北师大版八年级数学下册 1．1．4等边三角形的判定 培优训练（含答案）

北师版八年级数学下册
1.1.4 等边三角形的判定
培优训练

一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．边上的高也是这边的中线的三角形
2．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个

3．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为( )
A．2 B．6
C．9 D．15

4. 如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边三角形ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．平行、相交或垂直

5．在△ABC中，∠A＝60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，下面三种说法：①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．正确的说法有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )
A．6 B．6
C．6 D．12

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点O，且CD＝BE，则下列结论：①△ABC是等边三角形；②△BOC是等腰三角形；③∠BOC＝120°；④BD＝CE.其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个

9. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为( )
A．4 B．6
C．4 D．8

10．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是____________．

12．如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为__________.

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是__________.

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝______.

15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则BD与CD的数量关系是__________.

16．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____秒．

17．如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为_______.

18. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为________.

三．解答题（共7小题， 46分）
19．(6分) 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，求点B的对应点B′的坐标.





20．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．求∠CAE的度数；




21．(6分) 如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，试判断以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形的形状.




22．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AC的中点，DE⊥AC交BC于点E.
求证：BE＝2CE.






23．(6分) 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．





24．(8分) 已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，
AE⊥BE，垂足为E.
(1)求证：AD＝AE；
(2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．





25．(8分) 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝CF. 求证：①△ABE≌ACF；②△AEF是等边三角形；
(2)如图②，若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？证明你的结论．










参考答案
1-5DDBAA 6-10 ADDBC
11. 等边三角形
12．30 cm
13．BD＝BC
14. 2
15．BD＝2CD　
16. 26
17．5 cm
18．6
19. 解：如图，作B′H⊥y轴于点H.
由题意得OA′＝OA＝AB＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°.
∴A′H＝A′B′＝1.∴B′H＝.
∴OH＝3.
∴B′(－，3)．

20. 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝×(180°－120°)＝30°.
∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
21. 解：如图，连接PP1，PP2，PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．

22. 解：连接AE，∵D为AC的中点
∴AE＝CE，∠DAE＝∠C，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，
则∠DAE＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－30°＝90°，
∴AE＝BE，即CE＝BE，
∴BE＝2CE
23. 解：根据SAS可证△ABE≌△CAD，∴BE＝AD，∠ABE＝∠CAD.
∵∠BPQ＝∠ABE＋∠BAD，∠BAC＝∠CAD＋∠BAD，
∴∠BPQ＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°，
∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°，∴PQ＝BP，
∴BP＝2PQ＝2×3＝6，∴BE＝BP＋PE＝7，∴AD＝BE＝7
24. (1)证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥AB，∴∠E＝90°＝∠ADB，
∵AB平分∠DAE，∴∠1＝∠2，
在△ADB和△AEB中，
∴△ADB≌△AEB(AAS)，
∴AD＝AE
(2)△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，∴∠EAC＝90°，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1＋∠3＝60°，∴△ABC是等边三角形

25. 解：(1)①∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．同理可得△ACD是等边三角形．
∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)　
②由△ABE≌△ACF得AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，
即∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形　
(2)存在．证明：当BE＝CF时，与(1)同理证△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE，
∴∠EAF＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形