沪科版九年级数学下册第24章《圆》单元试题及解析

沪科版九年级数学下册第24章《圆》单元试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(????)．
A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°
如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于(????)
A. 160°B. 150°C. 140°D. 120°
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为(????)
A. 15B. 25C. 215D. 8
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为(????)
A. 22B. 4C. 42D. 8
如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=(????)
A. 25°B. 30°C. 40°D. 55°
如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于(????)
A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D是BA延长线上一点，且AC=AD，若∠B=30°，AB=2，则CD的长是(????)
A. 5B. 2C. 1D. 3
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为(????) ??
A. 2，π3 B. 23，π C. 3，2π3 D. 23，4π3
如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为(????)
A. 30πcm2B. 48πcm2C. 60πcm2D. 80πcm2
如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接CO，AD，∠BAD=20°.下列说法正确的是(????)
A. AD=2OBB. CE=EOC. ∠OCE=40°D. ∠BOC=2∠BAD
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是______．
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= ______ ．
如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为______．
如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=12，则四边形ABCD的周长为______．
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE=4，cosA=25，求DF的长．

如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB=AE，BE分别交AD、AC于点?F、G．(1)证明：FA=FG；(2)若BD=DO=2，求弧EC的长度．

四、解答题（本大题共5小题，共58分）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．

如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．

如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF=4，求AC的长度．

如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，cosB=35，求CE的长．

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE． (1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理及其应用的有关知识，设∠ADC=α，∠ABC=β，由题意可得α+β=180°α=12β，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠AOC=∠ABC=β；∵∠ADC=12∠AOC=12β，∠ADC=α；而α+β=180°，∴α+β=180°α=12β，解得∴∠ADC=60°．故选C．2.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．利用垂径定理得出CB=BD，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴CB=BD，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选C．3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA?AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA?AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH=OC2?OH2=15，∴CD=2CH=215．故选C．4.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=22OC=22，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：如图， ∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=22OC=22，∴CD=2CE=42．故选C．5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出∠BCF，根据三角形的外角的性质求出∠CBF，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCF=∠A=55°，∵∠CBF是△ABE的一个外角，∴∠CBF=∠A+∠E=85°，∴∠F=180°?∠BCF?∠CBF=40°，故选C．6.【答案】A
【解析】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°?∠ABC=125°，∠BAC=90°?∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC?∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA?∠DCM=55°?35°=20°；故选：A．由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°?∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC?∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．连接OC，先根据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90°，再由∠B=30°得出∠BAC=60°，根据AC=AD可知∠D=∠ACD，由三角形外角的性质得出∠D=∠ACD=30°，再由OC=OB，∠B=30°得出∠DOC=60°，故可得出∠OCD=90°，再由AB=2可知OC=1，根据勾股定理，即可得出结论．【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠B=30°，∴∠BAC=60°．∵AC=AD，∴∠D=∠ACD=30°．∵OC=OB，∠B=30°，∴∠DOC=60°，∴∠OCD=90°．∵AB=2，∴OC=1，∴OD=2∴CD=22?12=3．故选D．8.【答案】D
【解析】解：连接OB， ∵OB=4，∴BM=2，∴OM=OB2?BM2=42?22=23，BC=60π×4180=43π，故选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．9.【答案】C
【解析】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l=82+62=10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=12×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．10.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．先根据垂径定理得到BC=BD，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．【解答】解：∵AB=2OB，且AB>AD，∴AD≠2OB，故A项错误；∵AB⊥CD，∴BC=BD，CE=DE，故B项错误；∴∠BOC=2∠BAD=40°，故D项正确；∴∠OCE=90°?40°=50°，故C项错误；故选D．11.【答案】522
【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=12BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C'，连接AC'，∵BC'是⊙O的直径，∴∠BAC'=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC'B=45°，，，∴MN最大=522．故答案为522．12.【答案】1
【解析】【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出△ABC是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴AF=AE，EC=CD，DB=BF，∵AE=2，CD=1，BF=3，∴AF=2，EC=1，BD=3，∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，∴△ABC是直角三角形，∴内切圆的半径r=3+4?52=1，故答案为1．13.【答案】π4
【解析】解：∵弦CD//AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=∠COD360°?π?(AB2)2=90°360°×π×(22)2=π4．故答案为：π4．由CD//AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．14.【答案】44
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC=AB+CD=22，∴四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=44，故答案为：44．根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键．15.【答案】(1)证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B，又∵AB=AC，∴∠C=∠B，∴∠ODB=∠C，∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠ODF=∠DFC=90°，∴DF是⊙O的切线． (2)解：AG=12AE=2，∵cosA=AGOA，∴OA=AGcosA=225=5，∴OG=OA2?AG2=21，∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，∴四边形OGFD为矩形，∴DF=OG=21．
【解析】(1)证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．(2)首先判断出：AG=12AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值是多少．此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握．16.【答案】(1)证明：∵BC?是⊙O?的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AGB=90°；∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90°；∵AB=AE，∴∠C=∠ABE，∴∠AGB=∠CAD，∴FA=FG． (2)解：如图，连接AO、EO，，∵BD=DO=2，AD⊥BC，∴AB=AO，∵AO=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵AB=AE，∴∠AOE=60°，∴∠EOC=60°，∴EC的弧长=2π×(2×2)×60360=43π.
【解析】(1)根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，AB=AE，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．(2)根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据AB=AE，求出∠EOC=60°，即可求出EC的长度是多少．此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．17.【答案】(1)证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE//BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线； (2)解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE，∵BF=6，∴BH=3，在Rt△BHO中，OB=5，∴OH=52?32=4，∴CE=4．
【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．(1)连接OE，证明∠OEA=90°即可；(2)连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．18.【答案】解：(1)连接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；(2)由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，AB=6，∴在Rt△BCD中，BC=BD2?CD2=42?22=23，作CE⊥AB于点E．在Rt△BEC中，∠B=30°，∴CE=12BC=3，∴S△ABC=12AB?CE=12×6×3=33．
【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．(1)连接OC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角，利用等量代换证得∠ACO=90°，据此即可证得；(2)易证∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AB、BC的长，作CE⊥AB于点E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解．19.【答案】解：(1)DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切． (2)解法1：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，BG=BD=DC，∴DG=BC，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，又∵OH//AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．解法2：如图，过O作OM⊥AC于M，则四边形DOME是矩形，∴∠DOM=90°，又∵DF⊥AB，∴∠FDO+∠FOD=∠MOA+∠FOD=90°，∴∠FDO=∠MOA，在△FDO和△MOA中，∠DFO=∠OMA=90°∠FDO=∠MOADO=OA，∴△FDO≌△MOA(AAS)，∴AM=OF=4，又∵OM⊥AC，∴AC=2AM=8．
【解析】(1)先连接OD、AD，根据点D是BC的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD//AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；(2)先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题也可以过O作OM⊥AC于M，根据全等三角形的性质以及垂径定理进行求解．本题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理的运用，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．20.【答案】(1)证明：连接AE，∵AC是⊙O的直径，∴∠E=90°，∴∠EAD+∠AFE=90°，∵BF=BC，∴∠BCE=∠BFC，∴∠EAD+∠BCE=90°，∵E为弧AD中点，∴∠EAD=∠ACE，∴∠BCE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC，∵AC为直径，∴BC是⊙O的切线． (2)解：∵⊙O的半为2，∴AC=4，∵cosB=35=BCAC，∴BC=3，AB=5，∴BF=3，AF=5?3=2，∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，∴△AEF∽△CEA，∴EAEC=AFAC=12，∴EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得：x2+4x2=16，解得x=455(负数舍去)，即CE=855．
【解析】(1)连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．(2)根据AC=4，cosB=35=BCAC，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出x2+4x2=16，求出即可．本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．21.【答案】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线； (2)∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△AED中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=DO2?OC2=82?42=43，∴S△OCD=CD?OC2=43×42=8312×43×4=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD?S扇形OBC∴S阴影=83?8π3，∴阴影部分的面积为83?8π3．
【解析】(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD?S扇形OBC即可得到答案．本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．