北师大版八年级数学下学期 第5章 分式与分式方程 单元练习卷 含解析

第5章 分式与分式方程
一．选择题（共12小题）
1．在xy，，（x+y），这四个有理式中，分式是（　　）
A．xy B． C．（x+y） D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠2 C．x＝1 D．x＝2
3．若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
4．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5．如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小5倍 C．扩大2倍 D．扩大5倍
6．下列分式是最简分式的（　　）
A． B．
C． D．
7．分式，，的最简公分母是（　　）
A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1）
C．a2+1 D．（a﹣1）4
8．下列各式中分式方程有（　　）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3＝a+4；（3）；（4）＝1．
A．1 B．2 C．3 D．以上都不对
9．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（　　）
A．﹣7 B．﹣12 C．﹣20 D．﹣34
10．对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）?x＝2，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．﹣
11．分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2
12．在阳明山国家森林公园举行中国?阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间，几名同学包租一辆车前去游览，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加游览的学生共有x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
13．当x　 　时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
14．若分式的值为0，则x的值为　 　．
15．当x分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个值，将所有这些值相加得到的和等于　 　．
16．若关于x的方程＝3的解为正数，则m的取值范围是　 　．
17．对于实数a，b定义一种新运算“?”：a?b＝，例如，1?3＝＝﹣．则方程x?2＝﹣1的解是　 　．
18．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则增根为　 　．
三．解答题（共5小题）
19．计算
（1）
（2）
20．先化简，再求值：（m+2+）÷，其中m＝﹣1．
21．若关于x的方程+＝有增根，求增根和k的值．
22．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法．
如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
23．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书．
（1）每本书第一次的批发价是多少钱？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？



参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在xy，，（x+y），这四个有理式中，分式是（　　）
A．xy B． C．（x+y） D．
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．属于整式中单项式，不合题意；
B．属于整式中的单项式，不合题意；
C．属于整式中的多项式，不合题意；
D．属于分式，符合题意；
故选：D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠2 C．x＝1 D．x＝2
【分析】分式有意义：分母不为零．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．
故选：A．
3．若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵|x|﹣1＝0，
∴x＝±1，
当x＝1时，x+1＝2≠0，
∴x＝1满足条件．
当x＝﹣1时，x+1＝0，
∴当x＝﹣1时不满足条件．
故选：A．
4．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据分式有意义的条件先确定x的取值，再将分式化简即可求解．
【解答】解：原式＝＝
因为x为整数，分式的值也为整数，
所以当x取0、1、3、4、6时，分别代入，得
分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1．
所以所有符合条件的x的值有5个．
故选：B．
5．如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小5倍 C．扩大2倍 D．扩大5倍
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【解答】解：根据题意，
得
＝
＝．
∴分式的值不变．
故选：A．
6．下列分式是最简分式的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝，故本选项错误；
C、，不能约分，故本选项正确；
D、＝＝，故本选项错误；
故选：C．
7．分式，，的最简公分母是（　　）
A．（a2﹣1）2 B．（a2﹣1）（a2+1）
C．a2+1 D．（a﹣1）4
【分析】利用最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母或整式的最高次幂，所有不同字母或整式都写在积里求解即可．
【解答】解：＝，，＝，
所以分式，，的最简公分母是（a﹣1）2（a+1）2．即（a2﹣1）2
故选：A．
8．下列各式中分式方程有（　　）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3＝a+4；（3）；（4）＝1．
A．1 B．2 C．3 D．以上都不对
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3＝a+4是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）＝1是分式方程．
故选：B．
9．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（　　）
A．﹣7 B．﹣12 C．﹣20 D．﹣34
【分析】先根据不等式组无解解出k的取值范围，再解分式方程得y＝，根据方程有解和非正整数解进行综合考虑k的取值，最后把这几个数相加即可．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴10+2k＞2+k，解得k＞﹣8．
解分式方程，两边同时乘（y+3），得
ky﹣6＝2（y+3）﹣4y，
解得y＝．
因为分式方程有解，∴≠﹣3，即k+2≠﹣4，解得k≠﹣6．
又∵分式方程的解是非正整数解，∴k+2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12．
解得k＝﹣3，﹣4，﹣5，﹣8，﹣14．
又∵k＞﹣8，
∴k＝﹣3，﹣4，﹣5．
则﹣3﹣4﹣5＝﹣12．
故选：B．
10．对于实数a、b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）?x＝2，则x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．﹣
【分析】按照所给的定义式子，将（﹣3）?x＝2化为分式方程，解方程，即可得答案．
【解答】解：∵a?b＝，且（﹣3）?x＝2，
∴＝2
∴2（9+3x）＝3
∴6x＝﹣15
∴x＝﹣
经检验，x＝﹣是原方程的解．
故选：B．
11．分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣1）（x+1）＝0，所以增根是x＝1或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）＝m，
∵方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）（x+1）＝0，即增根是x＝1或﹣1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2，
把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0，经检验，m＝0时，方程无解，
∴m＝2，
故选：D．
12．在阳明山国家森林公园举行中国?阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间，几名同学包租一辆车前去游览，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加游览的学生共有x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【解答】解：设实际参加游览的同学共x人，
根据题意得：．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
13．当x　＝1　时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是　x≠﹣5　．
【分析】分式的值为0的条件为分子等于0且分母不等于0；分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：若分式的值为0，则x﹣1＝0，且x+1≠0，
解得x＝1；
若分式有意义，则x+5≠0，
解得x≠﹣5，
故答案为：＝1；x≠﹣5．
14．若分式的值为0，则x的值为　2　．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝±2且x≠0，x≠﹣2，
∴x＝2．
故答案为：2．
15．当x分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个值，将所有这些值相加得到的和等于　﹣1　．
【分析】先把x＝n和x＝代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把x＝1、0代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．
【解答】解：因为+＝+＝0，
所以当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0，
则将所得结果相加，其和等于+＝0﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．若关于x的方程＝3的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣3且m≠﹣2　．
【分析】先将原方程去分母，化为整式方程，用含m的式子表示出x，再考虑方程的解为正数及出现增根的情况即可解．
【解答】解：由＝3得
2x+m＝3x﹣3
∴x＝m+3
∵解为正数
∴m+3＞0
∴m＞﹣3
∵当m＝﹣2时，x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）＝0
∴x＝1为原方程的增根
故答案为m＞﹣3且m≠﹣2．
17．对于实数a，b定义一种新运算“?”：a?b＝，例如，1?3＝＝﹣．则方程x?2＝﹣1的解是　x＝5　．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
【解答】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
18．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则增根为　x＝3　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3．
故答案为：x＝3．
三．解答题（共5小题）
19．计算
（1）
（2）
【分析】（1）根据分式的乘法法则、乘除混合运算法则计算；
（2）根据同分母分式的减法法则、除法法则计算．
【解答】解：（1）原式＝??x2＝；
（2）原式＝?＝．
20．先化简，再求值：（m+2+）÷，其中m＝﹣1．
【分析】把m+2看成，先计算括号里面的，再算乘法，化简后代入求值．
【解答】解：（m+2+）÷，
＝（﹣），
＝，
＝，
＝﹣2（m+3），
＝﹣2m﹣6，
当m＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）﹣6＝2﹣6＝﹣4．
21．若关于x的方程+＝有增根，求增根和k的值．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0，所以增根是x＝2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2），得
x+2+k（x﹣2）＝3，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0，
∴x＝2或﹣2，
把x＝2代入整式方程得：4＝3，故矛盾，
∴x≠2，
把x＝﹣2代入整式方程得：k＝﹣．
∴x＝﹣2，k＝﹣．
22．整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法．
如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？
【分析】设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得分式方程组，换元后得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，再根据倒数关系可得x和y的值，从而问题得解．
【解答】解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：

设＝a，＝b，原方程化为：

②×3﹣①×2得：
27b﹣12b＝1
∴b＝③
将③代入②得：
4a+9×＝1
∴a＝
∴
∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．
23．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书．
（1）每本书第一次的批发价是多少钱？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
【分析】（1）设每本书第一次的批发价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【解答】解：（1）设每本书第一次的批发价是x元，则第二次购书时，每本书的批发价是（1+20%）x元，
根据题意得：．
解得：x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，
答：每本书第一次的批发价是5元；

（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为150×（7﹣5×1.2）+（250﹣150）×（7×0.5﹣5×1.2）＝﹣100（元），
所以两次共赚钱480﹣100＝380（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了380元．