5.1.2 垂线教学课件
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课件26张PPT。2020年春 人教版 七年级下数学 教学课件 5.1.2 垂线 1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
它们解决问题. （重点、难点） 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？一、垂线在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.）α abbbbb）α 问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？ ABCDO由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.1.垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. （1）如果直线AB与直线CD垂直，那么
可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
（2）如果用l、m表示这两条直线，那
么直线l与直线m垂直，可记作：
l⊥m（或m⊥l）.
（3）把互相垂直的两条直线的交点叫
作垂足（如图中的O点）.ABCDlm2.垂直的表示法符号语言：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义） .3.垂线的判定例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,
则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则
∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶3，那么∠COA＝____ ,∠BOC的补角
为 .a⊥b 90°60°150°图1图2 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2折一折你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?例2如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°，
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，
所以∠AOC＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.二、垂线的画法及基本事实问题：
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?问题 这样画l的垂线可以画几条？lO（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.A无数条lA1.放
2.靠
3.移
4.画（2）如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？一条lAB1.放
2.靠
3.移
4.画（3）如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.根据以上操作，你能得出什么结论 问题 这样画l的垂线可以画几条？一条垂线的性质注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.l 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. A三、点到直线的距离 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.特别规定：l A1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等
B.互余
C.互补
D.互为对顶角
B2.如图，点C到直线AB的距离是指( )
A.线段AC的长度
B.线段CD的长度
C.线段BC的长度
D.线段BD的长度
B3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定C4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .32°5.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 .
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；
②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．①②③④6.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．解：(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
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2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
它们解决问题. （重点、难点） 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？一、垂线在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.）α abbbbb）α 问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？ ABCDO由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.1.垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. （1）如果直线AB与直线CD垂直，那么
可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
（2）如果用l、m表示这两条直线，那
么直线l与直线m垂直，可记作：
l⊥m（或m⊥l）.
（3）把互相垂直的两条直线的交点叫
作垂足（如图中的O点）.ABCDlm2.垂直的表示法符号语言：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义） .3.垂线的判定例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,
则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则
∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶3，那么∠COA＝____ ,∠BOC的补角
为 .a⊥b 90°60°150°图1图2 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2折一折你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?例2如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°，
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，
所以∠AOC＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.二、垂线的画法及基本事实问题：
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?问题 这样画l的垂线可以画几条？lO（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.A无数条lA1.放
2.靠
3.移
4.画（2）如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 问题 这样画l的垂线可以画几条？一条lAB1.放
2.靠
3.移
4.画（3）如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.根据以上操作，你能得出什么结论 问题 这样画l的垂线可以画几条？一条垂线的性质注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.l 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. A三、点到直线的距离 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.特别规定：l A1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等
B.互余
C.互补
D.互为对顶角
B2.如图，点C到直线AB的距离是指( )
A.线段AC的长度
B.线段CD的长度
C.线段BC的长度
D.线段BD的长度
B3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定C4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .32°5.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 .
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；
②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．①②③④6.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．解：(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.
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