沪科版九年级数学上册《第23章解直角三角形》单元试卷(含解析）

沪科版九年级数学（上）《第23章解直角三角形》单元试卷及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为(????)
A. 63米B. 6米C. 123米D. 12米
下列计算错误的是(????)
A. sin60°?sin30°=sin30° B. sin245°+cos245°=1C. (tan60°)2=3 D. tan30°=sin30°cos30°
小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C=α(B'C为水平线)，测角仪B'D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(????)
A. 11?sinαB. 11+sinαC. 11?cosαD. 11+cosα
如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为(????)
A. 2+3 B. 23 C. 3+3 D. 33
计算：(12)?1+tan30°?sin60°=(????)
A. ?32 B. 2 C. 52 D. 72
若一个三角形各边的长度都扩大2倍，则扩大后的三角形各角的度数都(????)
A. 缩小2倍 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处于灯塔P的距离为(? ? ??)
A. 303海里 B. 153海里 C. 302海里 D. 152海里
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD=30°，则AD：DC=(????)
A. 33B. 22C. 2?lD. 3?l
△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B?3|+(2sinA?3)2=0，则△ABC是(????)
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等边三角形C. 等腰(不等边)三角形 D. 等腰直角三角形
如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y=4x(x>0)、y=?3x(x<0)的图象交于A、B两点，则tan∠OAB的值是(????)
A. 32B. 33C. 1D. 12
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
用不等号“>”或“<”连接：sin50°______cos50°．
计算：2?1×12+2cos30°=______．
如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=______．
如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为______m(结果保留根号)
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
如图，王老师站在湖边度假村的景点A处，观察到一只水鸟由岸边D处飞向湖中小岛C处，点A到DC所在水平面的距离AB是15米，观测水鸟在点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，求C、D两点之间距离．(精确到0.1.参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，tan11°≈0.19)

如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长(结果保留根号)．

四、解答题（本大题共6小题，共60分）
中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米．某天该深潜器在海面下1800米的A点处作业(如图)，测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°．(1)沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由；(2)由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和计算数据如下表所示：
??????????数据 组别????????
CD的长(m) ?
BC的长(m)??
仰角α ?
AB的长(m) ?
第一组???? ??
1.59
13.2
32°
9.8
第二组????? ?
1.58
13.4
31°
9.6
第三组?????? ?
1.57
14.1
30°
9.7
第四组???? ? ?
1.56
15.2
28°
(1)利用第四组学生测量的数据，求旗杆AB的高度(精确到0.1m)；(2)四组学生测量旗杆高度的平均值约为______ m(精确到0.1m)．(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)
如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．

如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(最后结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.7)

热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高(3≈1.732，结果保留小数点后一位)？

如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号)．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由于AB=12(米)，仰角α=60°，则BC=AB?tan60°=123(米)，故选：C．此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．2.【答案】A
【解析】解：A、sin60°?sin30°=32?12≠sin30°，故A符合题意；B、sin245°+cos245°=1，故B不符合题意；C、(tan60°)2=3，故C不符合题意；D、tan30°=sin30°cos30°，故D不符合题意；故选：A．根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．设PA=PB=PB'=x，在Rt△PCB'中，根据，列出方程即可解决问题．【解答】解：设PA=PB=PB'=x，在Rt△PCB'中，，∴x?1x=sinα，∴x?1=xsinα，∴(1?sinα)x=1，∴x=11?sinα．故选A．4.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，∴AB=2AC，BC=ACtan30°=3AC．∵BD=BA，∴DC=BD+BC=(2+3)AC，∴tan∠DAC=DCAC=(2+3)ACAC=2+3．故选A．5.【答案】C
【解析】解：(12)?1+tan30°?sin60°=2+33×32=2+12=52故选：C．根据实数的运算，即可解答．本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．6.【答案】B
【解析】解：∵一个三角形各边的长度都扩大2倍，∴新三角形与原三角形相似，∴扩大后的三角形各角的度数都不变．故选：B．由一个三角形各边的长度都扩大2倍，可得新三角形与原三角形相似，然后由相似三角形的对应角相等，求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意根据题意得到新三角形与原三角形相似是解此题的关键．7.【答案】C
【解析】【分析】根据题意得到∠APC=45°，∠BPC=60°，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形?方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、方向角的概念是解题的关键．【解答】解：由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，∴PC=PA?cos∠APC=152，在Rt△BPC中，BP=PCcos∠BPC=15212=302(海里)，故选C．8.【答案】D
【解析】解：在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，设CD=1，则BC=3，又Rt△ABC是等腰三角形，∴BC=AC，∴AD：DC=3?1：1=3?1．故选D．先在Rt△BCD中求出CD，BC的长，进而可求解AD的长，即可得出线段的比值．本题主要考查了简单的直角三角形的求解问题，应熟练掌握．9.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了非负数的性质以及等边三角形的判定，利用非负数的性质得出tan2B?3=0，2sinA?3=0是解题关键，又利用了特殊角三角函数值．根据非负数的性质，可得特殊角三角函数，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由|tan2B?3|+(2sinA?3)2=0，得tan2B?3=0，2sinA?3=0，由∠A，∠B均为锐角，得tanB=3，sinA=32，A=60°，B=60°，∠C=180°?∠A?∠B=60°，∴∠C=∠A=∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选B．10.【答案】A
【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，，∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=?3x的图象上，∴S△OBD=32，S△AOC=2，∴OBOA=32，∴tan∠OAB=OBOA=32．故选：A．首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=?3x的图象上，即可得S△AOC=2，S△OBD=32，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得OBOA=32，然后由正切函数的定义求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．11.【答案】>
【解析】解：∵cos50°=sin40°，sin50°>sin40°，∴sin50°>cos50°．故答案为>．先由互余两角的三角函数的关系得出cos50°=sin40°，再根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出sin50°>sin40°，从而得出结果．本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．也考查了互余两角的三角函数的关系．12.【答案】23
【解析】解：2?1×12+2cos30°=12×23+2×32=3+3=23，故答案为：23．根据特殊角的三角函数值和实数的乘法和加法法则可以解答本题．本题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．13.【答案】2
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【解答】
解：如图，连接BE， ∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC//BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2．
14.【答案】(5+53)
【解析】解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE=BEtan30°=53m，在Rt△ACE中，AE=CE?tan45°=53m，AB=BE+AE=(5+53)m．故答案为：(5+53).作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．本题考查解直角三角形的应用?仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．15.【答案】解：在Rt△ABD中，∵AB=15米，∠ADB=53°，∴ABBD=tan53°≈1.33，∴BD=11.28(米)，在Rt△ABC中，∵AB=15米，∠ACD=11°，∴ABBC=tan11°≈0.19，解得：BC≈78.95(米)，∴CD=BC?BD=78.95?11.28≈67.8(米)．答：C、D两点之间距离为67.8米．
【解析】根据AB=15米，点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，在Rt△ABD和Rt△ABC中，分别求出BC和BD的长度，然后即可求出CD=BC?CD的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．16.【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=CHAH，∴CH=AH?tan∠CAH，∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×33=23(米)，∵DH=1.5，∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=CDCE，∴CE=CDsin60°=23+1.532=(4+3)(米)，答：拉线CE的长为(4+3)米．
【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17.【答案】解：(1)过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD=x米，在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=60°，∴BD=33x，∴AB=AD?BD=x?33x=2000，解得：x≈4732，∴船C距离海平面为4732+1800=6532米<7062.68米，∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内； (2)t=1800÷2000=0.9(小时)．答：“蛟龙”号从B处上浮回到海面的时间为0.9小时．
【解析】(1)过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD为x米，在Rt△ACD和Rt△BCD中，分别表示出AD和BD的长度，然后根据AB=2000米，求出x的值，求出点C距离海面的距离，判断是否在极限范围内；(2)根据时间=路程÷速度，求出时间即可．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．18.【答案】9.6
【解析】解：(1)∵由已知得：在Rt△ADE中，∠α=28°，DE=BC=15.2米，∴AE=DE×tanα=15.2×tan28°≈8.04米，∴AB=AE+EB=1.56+8.04≈9.6米，答：旗杆的高约为9.6米； (2)四组学生测量旗杆高度的平均值为(9.8+9.6+9.7+9.6)÷4≈9.7米．(1)首先在直角三角形ADE中利用∠α和BE的长求得线段AE的长，然后与线段BE相加即可求得旗杆的高度；(2)利用算术平均数求得旗杆的平均值即可．本题考查了解直角三角形的知识，了解仰角及俯角的定义是解答本题的关键，难度不大．19.【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=CHAH，∴CH=AH?tan∠CAH，∴CH=AH?tan∠CAH=6tan30°=6×33(米)，∵DH=1.5，∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=CDCE，∴CE=CDsin60°=4+3≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米．
【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H.在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．20.【答案】解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE?tan30°=0.93米，则CD=DE?CE=2.7?0.93≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．
【解析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共边BE求得DE、CE，再根据CD=DE?CE计算即可求出答案．本题考查解直角三角形的知识．要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．21.【答案】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×33=403m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×3=1203m，BC=403+1203=277.12≈277.1m．答：这栋楼高约为277.1m．
【解析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．22.【答案】解：(1)根据题意得：BD//AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米； (2)延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴CF=AF?tan∠FAC=60×33=203，又∵FD=60，∴CD=60?203，∴建筑物CD的高度为(60?203)米．
【解析】(1)根据题意得：BD//AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；(2)延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．