人教版九年级数学下册28．1锐角三角函数（培优训练）学案(无答案)

28.1锐角三角函数培优
一 知识要点：
1、 锐角三角函数定义：

2、 特殊角的三角函数值300、450、600、的记忆规律：
①、的值随的增大而增大，依次为：.
②、的值随的增大而减少，依次为：.
温馨提示：的正弦值都可以看作“”型，千万不要把分母弄成3吆！
③、互余角的三角函数关系：，，
④、
3、 角度变化与锐角三角函数的关系
当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。
4、 同角三角函数之间关系式
平方关系：sin2A＋cos2A＝1； 商数关系：sinA/cosA＝tanA； 倒数关系：tanA·tanB＝1；
5、 互为余角的三角函数关系式：
Sin（900－A）＝cosA； cos（900－A）＝sinA； tan（900－A）＝ctanA；
二 例题教学：
题型一：锐角三角函数基本概念
例1：已知α为锐角，下列结论：
（1）sinα+cosα=1; （2）若α>45°,则sinα>cosα;
（3）若cosα>,则α<60°; (4)。正确的有（）
A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)
变式：
1、下列各式中，不正确的是（）
A. B .
C. D.tan45°>sin45°
2、已知∠A满足等式，那么∠A的取值范围是（）
A.0°<∠A≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A≤90°
例2：已知sinα·cosα=，且45°<α<90°，则COSα-sinα的值为（）
A. B. C. D.

变式：
1、已知△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC
C. D.
2、已知sinα+cosα=m,sinα×cosα=n，则m,n的关系式（）
A.m=n B.m=2n+1 C. D.

题型二：求三角函数值
如图，菱形的边长为5，相交于点O，AC=6，若∠BAC=α，则下列式子正确的是（）
A.sinα= B.cosα= C.tanα= D. 以上都对

变式：
1、设0°<α<45°，sinαcosα=,则sinα=
2、已知sinα-cosα=，0°<α<180°，则tanα的值是（ ）
A. B. C. D.

题型三：三角函数值的计算
例1：计算：=
变式：
1、计算：=
2、计算：
例2：化简根式：=


变式：
1、化简下式：
=


2、已知tanA=3,且∠A为锐角，则tanB-=

题型四：三角函数与一元二次方程的综合题
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°,斜边AB=5，两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值。


变式：
1.已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x2-2x+1=0的两个根，求∠A，∠B的度数．


2、已知a,b,c为△ABC中三个内角∠A,∠B,∠C的对边。当m>0时，关于x的方程有两个相等的实数根，且
。试判断△ABC的形状.




例2：在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，tanA,tanB是关于的一元二次方程的两个实数根。（1）求k的值。（2）若c=10，且a>b，求a,b.







变式：
1、在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，且c=5，若关于x的方程有两个相等的实数根，又方程的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积



2、如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD=AB,,梯形的高AE=。且.（1）求∠B的度数。（2）设点M是梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC交于点F，当时，求以CF,DF的长为根的一元二次方程.



题型五：构造直角三角形求线段的长
例1：如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=,AC=2,则AB的长是（）
A.3+ B.2+2 C.5 D.


变式：
1、在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC和sinB.




2.已知在△ABC中，∠B=45°, ∠C=60°，AB+AC=3+2。求BC的长

例2： 已知在△ABC中，BC=6，AC=6，∠A=30°。求AB的长





变式 1.某片绿地形状如图，其中∠A=60°，AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD,BC的长（精确到1m, ≈1.732）




例3： 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，BC=m,则电线杆AB的长为 m（精确到0.1m）







变式 .如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠C=90°,AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长度为（）
A. B.2 C.1 D. 2


题型六：构造直角三角形求角的度数
例 如图，P为△ABC边BC上一点，且PC=2PB。已知∠ABC=45°，∠APC=60°.求
∠ACB.




变式 如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a＞0）．
（1）求∠APB的度数；
（2）求正方形ABCD的面积．