(共24张PPT)
1
第2课时
垂线及性质
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
A
B
C
D
O
α
）
a
b
b
b
b
b
）
α
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
垂直的定义：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，
那么称这两条直线互相垂直，
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线
A
B
C
D
O
l
m
如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m⊥l）.
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点，┐标记）.
问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
利用三角尺现有的直角！
问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
方格纸是由小正方形构成！
问题3：你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
你的依据有是什么呢！
1.分别找出下列图中互相垂直的线段.
解：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.
(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；AC⊥BC，
AC⊥CE，AC⊥BE；DA⊥BC，DA⊥CE，
DA⊥BE.
2.如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
垂直的定义既是性质又是判定
问题：(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
.B
l
.
A
l
O
如图，已知直线
l,作l的垂线.
A
作已知直线的垂线可以作几条？为什么呢？
如图，已知直线
l和l上的一点A
,作l的垂线经过点A.
l
A
如图，已知直线
l和l外的一点A,作l的垂线经过点A.
l
A
B
通过上面的两个作图，你发现了什么结论呢？
垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
3.下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是( )
C
垂线的画法：一靠；
二过；
三画
4.如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
解：画出的直线m，n，p如图.
作垂线的注意事项：
1.所作的垂线是直线；
2.垂足要有符号标记；
3.作线段或射线的垂线就是作线段或射线所在直线的垂线，有可能需要延长
C
D
E
1.线段AB,
AC,
AD
,
AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线
l
画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.
简单说成：垂线段最短
D
l
A
线段AD的长叫做点A到直线l的距离
4.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，下列画法正确的是( )
C
你能区分垂线、垂线段和点到直线的距离这几个概念吗？
5.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为(
)
①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．
A．2
B．3
C．4
D．5
A
6.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示。
M
N
B
A
P
Q
问题1：在什么位置时分别对M、N影响最大？
问题2：在什么位置时对M、N影响越来越大？
问题3：在什么位置时对M、N影响越来越小？
问题4：在由P到Q的过程中对M、N影响怎么变化呢？
M
N
B
A
P
Q
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？
你能说说其中的道理吗
小结
垂线
垂线的定义
两条相交线所成的角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直，一条直线叫另一条直线的垂线.
垂线的性质
垂线的画法
一靠；二过；三画
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
垂线段最短
点到直线的距离：垂线段的长度
谢
谢
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1
第1课时
对顶角、余角和补角
看一看，它们有什么共同之处？
扶手
双杠
铁轨
不相交
在同一平面内
不相交的
两条直线
叫做平行线.
A
B
C
D
O
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交.
该公共点叫做两直线的交点直线AB、CD相交于点O.
如图，直线AB、CD相交于O，
问题1：∠1和∠2有什么位置关系？
2
1
A
B
C
D
3
4
O
1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.
直线AB与CD相交于点O，
∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，
这样的两个角叫做对顶角
你的结论是什么？你能说明理由吗？
A
B
C
D
3
4
O
如图，直线AB、CD相交于O，
问题1：∠1和∠2有什么大小关系？
2
1
对顶角的性质:
∠1=∠2
（或
∠3=∠4）
解：直线AB与CD相交于O点
由补角的定义，可得
∠1+∠3=180°
∠2+∠3=180o
所以：∠1=∠2
同样的道理
∠3=∠4
对顶角的特征：
1.有公共顶点；
2.两边互为
反向延长线
例1
如图，∠1与∠2是对顶角的是( )
A中∠1和∠2的顶点不同；
B中∠1和∠2的两边都不是互为反向延长线；
C中∠1和∠2符合对顶角的定义；
D中∠1和∠2有一条公共边．
C
例2
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：∵∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
∴∠BOF＝∠BOC－∠1＝70°.
∵∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
∴∠2＝70°(等量代换)．
注意：
对顶角是隐含条件，相当于已知
1.
下列说法正确的有( )
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
2.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
解：40°，
根据是对顶角相等．
A
B
C
D
3
4
2
1
O
在下面的图中，∠1与∠3有什么数量关系？
和为180o
如果两个角的和是180o，
那么称这两个角互为补角
类似地，如果两个角的和是90o，那么称这两个角互为余角
注意：
余角和补角是两个角的数量关系，与位置无关
图1
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题2：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
问题3：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
(1)因为∠1=
∠2，
∠1+∠3=90°
,
∠2+∠4=90°，
所以∠3=∠4.
同角(等角)的余角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
同角：是一个角；
等角：是两个角
(2)因为∠1=
∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
(3)互为补角：∠1和∠AOC，∠2和∠BOD，∠DON和∠CON，∠1和∠BOD，∠2∠AON；
互为余角：∠1和∠3,∠2和∠4,
∠1和∠4，∠2和∠3
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
1.如图已知：直线AB与CD交于点O,
∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是
；补角是
；
（2）∠AOC的余角是
；补角是
；
对顶角是
；
C
A
B
D
O
E
∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD
2.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是(180°－x°),
余角是(90°－x°)
.
根据题意，得180°－x°=
4
(90°－x°).
解得
x=60.
答：这个角的度数是60°.
方程思想是解决这类高频考题的重要思路！
3.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？
A
C
D
B
你想到了几种解决办法呢？
O
小结
互余
互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
对顶角性质：对顶角相等.
谢
谢
观
看！
