北师大版九年级数学下册 第3章 圆 单元测试题（有答案）

北师大版九年级数学下册 第3章 圆 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．圆心角为60°，半径为1的弧长为（　　）
A． B．π C． D．
2．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
3．下图中∠ACB是圆心角的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为（　　）

A．32° B．29° C．58° D．116°
5．已知⊙O的半径为6，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．不确定
6．正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3的圆与PB的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
8．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　）

A．40° B．140° C．70° D．80°
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm
10．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（　　）

A．≤OP≤ B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤4
二．填空题（共8小题）
11．时钟的分针长6厘米，从10：00到11：00，分针扫过的面积是　 　平方厘米．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，∠C＝　 　°．

13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为　 　m．

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝　 　°．

15．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为　 　cm．

16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为　 　．

17．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于　 　°

18．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个．

三．解答题（共8小题）
19．如图，A，B，C，D是⊙O上四点，且AB＝DC，求证：AD∥BC．

20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．

21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若tan∠ACO＝，CD＝6，求⊙O的直径．

22．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，高AD的延长线交⊙O于点E，BC＝6，AD＝5．
（1）求⊙O的半径；
（2）求DE的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD＝3，AD＝4，则DE＝　 　．

24．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．

25．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　 　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．

26．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：圆心角为60°，半径为1的弧长＝＝．
故选：D．
2．解：∵⊙O的半径是5cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm，
故选：B．
3．解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；
C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
4．解：∵弦BC⊥OA，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°．、
故选：B．
5．解：∵OA＜R，
∴点A在圆内，
故选：B．
6．解：∵正六边形的周长是6，
∴其边长＝＝1．
∵正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，
∴它的外接圆半径是1．
故选：A．
7．解：过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，
∴OC＝OP＝3＜3，
∴半径为3的圆与PB的位置关系是相交，
故选：C．

8．解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．

9．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，
∴CE＝CD＝4cm．
在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，
∴OE＝＝＝（cm），
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
10．解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，

∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴B'A＝＝＝5，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴≤OP≤，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．解：∵时钟的分针长6厘米，从10：00到11：00，
∴分针转动了360°，
∴分针扫过的面积是：π×62＝36π（平方厘米）．
故答案为：36π．
12．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C═180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
13．解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m．
故答案为：25．
14．解：连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠COB＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，
故答案为：115．

15．解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4，
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4＝4＝8，
故答案为：8．

16．解：如图，

过点C作CE⊥y轴于点E，
连接OC交AB于点D，
根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，
作AO的垂直平分线交AB于点O′，
则点O′即为△AOC的外心，
设OB＝CB＝x，
∵点C（4，8）
∴CE＝4，OE＝8，
则OC＝＝＝4
∴CD＝OD＝2，
EB＝8﹣x，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，
即OB＝BC＝5，
∴BD＝＝＝
∵OD2＝BD?AD
∴AD＝4
设OO′＝AO′＝r，
则DO′＝4﹣r，
∴（4﹣r）2+（4）2＝r2
解得r＝．
所以△AOC的外接圆半径为：．
故答案为：．
17．解：如图，延长BC交⊙O于点D，连接AD，OA．

∵BD是直径，
∴∠DAB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠D＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠D＝∠OAD＝60°，
∴∠AOB＝∠D＝∠OAD＝120°，
∴劣弧的度数等于120°，
故答案为120°．
18．解：过O作OC⊥AB于C，

∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴AB≠12，
∴AB?OC＝18，
∴AB＝＜12，
∴3＜OC≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝4或5或6，P点有4个．
故答案为：4．
三．解答题（共8小题）
19．证明：如图，连接AC．

∵AB＝CD，
∴＝，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC．
20．解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．

21．（1）证明：∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△BCE中，∵tan∠BCD＝tan∠ACO＝＝，
∴BE＝1，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣1，
在Rt△OCE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴⊙O的直径为10．
22．解：（1）如图，作直径BF，连接CF，
∴∠BCF＝90°，
∵∠F＝∠BAC＝60°，
∴BF＝＝＝4，
∴⊙O的半径为；

（2）如图，过O作OG⊥AD于G，OH⊥BC于H，
∴GE＝GA，四边形OHDG是矩形，
∴OH＝DG，
∵OB＝，∠FBC＝30°，
∴OH＝，
∴DG＝，
∴AG＝AD﹣GD＝5﹣，
∴EG＝5﹣，
∴DE＝EG﹣GD＝＝．

23．（1）证明：连接OD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC
∵OA＝OD
∴∠BAD＝∠ODA
∴∠ODA＝∠DAC
∴OD∥AE
∴∠ODE+∠E＝180°
∵DE⊥AE
∴∠E＝90°
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥DE
∵点D在⊙O上
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝3，AD＝4，
∴AB＝5，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADB＝∠E＝90°，
∴△BAD∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．

24．解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴AC＝2×＝cm．
25．解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．

26．解：（1）连接OB，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝BC＝4，
在Rt△BOE中，∠AOB＝60°，
∴OB＝＝，
∴劣弧BC的长＝＝π（cm）．