沪科版九年级数学上册《第22章 相似形》单元试卷（一）及解析

沪科版九年级数学上册《第22章相似形》单元试卷（一）及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是(????)
A. x2=y5 B. x5=y2 C. xy=25 D. x2=5y
若a2=b3=c4，则a+2b+3ca等于(????)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
下列各组条件中，一定能推得△ABC与△EDF相似的是(????)
A. ∠A=∠E且∠D=∠F B. ∠A=∠B且∠D=∠FC. ∠A=∠E且ABAC=EDEF D. ∠A=∠E且ABBC=EDDF
如图所示，△ABC中若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是(????)
A. ADDB=DEBC B. BFBC=EFAD C. AEEC=BFFC D. EFAB=DEBC
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为(????)
A. 32 B. 92 C. 332 D. 33
如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，已知BC=2，则DG+EH+FI的长是(????)
A. 52B. 3C. 32D. 4
如图，梯形ABCD中，AB//CD，AC、BD交于E，若S△DCE：S△BAE=1：9，则S△DCE：S△BCE为(????)
A. 1：9 B. 1：4 C. 1：3 D. 9：1
如图，AB//CD//EF，则图中相似三角形的对数为(????)
A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对
如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为(????)
A. 3：4B. 1：2C. 2：3D. 1：3
如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为(????)时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A. 55 B. 255 C. 55或255 D. 255或355
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，直线AlA//BB1//CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是______ ．
如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为______．
如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点的三等分点M，N.量得MN=38m，则AB的长为______ m.
如图，已知直线l：y=3x，过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；则?M1的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE//BC，AD=3，AB=5，求DEBC的值．

已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F． 求证：CF2=GF?EF．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；(2)选择(1)中一对加以证明．
如图，已知A(?4,2)，B(?2,6)，C(0,4)是直角坐标系平面上三点． (1)把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1.画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F． (1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．
如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°． (1)求∠ADE和∠AED的度数；(2)求DE的长．
如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C，求证：△ABF∽△EAD．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：(1)当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．(3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵2x=5y，∴x5=y2．故选：B．本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．2.【答案】C
【解析】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，即a+2b+3ca=2k+2×3k+3×4k2k=20k2k=10，故选C．设a2=b3=c4=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，代入求出即可．本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力．3.【答案】C
【解析】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由ABAC=EDEF可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△EDF相似，故此选项正确；D、∠A=∠E且ABBC=EDDF不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(4)两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.找准对应关系，避免错选其他答案．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．【解答】解：∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；∵DE//BC，∴ADAB=AEAC=BFBC，EFAB=CEAC=BCDE，∵EF//AB，∴AEEC=BFFC，CEAE=CFBF，∴AEEC=BFFC，故选C．5.【答案】A
【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD?AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=32．故选：A．根据射影定理得到：AC2=AD?AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6.【答案】B
【解析】解：∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，∴DG//EH//FI；∴ADAB=DGBC=14，即DG=14BC；同理可得：EH=12BC，FI=34BC；∴DG+EH+FI=14BC+12BC+34BC=32BC=3；故选B．由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG//EH//FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．7.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，∴△DCE∽△BAE，∴S△DCES△BAE=(DEBE)2=19，∴DE：BE=1：3，∵△DCE和△BCE是同高三角形，∴S△DCE：S△BCE=DE：BE=1：3，故选C．由相似三角形的性质可求得DE：BE，再利用同高三角形的面积比等于底的比，可求得答案．本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件求得DE：BE是解题的关键，注意同高三角形的面积比等于其底的比．8.【答案】B
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏．由AB//CD//EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE.所以图中共有3对相似三角形．【解答】解：∵AB//CD//EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．∴图中共有3对相似三角形．故选B．9.【答案】D
【解析】解：∵DC=AC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠ACB的平分线CE交AD于E，∴E为AD的中点(三线合一)，又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=12BD，△AFE∽△ABD，∵S△AFE：S△ABD=1：4，∴S△AFE：S四边形BDEF=1：3，故选D．由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，这样即可判断出S△AEF：S四边形BDEF的值．本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AFE：S△ABD=1：4．10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+14DM2=1，解得DM=255；②DM与BE是对应边时，DM=12DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=55．∴DM为255或55时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．11.【答案】3
【解析】解：∵AlA//BB1//CC1，∴B1C1A1B1=BCAB，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．12.【答案】1：4
【解析】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴AB：DE=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．由AD=OA，易得△ABC与△DEF的位似比等于1：2，继而求得△ABC与△DEF的面积之比．此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．13.【答案】114
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，如果两三角形的两组对应边的比相等，且其夹角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等.由题易知△CMN∽△CAB，然后根据相似比等于对应线段的比求解．【解答】解：∵CM：CA=CN：CB=1：3，∵∠C=∠C，∴△CMN∽△CAB，∴MN：AB=CM：CA=1：3，∵MN=38m，∴AB=114m，故答案为114．14.【答案】(8,0)
【解析】解：∵直线l的解析式是y=3x，∴∠NOM=60°，∠ONM=30°．∵点M的坐标是(2,0)，NM//y轴，点N在直线y=3x上，∴NM=23，∴ON=2OM=4．又∵NM1⊥l，即∠ONM1=90°，∴OM1=2ON=4OM=8，∴M1(8,0)．直线l的解析式是y=3x，得到∠NOM=60°，∠ONM=30°.由点M的坐标是(2,0)，NM//y轴，点N在直线y=3x上，得到NM=23，解直角三角形即可得到结论．本题主要考查一次函数图象上点的坐标特点，涉及到如何根据一次的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．15.【答案】解：∵DE//BC，∴ADAB=DEBC，∵AD=3，AB=5，∴DEBC=35．
【解析】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用．根据平行线分线段成比例定理得出ADAB=DEBC，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．16.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴GFCF=DFBF，CFEF=DFBF，∴GFCF=CFEF，即CF2=GF?EF．
【解析】根据平行四边形的性质得AD//BC，AB//CD，再根据平行线分线段成比例定理得GFCF=DFBF，CFEF=DFBF，利用等量代换得到GFCF=CFEF，然后根据比例的性质即可得到结论．本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．17.【答案】解：(1)△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；(2)证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=12∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵∠A=∠DBA∠AED=∠BEDED=ED，∴△ADE≌△BDE(AAS)；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=12∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．
【解析】(1)利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．18.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：(0,1)；(2)符合条件△A2B2C2有两个，如图所示．
【解析】此题考查了位似变换与平移的变换．注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键．(1)直接利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形；(2)利用位似的性质，可求得△A2B2C2各点的坐标，继而画出图形．19.【答案】解：(1)当F和B重合时，∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴AB//DE，∵AD//BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=EF=9，∴CE=BC?EF=12?9=3；(2)过D作DM⊥BC于M，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DM//AB，∵AD//BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12?9=3，设AF=CE=a，则BF=7?a，EM=a?3，BE=12?a，∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，∵∠B=∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴BFEM=BEDM，∴7?aa?3=12?a7，a=5，a=17，∵点F在线段AB上，AB=7，∴AF=CE=17(舍去)，即CE=5．
【解析】(1)根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；(2)过D作DM⊥BC于M，得出四边形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12?9=3，设AF=CE=a，则BF=7?a，EM=a?3，BE=12?a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，证△FBE∽△EMD，得出比例式7?aa?3=12?a7，求出a即可．本题考查了直角梯形性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．20.【答案】解：(1)∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°?∠BAC?∠ABC=180°?75°?40°=65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；(2)∵△ABC∽△ADE，∴ABAD=BCDE，即3018=20DE，解得DE=12cm．
【解析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．(1)根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；(2)根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴∠C+∠D=180°，∠BAF=∠AED，∵∠AFB+∠BFE=180°，∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠D，∴△ABF∽△EAD．
【解析】此题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质．注意有两组角对应相等的两个三角形相似．由四边形ABCD是平行四边形，可证得∠C+∠D=180°，∠BAF=∠AED，又由∠BFE=∠C，易得∠AFB=∠D，即可证得△ABF∽△EAD．22.【答案】解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20?4t，(1)当t=3秒时，CP=20?4t=8cm，CQ=2t=6cm，由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm； (2)由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20?4t，因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20?4t)×2t=20t?4t2cm2； (3)分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20?4t20=2t15，解得t=3秒；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20?4t15=2t20，解得t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】(1)在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；(2)由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；(3)应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．