沪科版九年级数学（上）第23章《解直角三角形》单元试卷（一）及解析

沪科版九年级数学（上）第23章《解直角三角形》单元试卷（一）及解析
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=513，则cosA的值为(????)
A. 512 B. 813 C. 23 D. 1213
在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=1，AB=2，则sinA的值为(????)
A. 12 B. 3 C. 33 D. 32
把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=22，则∠2的度数为(????)
A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，BC=10，若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(????)
A. B. C. D.
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是(????)
A. CDACB. CBABC. BDCBD. CDCB
河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：3(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(????)
A. 53米 B. 10米 C. 15米 D. 103米
将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为(????)
A. 1B. 12C. 3+12D. 32
如，斜A的坡(D与AD的比)为1：2，AC=35，坡顶有旗杆B旗杆顶端B点与A点条彩相连．AB=0米，则旗杆B的高度为(????)
A. 5米B. 6米C. 8米D. (3+5)米
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
如图，六个正方形组成一个矩形，A，B，C均在格点上，则∠ABC的正切值为______．
如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B地，此时观察目标C的俯角是50°，则这座山的高度CD是______ 米(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)
已知α、β均为锐角，且满足|cosα?12|+tanβ?3=0，则α+β的度数为______ ．
王英同学从A地沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英同学离A地的距离是______米．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长斜边AB到点D，使BD=AB2，连结DC.若tan∠ABC=2，则tan∠BCD的值是______ ．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，P、Q分别是AC、AB边上的动点，PQ//BC，点A关于直线PQ的对称点为A'，连结A'B，设线段AP的长为t．(1)当t=54时，∠A'BC的正弦值为______；(2)若线段A'B的垂直平分线与线段AC有公共点，则t的取值范围是______．
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
如图是一座人行天桥示意图，天高是10米，CB⊥B，坡面AC的倾斜角为45了方便行人推车天桥市政门决定降低坡度，使新坡D的坡i=3：3.若坡角外需留3米的人道，问离原角(点处)0米的建筑物是需要拆除？(考据：2≈1.14，3≈.732)

如图益市梓山湖中有一孤立小岛，边有条笔直的光AB，现决小架座与光小道垂直的小桥PD，小张小上测得如数据：A=.0米，∠AB=38.°，∠PBA=6.5°请帮助小张求出桥PD的长并确定小桥道上的位置．(以A，为参照点，结精确01米) (参考数据si38.=0.6，cs385°=0.，tan8.5°=0.80，sin2.5°=0.，os6.5°=0.，tan26.5=0.50)

四、解答题（本大题共6小题，共60分）
如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD=80°，(AB‖ED)，求手柄的一端A离地的高度h.(精确到0.1米，参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)

如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板(厚度忽略不计)距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．(sin53°≈0.80,cos53°≈0.60)

如图某仓储中心有一B，其度i1：2，顶A处的高AC为4，B、C在同水平地面上．矩形DEFG为体货柜侧面图，其中D=2.5，EF=2，该货沿斜坡向上运送，BF=35m时，求点D离面的(5≈2.236果精确0.1m)
如图，登山缆车从点A出发，途经点B后终点C其中AB与BC段的行路程为00m，且AB段运行路与水面的夹角为30，BC段的运行路线与平面夹角为2，求缆车点A行点C的上升的距离(参考数sin42≈0.67，o2≈0.74，tan2°≈0.90)

201年月2日，四川雅安发生里氏0级地震，救援救援时，用生命探仪某建筑物废墟方测到点C处有生命迹象，已知墟一侧地上两探测点A、相距米探测线与地面的夹30°和60°，如图所示，试确定命所在点C深度(结果确到1，考数据2≈.41，3≈1.7)

求雨刮杆AB过的最大积．结果保留π整数(参考数据：sin0°=32，cos0°=12tan60°=3，721≈2.85，可使用学记算器) 图1一辆汽车的背面，一种特形刮雨器，忽略雨器的宽度可抽象为一条折线OB，如所示，得连杆长为10cm，雨刮杆A长48cm，OAB=10.若动次刮雨器，雨刮杆AB正扫到水平线D的位置如图3所示．

答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵sin2A+cos2A=1，即(513)2+cos2A=1，∴cos2A=144169，∴cosA=1213或?1213(舍去)，∴cosA=1213．故选：D．根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α=1．2.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=Rt∠，BC=1，AB=2，∴sinA=BCAB=12，故选：A．根据正弦的定义进行计算即可．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】B
【解析】解：∵sin∠1=22，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°?∠1=90°?45°=45°，∴∠4=180°?∠3=135°，又∵AB//CD，∴∠2=∠4=135°．故选：B．首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．4.【答案】D
【解析】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴tan∠ABC=ACBC，∵∠ABC=40°，BC=10，∴AC=BC?tan∠ABC=10×tan40°．故选：D．根据正切函数的定义，可得tan∠ABC=ACBC，根据计算器的应用，可得答案．本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．5.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴sinA=CDAC=CBAB，同时有，sinA=sin∠DCB=DBCB．故选D．根据锐角三角函数的定义解答即可．本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=53米；故选：A．Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．7.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点C作CE⊥AD于E， 设CD=a，在Rt△BDC中，∠DBC=30°，则BD=cot30°×CD=3a，在Rt△DBA中，AD=sin45°×BD=62a，又∵CE⊥AD，∠BDA=45°，∴DE=CE=sin45°×a=22a，∴在Rt△CAE中，tan∠EAC=CEAE=CEAD?DE=22a62a?22a=3+12．即tan∠DAC=3+12．故选：C．先过点C作CE⊥AD于E，设CD=a，在Rt△BDC中，利用三角函数，可求BD，在Rt△DBA中，利用三角函数，可求AD，易证△CED是等腰直角三角形，从而利用三角函数可求CE、DE，于是在Rt△CAE中，可求tan∠EAC=CEAE=CEAD?DE，即tan∠DAC的值．本题考查了直角三角形的性质、特殊三角函数值．解本题最关键的是作辅助线CE，构造直角三角形．8.【答案】A
【解析】【分析】本题查了解直角角的应用--坡度坡问题，找到合适直角三角形熟运用勾股定是解的关．设CD=x，则AD=2x根据理求出C的长，从而求出C、AC的长，然根据勾理求B的长，即可求出BC长．【解答】
解：设CD=x，则A=x，在RtAD中，BD=102?62=8，∴5x=35，BC=8?3=米．∴x3米，∴D=2×36米，∴CD=3，选A．
9.【答案】3
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵S△ABC=12BC?AD=12×3×2，BC=12+22=5，∴AD=65=655，∵AB=22+22=22，∴BD=AB2?AD2=255，∴tan∠ABC=ADBD=655255=3．故答案为：3．首先过点A作AD⊥BC于点D，利用三角形的面积求得AD的长，再利用勾股定理求得BD的长，继而求得答案．此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10.【答案】1900
【解析】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=ECBE，则BE=ECtan∠EBC=56x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=ECAE，则AE=ECtan∠EAC=x，∵AB+BE=AE，∴300+56x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE?EC=3700?1800=1900(米)．故答案为：1900．设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，要能将实际问题转化为数学计算．11.【答案】120°
【解析】解：由题意得，cosα?12=0，tanβ?3=0，解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．12.【答案】1003
【解析】解：如图，作AE⊥BC于点E．∵∠EAB=30°，AB=100，∴BE=50，AE=503．∵BC=200，∴CE=150．在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC=1003．即此时王英同学离A地的距离是1003米．故答案为：1003．先在直角△ABE中利用三角函数求出BE和AE，然后在直角△ACF中，利用勾股定理求出AC．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13.【答案】23
【解析】解：如图，作BE⊥BC，交CD于点E， ∵BD=AB2，∴设BD=x，则AB=2x，∵tan∠ABC=ACBC=2，∴设AC=2a，则BC=a，∵AC2+BC2=AB2，即4a2+a2=4x2，解得：a=255x或a=?255x(舍)，则AC=455x，BC=255x，∵AC⊥CB，∴AC//BE，∴△DEB∽△DCA，∴BEAC=BDAD，即BE455x=x2x+x，∴BE=4515x，∴tan∠BCD=BEBC=4515x255x=23，故答案为：23．作BE⊥BC交CD于点E，由BD=AB2设BD=x，则AB=2x，由tan∠ABC=ACBC=2设AC=2a，则BC=a，根据勾股定理可得a=255x，即AC=455x，BC=255x，再证∴△DEB∽△DCA得BEAC=BDAD，即BE455x=x2x+x，从而得出BE=4515x，最后根据正切函数定义可得答案．本题主要考查解直角三角形的应用，根据题目需要建立合适的直角三角形并表示出所需线段的长度是解题的关键．14.【答案】35；0≤t≤1或5≤t≤3
【解析】解：(1)由题意知，AP=A'P=t，A'C=4?2t，当t=54时，A'C=4?2×54=32，∵BC=2，∴A'B=A'C2+BC2=94+4=52，，故答案为：35； (2)如图，以点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 根据题意知点A'(2t,0)，点B(4,2)，设直线A'B解析式为y=kx+b，则有2tk+b=84k+b=2，解得：b=2tt?2k=12?t，∴直线A'B的解析式为y=12?tx+2tt?2，∵直线ME是线段A'B的中垂线，∴M为A'B的中点，作MN⊥A'C于点N，∴MN//BC，∴△A'MN∽△A'BC，，即12=MN2=A'N4?2t，可得MN=1，A'N=2?t，则ON=2t+2?t=t+2，∴点M的坐标为(t+2,1) ∴直线ME的解析式为y?1=(t?2)(x?t?2)，即y=(t?2)x?t2+5，当y=0时，(t?2)x?t2+5=0，解得：x=t2?5t?2，若直线ME与线段AC有公共点，则0≤t2?5t?2≤4，①当t?2<0，即t<2时，t≥0t2?5≤0t2?5≥4(t?2)，解得：0≤t≤1；②当t?2>0，即t>2时，t2?5≥0t2?5≤4(t?2)，解得：5≤t≤3；综上，0≤t≤1或5≤t≤3，故答案为：0≤t≤1或5≤t≤3．(1)根据题意表示出AP=A'P=t，A'C=4?2t，由t的值得出A'C的长，继而求出A'B，根据正弦函数定义可得答案；(2)以点O为原点、AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，知A'(2t,0)、点B(4,2)，待定系数法可求得直线A'B的解析式，作MN⊥A'C于点N，由△A'MN∽△A'BC得MN=1、A'N=2?t，从而得出点M的坐标为(t+2,1)，根据直线ME是线段A'B的中垂线可得直线ME的解析式为y?1=(t?2)(x?t?2)，由直线ME与线段AC有公共点可得0≤t2?5t?2≤4，解之即可得t的范围．本题主要考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、待定系数求一次函数解析式、解不等式组等知识点，将公共点问题转化为不等式问题求解是解题的关键．15.【答案】解：需要除理由为：∴ABC=10米，∴△C为等腰直角三形，∵37.32=0.32>1，∴DC2BC=2米，D=CD2?BC2=103米，∴ADB?AB=(103?10米≈732米，需要拆除．
【解析】需除，理为：根据题意到三形ABC腰直角三角，求B的长在直角三角形BC中根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数3，利用30度所的等于斜边的一半求出DC长，再勾股定理求出DB的长，由DB?AB求出AD的长AD+30比较即可得到结．题考查了直角三角的应用?坡度坡问题，涉及的知识有勾股定理，等腰三的性质含0度直角三角的性质，坡角与坡之间的关，熟练掌握质及定理是解本的关．16.【答案】解：设PD=x，在Rt△PAD中，n∠PD=xAD，又AB=0.0米，∴54x+280.0，∴DB=49.(米．PD⊥AB，∴B=xtan26.°≈x0502x，在Rt△PD中，tnPBD=xDB，：桥PD的长约为246，位于AB之间距B点约492米．
【解析】设D=米，在R△PAD中表示出D，Rt△PB中示出BD，由B=0.0，得出方，解出可得PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位．本题考查了解直三角形的应用，解本题键是造直角角形，利用三函表示出相关线的长度，度一般．17.【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=∠FCD?∠ACD=∠CGD+∠CDE?∠ACD=90°+12°?80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE≈0.42m，∴h=0.42+0.74=1.156≈1.2(米)，答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．
【解析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．18.【答案】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB=3，∠CAB=53°，∵cos53°=ACAB，∴AC=3cos53°≈3×0.6=1.8(m)，∴CD≈3+0.5?1.8=1.7(m)，∴BE=CD≈1.7(m)，答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．
【解析】在△ABC中，BC⊥AC，AB=3，∠CAB=53°，故有AC=3cos53°≈3×0.6=1.8，CD≈3+0.5?1.8=1.7，即BE=CD=1.7m．本题考查了解直角三角形的应用．解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数即可解答．19.【答案】解：∵坡度i=12，C=4m，∵GH=∠BSH，∠DHG∠BS，∴x2(2)2=52，∴GH=1，∴GHGD=12，∴BC=4×2=．∴D=12+22=5mBH=BF+FH=3.5+2.?)5m，作DSBC，足为S，且与B相交H．∴x=5m，∴D=5+5=25≈4.5m．
【解析】根据坡定直接解答即可；作⊥垂足为S，且与AB相交于H.证出∠DH=∠SB，根据GHGD=12得到H=1m，利用股理求出H的长，然后求出BH=5进求出HS然后得到DS．本题查了解直角三角形的应用?坡坡题，熟悉度坡的定和勾股定是解题的关键．20.【答案】解：在直角△AD中，∵∠AD=90，∠BAD=30°AB0m，在直角△CEB中∵CB=90，∠E=42°，CB=200，∴CE=BC?in4≈200×0.67134，∴DCE≈10+134=23m．答缆车从点A行到点的垂直上升的距离约为3m．
【解析】要求缆车从点A运行到点C垂直升的距是求BD+CE的值直角△B，利用30°角所对的直角边斜边的一出BD=12A100m，解直CEB，据正弦函数的定义可得EBC?sn42°．考查了直角三角形应用?坡度角问题锐角数的定义，结合形理解题意是解决问题的关键．21.【答案】解：如图，过点作C⊥AB交于点D． ∵=AD?BD=4，在Rt△BDC中，tn6=CDBD，AD=CDta30°=3CD3，∴B=CDtan0°=CD3，在t△ADC中，an0°=CDAD，∴C=23≈3.5(????)．∵探测与面的夹角30°和60，答：命所在点的度大约为.5米．
【解析】过点CD⊥ABAB于D，则∠CAD=30°，∠CBD=0°，在R△BD，C=3BD，在RtAD，AD=3D然后根据AB=D?BD4，即可得的方程，解方程即可．本考查直角三角形的应，度适，解答本题关键构直角三形，解直角三角，也考查了实际问题转化为数学问题的能力．22.【答案】解：图所示：A点C点，B点转到D点，启动一次刮雨，杆AB正到水平CD的位置，答：雨刮杆AB旋转最大角度180°，O、B两之间的距离约为0c；∴△BO≌DCO，SBO=S△DCO，∴∠EA=3°，∴O=532+(53)2=284=2721≈5.0(cm)；∴O=102?52=53(cm,∴EB8+5=53(m)，∴雨刮杆AB扫过最面积=12π(OB2?O2)1392cm2)．∵AB长为cm，∴∠AE=0°，∵∠OAB20°，∴E=12A=5cm)，答：杆AB扫过的最大面为139πm2．
【解析】根据平行线的性得出刮AB转的最大角度，再利用锐角函数关和勾定出EO，AE，O的长即可；雨刮杆AB扫过的大面即以BO为半径的圆，进而得答案即可．此题主要考查解直角三角形用勾股定理和形面积求法勾股定等，利用平线的性得出旋转的最大角是解题关键．