人教版七年级数学下册5.1.1 相交线教案

5.1.1　相交线教学设计

一、教学目标
　1、理解并掌握对顶角、邻补角的概念.
　2.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.
　.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题.
3、引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.
二、教学重点难点
【重点】　对顶角的性质.
【难点】　理解对顶角相等的性质的探索.
三、教学准备
【教师准备】　直尺、量角器、剪刀、硬纸板.
【学生准备】　直尺、三角板.
四、教学过程
1、新课导入
导入一:
如图所示,要想测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数(人不能进入围墙内,又不能站在围墙上),甲、乙两人各有如下的测量方法:
甲:延长AO至C,测得∠BOC的度数,可知∠AOB的度数.
乙:延长AO至C,延长BO至D,测得∠COD的度数,可知∠AOB的度数.
你知道他们这样测量的道理吗?
导入二:
教师出示一块硬纸板和一把剪刀,表演剪纸板的过程.
问题:剪刀两个把手之间的角发生了什么变化?剪刀的张口怎么变化?
教师展示剪纸板的过程,学生认真观察.
教师应当注意先提出问题,以免在操作过程中分散学生的注意力,使学生没有注意观察应该观察的内容.
学生观察以后,回答提出的问题.
教师引导:如果将剪刀的构造看作两条相交的直线,这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
[设计意图]　通过动手操作,激发学生兴趣,同时使学生感受生活中的数学现象,通过教师的引导,使学生将剪刀张口的变化抽象成两条直线交角的变化,将实际问题转化为数学问题.
导入三:
在我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,本节课要研究相交线所成的角和它的特征.
教师多媒体出示相关的图片:

学生欣赏图片,并从中观察相交线、平行线的实例.
[设计意图]　直接提出本节课的学习重点,使学生有一个明确的目标,对本节课的学习要点做到心中有数.
2新知构建
一、邻补角与对顶角的概念
[过渡语]　(针对导入二)通过刚才的观察,我们知道握紧剪刀把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开纸板.下面我们就来研究这两条直线相交所形成的角问题1　邻补角
如教材图5.1-2,教师提出问题:
1.在位置关系上,∠1和∠2有什么特点?
2.量一量,在数量关系上,∠1和∠2有什么特点?
提示:在位置关系上,∠1和∠2有一个公共边OC,另一边互为反向延长线;在∠1和∠2的数量关系上,学生可能从大小关系上进行比较,此时注意引导学生从两个角的和的关系去探求.
问题总结:有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
追问:(1)在教材图5.1-2中,有几组邻补角?
(2)在教材图5.1-1中,剪刀把手之间角度变化的过程中,这种关系还存在吗?
提示:(1)有四组邻补角,分别是∠1和∠2,∠2和∠3,∠3和∠4,∠1和∠4;(2)这种关系依旧存在.
[知识拓展]　(1)邻补角指的是角的特殊位置关系,即这两个角相邻(有一条公共的边),从数量关系上说这两个角互补.
(2)邻补角指的是两个角之间的互补关系.
(3)邻补角一定互补,但互补的角不一定是邻补角.
提示:(1)在位置关系上,∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线;(2)通过测量和观察,学生可以发现∠1和∠3是相等的.
概念提出:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
二、对顶角的性质
思路一
性质证明:
〔解析〕　在教材图5.1-2中,∠1和∠2互补,∠3和∠2互补,由“同角的补角相等”可以得出∠1=∠3.同理,我们可以得出∠2=∠4.这样我们就可以得出对顶角的性质:对顶角相等.
证明:因为∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角的定义),所以∠1=∠3(同角的补角相等).
[设计意图]　通过对图形中角的位置关系的探究,经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳,培养学生的总结概括能力,加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上,用科学的方法验证或证明自己的发现,这有利于培养学生的科学思维习惯.
[知识拓展]　(1)对顶角是指两个角的位置关系,一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
(2)对顶角是成对的,在数量关系上有特殊的关系——相等.
(3)两条直线相交所形成的四个角中,任意两个角不是对顶角就是邻补角.
思路二
问题思考:
(1)在教材图5.1-2中有哪些角是对顶角?
(2)观察、测量每组对顶角,它们之间有什么数量关系?
(3)根据观察和测量,你的结论是什么?怎样去证明你的结论?
[设计意图]　通过学生的动手和动脑实践,不但可以提升学生的学习兴趣,还有助于培养学生动手动脑的行为习惯.通过发现问题并证明问题的活动,培养学生的科学探索精神.
性质证明:

〔解析〕　如图所示,∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补,由“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地,∠AOC=∠BOD.这样,我们就得到了对顶角的性质:对顶角相等.
证明:因为∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补(邻补角的定义),
所以∠AOD=∠BOC(同角的补角相等).
[设计意图]　通过对角的度数的测量,使学生认识到邻补角与对顶角的性质,使学生从对这两类角的感性认识上升到理性认识,通过对结论得出的说理过程,使学生初步感受推理的过程.
三、例题讲解

　如图所示,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
[设计意图]　先让学生尝试解决,这里学生能够说出角的度数,关键是学生能否做到言之有理,即初步尝试使用推理的方法去解决问题,之后教师给出规范的答案.
〔解析〕　计算角的度数,首先要考虑给定的角与所要求的角的位置关系和数量关系.从位置关系看,在要求的三个角中,∠3和∠1存在着对顶角的关系,∠2,∠4和∠1存在着邻补角的关系.
解:由邻补角的定义,得:
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由对顶角相等,得:
∠3=∠1=40°,
∠4=∠2=140°.

　(补充)如图所示,已知直线AB与CD相交于点O,OE是∠BOD的平分线,∠EOF=90°,若∠BOD=58°,求∠COF的度数.
〔解析〕　根据角平分线的定义求出∠DOE,再求出∠DOF,然后根据邻补角的定义列式计算即可得解.
解:因为OE是∠BOD的平分线,∠BOD=58°,
所以∠DOE=∠BOD=×58°=29°,
因为∠EOF=90°,
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-29°=61°,
所以∠COF=180°-∠DOF=180°-61°=119°.
[解题策略]　本题考查了角平分线的定义,互为邻补角的两个角的和等于180°,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
[设计意图]　通过学生的尝试,一是让学生养成主动学习的习惯,二是让学生养成说理的习惯,做到步步有据.
3、课堂小结
1.邻补角、对顶角的概念:
(1)有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
(2)有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
(3)邻补角、对顶角是成对出现的,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.
2.邻补角、对顶角的性质:
(1)邻补角互补.但两个角的和等于180°,这两个角不一定是邻补角.
(2)对顶角相等.但反过来,相等的两个角不一定是对顶角.
4、检测反馈
1.如图所示,下列判断正确的是 (　　)

A.图(1)中∠1和∠2是一组对顶角
B.图(2)中∠1和∠2是一组对顶角
C.图(3)中∠1和∠2是一组邻补角
D.图(4)中∠1和∠2是一组邻补角
解析:对顶角的定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,邻补角的定义:有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角,根据这两个定义进行分析.故选D.

2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,∠2=40°,则∠1的度数为 (　　)
A.30°B.35°C.40°D.70°
解析:因为∠AOC=70°,所以∠BOD=70°(对顶角相等),因为∠2=40°,所以∠1=70°-40°=30°.故选A.

3.如图所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为 (　　)
A.62°B.118°C.72°D.59°
解析:因为直线AB和CD相交于点O,∠AOD与∠BOC的和为236°,又因为∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOC=180°-=62°.故选A.

4.如图所示,直线AB与CD相交于点O,射线OE平分∠BOF.
(1)∠AOD的对顶角是　　　　,∠BOC的邻补角是　　　　;?
(2)若∠AOD=20°,∠DOF∶∠FOB=1∶7,求∠EOC的度数.
解析:(1)根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案;(2)根据∠AOD=20°和∠DOF∶∠FOB=1∶7,求出∠BOF等于140°,所以∠EOB等于70°,所以∠EOC等于90°.
解:(1)∠BOC　∠AOC,∠BOD
(2)因为OE平分∠BOF,
所以∠BOE=∠EOF,
因为∠DOF∶∠FOB=1∶7,∠AOD=20°,
所以∠DOF=∠BOD=×(180°-20°)=20°,
所以∠BOF=140°,
因为∠BOE=∠BOF=×140°=70°,
所以∠EOC=∠BOC+∠EOB=20°+70°=90°.
5、板书设计
5.1.1　相交线
1.邻补角与对顶角的概念
2.对顶角的性质
3.例题讲解
例1
例2
6、布置作业
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习.
【选做题】
教材第7页习题5.1第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知∠α和∠β是对顶角,若∠α=30°,则∠β的度数为 (　　)
A.30° B.60° C.70° D.150°
2.如图所示的四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是 (　　)

3.下列说法正确的是 (　　)
A.若两个角相等,则这两个角是对顶角
B.若两个角是对顶角,则这两个角相等
C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等
D.所有的对顶角相等

4.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 (　　)
A.38° B.104° C.142° D.144°
【能力提升】
5.如图所示,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2和∠3的度数.

6.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE是∠COB的平分线.
(1)图中有几对对顶角,请分别写出来;
(2)当∠BOC=130°时,求∠DOE的度数.

7.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O.
(1)写出∠COE的邻补角;
(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角;
(3)如果∠BOD=60°,∠BOF=90°,求∠AOF和∠FOC的度数.

【拓展探究】
8.如图所示的各图形,寻找对顶角(不含平角).

(1)如图(1)所示,图中共有多少对对顶角?
(2)如图(2)所示,图中共有多少对对顶角?
(3)如图(3)所示,图中共有多少对对顶角?
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?
(5)若有2016条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?
7、教学反思
成功之处
　　相交线是第五章第一小节的内容,在第一学期学生已经学习并掌握了直线、角等概念,在此基础上继续学习两条直线相交的情况以及在这种情况下所形成的角的关系——邻补角、对顶角.平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题,是初中阶段学习的重点内容之一,同时也是平面几何图形由简单到复杂的最基本图形之一——由两条直线相交构成的角.因此本课时的教学重点是对顶角的性质与应用,教学难点是对顶角性质的几何语言的表达.在教学中教师能够结合图形让学生通过观察、猜测、分类等方法找到两条直线相交所形成的角的位置关系和数量关系,很好地掌握了邻补角和对顶角的特征,另外加强对比和反例的说明,对于学生对知识的理解和掌握起到了强化、深入的作用.
不足之处
从教学的过程看,学生掌握知识的难度要小于对顶角性质推理的难度.在本课时的教学过程中,虽然注重强化了学生对对顶角性质推理的认识,但对个别学生的指导和关注不够,导致部分学习有困难的学生对推理说明的题目掌握不好.在解题过程中出现乱、繁等现象(个别学生甚至无法下手),课后要根据实际情况及时进行补差补缺,争取不让一个学生掉队.
再教设计
(1)加强练习,强化解题的步骤和说理,让学生在解题的过程中做到有理有据,真正掌握知识.在学生做题的过程中,教师要加强巡视指导,对于学生出现的共性问题,一定要加以指出.
(2)教学过程中要面向全体学生,能让全体学生完成的,绝不让个别学生完成,能让学生集体讨论的问题,不能让某个掌握较快的学生包办代替,要充分发挥每个学生的主动性.