(共28张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
九年级数学下（HK）
教学课件
24.2 圆的基本性质
第2课时 垂径分弦
第24章 圆
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决
一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
视频引入
导入新课
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道
如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
讲授新课
问题2 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， （或 ）.
·
O
A
B
D
E
C
证明：连接OA，OB，则OA=OB.△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称. 同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，
所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿
着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，AE与BE重合，点A与点B重
合， 与 重合， 与 重合.
因此 AE=EB， ， .
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
(1) CD⊥AB吗？为什么？
(2)
·
O
A
B
C
D
E
解：(1)CD⊥AB，理由如下：
连接AO，BO，如图，则AO=BO.
又∵AE=BE，OE=OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例1 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心
到弦AB的距离.
·
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O作 OE⊥AB，垂足为E，则
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
一
典例精析
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
【变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = cm.
解析：连接OA，如图.
∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=2×8=16（cm）.
16
一
例2 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC
= 2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，根据勾股定理，得
解得 x=5.
即半径OC的长为5cm.
x2 = 42 + ( x－2)2 ，
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM，
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴AM－CM＝BM－DM，
∴AC＝BD.
⌒
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⌒
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥主桥拱的半径.
由垂径定理，得
AD = 1/2 AB = 18.7 m，
设⊙O的半径为R，
在Rt△AOD中，AO=R，
OD=R-7.2，AD=18.7.
由勾股定理，得
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交弧AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2m.
解得 R ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为27.9m.
∴R2 = (R-7.2)2 +18.72.
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
归纳总结
1/2a
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
2.已知⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°, 则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
当堂练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴ AE=AD，
∴ 四边形ADOE为正方形.
∴
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接 OC，如图.
设这段弯路的半径为 R m，
则OF = (R-90) m.
∵OE⊥CD，∴CF=1/2CD=300(m).
根据勾股定理，得
∴R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
拓展提升：
7.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3cm≤OP≤5cm
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
课堂小结
