北师大版九年级数学下册 第3章 圆 单元测试题 （有答案）

北师大版九年级数学下册 第3章 圆 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（　　）
A．5π B．10π C．20π D．25π
2．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．50°
4．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
5．⊙O的直径为4，点A到圆心O距离为3．则（　　）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．点A与⊙O的位置关系不能确定
6．如图正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为（　　）

A．3 B．6 C．3 D．3
7．如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
8．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（　　）

A．65° B．115° C．115°或65° D．130°或65°
9．如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（　　）

A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm
10．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝6cm，在直线l上有一点P，且PM＝3cm，则点P（　　）

A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．可能在⊙O上或在⊙O内
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是　 　．

12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝　 　．

13．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是　 　米．

14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是的中点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．若∠AEC＝84°，则∠ADC＝　 　°．

15．如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，则△ABC的面积为　 　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，D是BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD翻折，若点C的对应点E落在的中点，CD＝，则BD的长为　 　．

17．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于　 　°．

18．线段AB＝10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有　 　个．
三．解答题（共8小题）
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且DB＝DC，求证：AD平分∠CAE．

20．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．

21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tanB＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求：直径AB的长．

22．若△ABC内接于⊙O，OC＝6cm，AC＝cm，则∠B等于　 　．
23．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．

24．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．

25．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．
（1）求证：；
（2）求的度数．

26．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长＝＝10π．
故选：B．
2．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
故选：D．
3．解：∵的度数为50°，
∴∠BOC＝50°，
∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BOC＝25°．
故选：B．
4．解：∵∠A＝∠BOD＝×110°＝55°，
而∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°．
故选：D．
5．解：∵⊙O的直径为4cm，
∴⊙O的半径为2cm，
而点A到圆心O的距离为3cm，
∴点A在⊙O外．
故选：A．
6．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：A．
7．解：过O作OD⊥OA于D，
∵∠AOB＝30°，OC＝6，
∴OD＝OC＝3＜4，
∴以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为2个，
故选：C．

8．解：如图，连接OB、OC，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠OBA＝∠OCA＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∵∠BOC＝2∠P，
∴∠BPC＝65°；
故选：AC．

9．解：∵弦CD⊥OB于M，
∴CM＝DM＝CD，
∵OM：MB＝4：1，
∴OM＝OB＝8cm，
∴CM＝＝＝6（cm），
∴CD＝2CM＝12cm，
故选：C．
10．解：∵过点O作OM⊥l，连接OP，
∴MP＝3cm，OM＝6cm，
∴CO＝＝＝3，
∵⊙C的半径r＝10cm，
∴d＝3＜10，
∴点P在圆内，．
故选：A．

二．填空题（共8小题）
11．解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴阴影部分的面积＝＝π．
故答案为π．
12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，
故答案为：110°．
13．解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF＝FD．
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得
12+（3﹣x）2＝x2．
解得 x＝，
∴⊙O的直径为．
故答案为：．

14．解：连接BD、BC，
∵B是的中点，
∴＝，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵EC是⊙O的切线，切点为C，
∴∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴84°+∠ADC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝64°．
故答案为64．

15．解：设CE＝x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12．
∴S△ABC＝AC?BC
＝（x+3）（x+4）
＝（x2+7x+12）
＝×（12+12）
＝12；
故答案为：12．
16．解：连接BE，作EF⊥BD于F，如图所示：
由折叠的性质得：∠DAC＝∠DAE，DE＝CD＝，
∵点E是的中点，
∴，
∴BE＝DE＝，∠DAE＝∠BAE＝∠BDE＝∠DBE，
∴∠DAC＝∠DAE＝∠BAE，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∵EF⊥BD，
∴DF＝BF，EF＝DE＝，
∴DF＝EF＝，
∴BD＝2DF＝；
故答案为：．

17．解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，
故答案为18．
18．解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．

故答案为：2．
三．解答题（共8小题）
19．证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴AD平分∠CAE．
20．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．

（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（）2+42，
解得r＝或（舍弃），
∴⊙O的半径为．

21．（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，
∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．
∴AD∥OH∥BC．
又∵OA＝OB．
∴DH＝HC．
∵OH⊥DC，OH过圆心，
∴EH＝HF，
∴DH﹣EH＝HC﹣HF．
即：DE＝CF．

（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，
∵∠AGB＝∠BCN＝90°，
∴AG∥DC．
∵AD∥BC，
∴AD＝CG．
∵AD＝2，BC＝4，
∴BG＝BC﹣CG＝2．
在Rt△AGB中，∵tanB＝3，
∴AG＝BG?tanB＝2×3＝6．
在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2
∴AB＝．

22．解：如图1，
连接OA，OC，过O作OD⊥AC于D，
∵OD⊥AC，OD过圆心O，
∴AD＝CD＝AC＝3，
由勾股定理得：OD＝＝＝3，
即OD＝OC，
∴∠DCO＝30°，∠COD＝60°，
同理∠AOD＝60°，
∵∠B＝∠AOC，
∴∠B＝60°．
②如图2
∵由垂径定理得CM═3，OC＝6，由勾股定理得：OM＝3，
∴∠OCM＝30°，∴∠MOC＝60°，
∴∠AOC＝2∠MOC＝120°，
由圆周角定理得：∠D＝60°，
∵A、D、C、B四点共圆，
∴∠ABC＝120°，
故答案为：60°或120°．

23．（1）证明：∵弧AC＝弧AC，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠AFB＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠AFB，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∵AB是圆的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示：
∵AB⊥BF，CD＝2，
∴PD＝PC＝CD＝，
∵BP＝1，
∴OP＝r﹣1
在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（）2
解得：r＝3．
即⊙O的半径为3．

24．解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；

（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴＝，
∵M为的中点，
∴＝，
∴+＝+，
∴；
（2）解：连接OM，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，
∴的度数时135°．

26．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；

（2）解：连接OD．

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE＝DE：BE，
∴1：＝：BE，
解得：BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∴⊙O的半径为2，
∵tan∠EOD＝＝，
∴∠EOD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴的长＝＝π．