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第2课时
平行线的性质(二)
文字叙述
符号语言
图形
相等
两直线平行
∴a∥b
相等
两直线平行
∵
∴a∥b
互补
两直线平行
∴a∥b
同位角
内错角
同旁内角
∵∠1=∠2
∠3=∠2
∵∠2+∠4=180°
1.平行线的判定
a
b
c
1
2
3
4
方法4：若a∥b，b∥c，则a∥c.
（
）
a
b
c
平行于同一条直线的两条直线平行
文字叙述
符号语言
图形
两直线平行
相等
∵a∥b
两直线平行
相等
∵a∥b
两直线平行
互补
∵a∥b
同位角
内错角
同旁内角
∴∠1=∠2
∴∠3=∠2
∴∠2+∠4=180°
2.平行线的性质
a
b
c
1
2
3
4
例1
据图回答下列问题：
(1)若∠1＝∠2，则可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
(2)若∠2＝∠M，则可以判定哪
两条直线平行？根据是什么？
(3)若∠2＋∠3＝180°，则可以
判定哪两条直线平行？根据是什么？
确定已知中角的“位置类型”是确定“两直线”的关键
(1)∠1与∠2是内错角，若∠1＝∠2，
则根据“内错角相等，两直线平行”，
可得
BF∥CE;
(2)∠2与∠M是同位角，若∠2＝∠M，
则根据“同位角相等，两直线平行”，
可得AM∥BF；
(3)∠2与∠3是同旁内角，若∠2＋∠3＝180°，
则根据“同旁内角互补，两直线平行”，
可得AC∥MD.
例2
如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.
解：因为∠1＝∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以
EF∥CD.
又因为AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以EF∥AB.
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
①
∵
∠1
=_____（已知）
∴
AB∥CE
②
∵
∠1
+_____=180o（已知）
∴
CD∥BF
③
∵
∠1
+∠5
=180o（已知）
∴
_____∥_____.
④
∵
∠4
+_____=180o（已知）
∴
CE∥AB
∠2
（内错角相等,两直线平行）
∠3
（同旁内角互补,两直线平行）
AB
CE
∠3
（同旁内角互补,两直线平行）
1.
如图：
（同旁内角互补,两直线平行）
2.如图，已知∠1＝105°，
∠2＝75°你能判断a∥b吗？
解：能．
如图，∵∠2＝75°，
∴∠3＝180°－∠2＝105°.
∵∠1＝105°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
由“两直线”
确定两角的
“位置类型”
是关键
例3
如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，
求∠2，∠3的度数.
解：∵a∥b，
根据“两直线平行，内错角相等”.
∴∠2=∠1=107°.
∵c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
∴∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=73°.
如图，AE∥CD，∠1＝37°，
∠D＝54°求∠2和∠BAE的度数.
C
解：∵AE∥CD（已知），
∴∠2＝∠1＝37°(两直线平行，内错角相等)，∠BAE＝∠D＝54°(两直线平行，同位角相等)．
能区分平行线的判定和性质
解：∵EF∥AD
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DG∥AB
∴∠BAC+∠AGD=180o
∴∠AGD=180°-∠BAC=110o.
D
A
G
C
B
E
F
1
3
2
例4
如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数.
(已知），
（两直线平行，同位角相等），
(已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）,
如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与∠Q一定相等吗？说说你的理由．
解：一定．
理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
小结
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
平行线的判定与平行线的性质的关系：
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第1课时
平行线的性质(一)
根据已知灵活选择！
判断两直线平行的方法:
条件
结论
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
猜想：交换它们的条件与结论，是否成立？
？
除了测量，你能用推理的方法得到结论吗？
如图，直线a与直线b平行。
（1）测量同位角∠1
和∠5
的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
如图，已知a//b,那么 4与 5相等吗？为什么
解：相等
∵a∥b(已知),
∴∠1=∠5(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1=∠4(对顶角相等),
∴
∠4=∠5(等量代换).
如图,已知a//b,那么 3与 5有什么关系呢？为什么
解：
互补
∵a//b（已知）,
∴ 1= 5（两直线平行，同位角相等）.
∵ 1+ 3=180°（补角定义）,
∴ 3+ 5=180°（等量代换）.
平行线的性质：
1.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
简称为：两直线平行，同位角相等
2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等
简称为：两直线平行，同位角相等
3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
简称为：两直线平行，同旁内角互补
平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？
角的关系
线的关系
判定
性质
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
例
如图，是一块梯形铁片的残余部分，量∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：∵铁片是梯形的，
∴AB//CD,
∴∠A+∠D=180o，∠B+∠C=180o，
∵∠A=100°，∠B=115°，
∴∠D=180°－∠A=80°，
∠C=180°－∠B=65°
所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.
2．如图，一束平行光线AB与DE射向一个水
平镜面后被反射，此时
∠1
=∠2，∠3=∠4．
（1）∠1与∠3的大小有什么关系？
∠2与∠4
呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
注意区分平行线的判定和性质
解：(1)∠1
=∠3，∠2=∠4
∵AB//DE(已知),
∴∠1
=∠3(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1
=∠2，∠3
=∠4(已知),
∴∠2=∠4（等量代换）
(2)BC//EF
由(1)知，∠2=∠4
∴BC//EF(同位角相等，两直线平行)
解:
∠A
=∠D.
理由：∵AB∥DE(
)
∴∠A=_______
(
)
∵AC∥DF(
)
∴∠D=______
(
)
∴∠A=∠D
(
)
1.如图,若AB∥DE
,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
P
F
C
E
B
A
D
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
2.如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，
那么你能说出∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？
解：能．∠2＝∠3＝115°，∠4＝65°.
理由如下：∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)，
∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠1＝65°（已知），
∴∠2＝180°－∠1＝115°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝115°(等量代换)．
准确的识别“三类角”并选择合适的性质说明
3.如图所示，AB∥CD，AC∥BD.
分别找出与∠1相等或互补的角.
解：如图，
与∠1相等的角有∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15；
与∠1互补的角有∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16.
小结
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
谢
谢
观
看！
