人教新课标A版选修2-2 1.3导数单调性 同步培优练习（解析版）

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导数单调性培优练习
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．

2．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【解析】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
3．已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是( )
A． B． C． D．
【解析】函数的导函数为，
，∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故选：D．
4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，
由题意在恒成立，即在恒成立，
时，，，
所以，所以．故选：D.
5．函数的单调递减区间是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，可得，
令，即，解得，即函数的递减区间为.
6．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值
【解析】由题意，函数的导函数的图象可知：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数单调递减区间为，递增区间为，
且函数在和取得极小值，在取得极大值，故选D．
7．已知是定义在上的偶函数，且当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，则，
∵当时，有，∴，∴在上单调递增．
又是定义在上的偶函数，∴也是定义在上的偶函数（因为），
不等式可化为，即，
∴，或．
故选：C.
8．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D

9．设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，（3），
（3），定义在的函数，
，令，不等式（3），
即为（3），，，
，，，
，单调递增，又因为由上可知（3），
，，．故选：．
10．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
由，，，得，
令，则．故在，递减；
（e）（1），即（e）（1）．
故选．
11．设函数是奇函数的导函数，（），，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由于是定义在上的奇函数，所以.构造函数，当时，，所以在上递增，由于，所以为偶函数，所以在区间上递减且.所以当时，，；当时，，.所以使得成立的的取值范围是.
故选：A
12．定义域为的函数满足，且对恒成立，则的解集为（）
A． B． C． D．
【解析】构造函数，则有，且.由，可知，则为增函数，故.故选：A。
13．已知函数在其定义域内的子区间上不单调,则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】因为
所以
令，即，
解得或（舍）
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
而在区间上不单调，
所以
解得，
因为是函数定义域内的子区间，
所以，即，
所以的范围为.
故选：D.
14．已知定义是上的偶函数在上递增，记函数，对于如下两个命题：①存在函数，使函数在上递增；②存在函数，使函数在上递减.下列判断正确的是（ ）
A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【解析】，则为奇函数,
所以在上的单调性与在上的单调性相同．
(1) 若，则，显然在上是增函数，所以①为真命题.
(2) 若当时，若，则


当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以
所以在上单调递减，又为奇函数且，所以函数在上递减.故选：A
15．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数是偶函数，排除选项；
当时，函数 ，可得，
当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.
16．若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】由，可得，
由题意可得存在，使得，
即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，故选B.
17．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数在定义域上为增函数，
在不等式两边同时乘以得，即，
所以，解得，
因此，不等式的解集为，故选：D.
18．已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是
A． B． C． D．
【解析】构造函数，所以，即函数在上单调递减，又为奇函数，所以即，所以，故选C.
19．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据可知，
令为增函数，
所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.
20．函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，，
，
，恒成立，
，
，
，
函数在上单调递增，
，即，；
令，，
，
，恒成立，
，
函数在上单调递减，
，即，，
综上可得故选：．

21．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________
【答案】(－π，0]
【解析】∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，
在[0，π]上是减函数，∴只有－π22．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题意得：，
因为在区间上单调递减，
所以在区间恒成立，
所以.
故答案为：.

23．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，在上恒成立，
所以在上递减；
当时，令，
当时，，当时，，
则在上递减，在上递增.
（2）
在恒成立，
所以，即
令，则有，
令，则有在上恒成立.
故在上为减函数，
所以在上为减函数，
则，故.
另解令，则至少有.
当时，则有，
令，开口向上，对称轴，
故在上为增函数，
所以在上为增函数，
则，故.
24．已知函数.
（1）设是的极值点，求的单调区间；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）在上减，上增；（2）证明见解析.
【解析】（1）的定义域为，，
由，
所以，又因为，
所以在上单调递增，注意到，
所以在上减，上增.
（2）由，所以,
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增 ，
所以是的最小值点，，故.
25．已知函数（a为实常数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）时，的增区间为；时，的增区间为，减区间为 （2）
【解析】（1）的定义域为，，
①若，则恒成立，故的上单调递增；
②若，则当时，，当时，，
综上，当时，的增区间为，
当时，的增区间为，减区间为
（2）∵的定义域为，∴，
又，故.
设

，
，
∴在上单调递增，
又，∴当时，，
当时，，
∴当的解集为.
【点睛】
本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了分类讨论的思想，此题属于难题.
26．已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2)
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为．
．
① 若，则
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
②若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．
（Ⅱ）原题等价于对任意，有成立，
设，所以．
．
令，得；令，得．
∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，
为与 中的较大者．
设 ，
则，
∴ 在上单调递增，故，
所以，
从而 ．
∴ ，即．
设 ，则．
所以在上单调递增．
又，
所以的解为．
∵，
∴ 的取值范围为．















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