠B1M1C1.
（方法2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴ BM＝B1M1.
同（1）可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴ CM＝C1M1.
又∵ BC＝B1C1，∴ △BCM≌△B1C1M1，
∴ ∠BMC＝∠B1M1C1.解题归纳证明两条直线平行的两种方法
（1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点.
（2）寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与第三条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.
证明角相等的两种方法
（1）利用定理.
（2）利用三角形全等或相似.变式训练如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点.
求证：（1） EF平行且等于E1F1.
（2）∠EA1F＝∠E1CF1.【证明】（1）连接BD， B1D1（图略）.在△ABD中，
∵ E，F分别为AB， AD的中点，∴ EF平行且等于BD.
同理E1F1平行且等于B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵ AA1平行且等于DD1， AA1平行且等于BB1，∴ B1B平行且等于DD1，
∴ 四边形BDD1B1是平行四边形，
∴ BD平行且等于B1D1，∴ EF平行且等于E1F1.（2）取A1B1的中点M，连接BM，F1M（图略）.
∵ MF1平行且等于B1C1， B1C1平行且等于BC，∴ MF1平行且等于BC，
∴ 四边形BCF1M是平行四边形，
∴ MB∥CF1.
∵ A1M平行且等于EB，∴ 四边形EBMA1是平行四边形，
∴ A1E∥MB，∴ A1E∥CF1.同理 A1F∥E1C.
又∠EA1F与∠E1CF1两边的方向均相反，
∴ ∠EA1F＝∠E1CF1.例2二 空间两直线位置关系的判定如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下
列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
④直线AB与直线B1C的位置关系是 .【解析】 根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”.点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面解题归纳空间中两直线位置关系的判断方法
1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法.
2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法.由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.变式训练若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是（ ）
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面D三 线面平行的判定与性质
<1>线面平行的判定例3??解题归纳?变式训练［2019·河南安阳模拟］如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.求证：MN∥平面PAB.?解题归纳?【点评】
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找（或作出）平面内与已知直线平行的直线. 常利用平行四边形、三角形中位线、平行线的传递性等确定，特别注意“线在面内”这一关键条件，不可忽视.<2>线面平行的性质定理的应用例4如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为 .【解题提示】 由题意结合线面平行的性质定理和三角形中位线的性质求出线段PQ的长即可.?解题归纳利用线面平行的性质定理证题的一般步骤变式训练［2019·云南玉溪一中高二期末］如图，在四面体ABCD中，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.求证：四边形EFGH是平行四边形.?解题归纳【注意】
在利用直线与平面平行的性质定理时，不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得到这条直线.一、平行直线1.平行直线的传递性
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示：如果a∥b，a∥c，则b∥c.2.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.二、异面直线不能同时在任何一个平面内的两条直线.
判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.三、直线与平面平行??课件39张PPT。11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行第十一章 立体几何初步1.理解平面与平面平行的判定定理.
2.理解平面与平面平行的性质定理.
3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用.
难点：两个定理的应用.1.平面与平面平行的判定定理（简称为面面平行的判定定理）
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.平面与平面平行推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.?2.平面与平面平行的性质定理（简称为面面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m.常用结论：
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段 .成比例例1一 平面与平面间的位置关系常考题型??解题归纳【点评】
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，若没有公共点则平行，若有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类问题的关键.变式训练如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 （ ）
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定C例2二 面面平行的判定与性质
<1>线面平行的判定如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.【解题提示】 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.?解题归纳判断或证明面面平行的方法
（1）平面与平面平行的定义（常用反证法）.此法很少使用.
（2）平面与平面平行的判定定理.
（3）判定定理的推论.
（4）如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（平行的传递性）.变式训练1.［2019·河南平顶山高一期末节选］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是CB，CD，CC1的中点.
求证：平面AB1D1∥平面EFG.?解题归纳【解题通法】
要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再作辅助线.变式训练??解题归纳【方法技巧】
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想，解题时既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.<2>面面平行的性质定理的应用例3?（1）【解】 若AB，DE异面，则A，B，D，E不在同一个平面上，则AD不平行于BE.∴ 不一定有AD∥BE∥CF.?解题归纳证明线线平行的常用方法
（1）平行公理（即公理4）.
（2）线面平行的性质定理，a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
（3）面面平行的性质定理，α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.变式训练1.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.【证明】因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC＝B，所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.解题归纳利用面面平行的性质定理证明的一般步骤变式训练2. ［2019·安徽滁州高二检测］如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心.
（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′.
（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.?解题归纳【解题提示】
（1）利用三角形重心性质和平行线分线段成比例，依据面面平行判定定理证明面面平行；
（2）由面面平行性质定理推得线线平行，从而可知三角形相似，进而可得相似比.三 与线、面平行相关的计算问题例4已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S.已知AS＝6，BS＝9，CD＝10.
（1）若点S在平面α，β之间，则SC＝ .
（2）若点S不在平面α，β之间，则SC＝ .【解题提示】 找到与两平行平面相交的第三个平面→线线平行→利用平行线分线段成比例列式求解.?① ②解题归纳【点评】
空间中的平行关系问题，可以通过转化与化归，化为平面上的平行线截线段成比例问题或相似三角形问题，然后利用比例及比例的性质进行有关计算.变式训练如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围.?解题归纳【点评】
先利用线面平行的性质定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用三角形相似，将周长问题转化为相似三角形的比值问题求解.四 与平行有关的探索性问题例5如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，证明你的结论.?解题归纳探索性问题的解决策略
一般采用执果索因的方法解决，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了符合题目结果要求的条件，则存在；若找不到符合题目结果要求的条件（出现矛盾），则不存在.变式训练［2019·黑龙江大庆实验中学高一期末］如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，E，F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝B1F，过点B作截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N.
（1）若EC＝3BF，确定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并说明理由.
（2）K，R分别为AA1，C1B1中点，求证：KR∥平面AEF.?解题归纳【点评】
对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，再证明猜想的正确性.这两种方法都可培养创造性思维.平面与平面平行?2.平面与平面平行的性质定理（简称为面面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号表示：如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则l∥m.
常用结论：
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
