5．1 认识分式
第1课时 分式的有关概念
1．了解分式的概念，能正确判断一个代数式是否是分式；
2．掌握分式有(无)意义、值为零的条件．(难点)
一、情境导入
一个小村庄现有耕地600公顷，林地150公顷，为了保护环境，退耕还林，村委会计划把原来“开山造林”时造出的x公顷耕地还原成林地，那样林地的面积是耕地面积的几分之几？如何用x的式子表示？这个式子有什么特征？它与整式有什么不同？
二、合作探究
探究点一：分式的概念
【类型一】 判断代数式是否为分式
在式子、、、、＋、9x＋中，分式的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：、、9x＋这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选B.
方法总结：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常数．
【类型二】 探究分式的规律
观察下面一列分式：，－，，－，…(其中x≠0)．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n(n为正整数)个分式，并简单说明理由．
解析：(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案．
解：(1)观察各分式的规律可得：第6个分式为－；(2)由已知可得：第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×，理由：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子底数是x，次数是连续的奇数，且偶数个为负，∴第n(n为正整数)个分式为(－1)n＋1×.
方法总结：此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
【类型三】 根据实际问题列分式
每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )
A.元 B.元
C.元 D.(＋)元
解析：由题意可得杂拌糖每千克的价格为元．故选B.
方法总结：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，列出代数式．
探究点二：分式有无意义的条件及分式的值
【类型一】 分式有意义的条件
分式有意义，则x应满足的条件是( )
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对
解析：∵分式有意义，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故选C.
方法总结：分式有意义的条件是分母不等于零．
【类型二】 分式无意义的条件
使分式无意义的x的值是( )
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝ D．x≠
解析：由分式有意义的条件得3x－1≠0，解得x≠.则分式无意义的条件是x＝，故选C.
方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.
【类型三】 分式值为0的条件
若使分式的值为零，则x的值为( )
A．－1 B．1或－1
C．1 D．1和－1
解析：由题意得x2－1＝0且x＋1≠0，解得x＝1，故选C.
方法总结：分式的值为零的条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
三、板书设计
1．分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．分式有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义．
3．分式值为0的条件：当A＝0，B≠0时，分式的值为0.
本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成.
第2课时 分式的基本性质
1．理解并掌握分式的基本性质和符号法则；(难点)
2．理解分式的约分、通分的意义，明确分式约分的理论依据；(重点)
3．能正确、熟练地运用分式的基本性质，对分式进行约分和通分．(难点)
一、情境导入
中国古代的数学论著中就有对“约分”的记载，如《九章算术》中就曾记载“约分术”，并给出了详细的约分方法，这节课我们就来学习分式化简的相关知识，下面先来探索分式的基本性质．
二、合作探究
探究点一：分式的基本性质
【类型一】 利用分式的基本性质对分式进行变形
下列式子从左到右的变形一定正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：A中在分式的分子与分母上同时加上3不符合分式的基本性质，故A错误；B中当c＝0时不成立，故B错误；C中分式的分子与分母同时除以3，分式的值不变，故C正确；D中分式的分子与分母分别乘方，不符合分式的基本性质，故D错误；故选C.
方法总结：考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
【类型二】 不改变分式的值，将分式的分子、分母中各项系数化为整数
不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )
A. B.
C. D.
解析：利用分式的基本性质，把的分子、分母都乘以10得.故选C.
方法总结：观察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需根据分式的基本性质让分子和分母同乘以某一个数即可．
【类型三】 分式的符号法则
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
(1)；(2)；(3).
解析：在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变．
解：(1)原式＝－；
(2)原式＝－；
(3)原式＝－.
方法总结：这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
探究点二：约分及最简分式
【类型一】 判定分式是否为最简分式
下列分式是最简分式的是( )
A. B.
C. D.
解析：A中该分式的分子、分母含有公因式a，则它不是最简分式．错误；B中该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式．错误；C中分子为(x＋1)(x－1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，则它不是最简分式．错误；D中该分式符合最简分式的定义．正确．故选D.
方法总结：最简分式的标准是分子，分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．
【类型二】 分式的约分
约分：(1)；(2).
解析：先找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质把公因式约去．
解：(1)＝＝－；
(2)＝＝.
方法总结：约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．
三、板书设计
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．
2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，任意改变其中两个符号，分式的值不变；若只改变其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．
本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习．一步一步的来完成既定目标．整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效.
