北京市第十五中学2018-2019学年度高一数学第二学期期中考试试卷及答案(word版）

北京十五中高一年级数学期中试卷2019.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。 第Ⅰ卷 （选择题，共75分）一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上）
1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )

A．棱柱 B．棱台
C．圆柱 D．圆台

2．在区间上随机取一个实数x，则x使不等式成立的概率为（ ）
A． B． C． D．
3． 已知△ABC中，a＝，b＝，∠B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135°　　　B．90° C．45° D．30°
4．△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若，∠C=，
则c的值等于（ ）
A. 5 B. 13 C. D.
5．△ABC中, 如果, 那么△ABC是（ ）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
6．已知A船在灯塔C北偏东70°方向2km处，B船在灯塔C北偏西50°方向3km处，则A，B两船的距离为(　　)
A． km B． km C．(＋1) km D．(－1) km
7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A. 1:2:3 B.2：3：4 C.3:2:4 D.3:1:2
8．正三棱锥的底面边长为，高为，则此棱锥的侧面积等于（ ）
A. B. C. D.

9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （　 ）
A．3 B．2 C．2 D．2

分组 频数 频率
12 0.10
30
0.40
n 0.25
合计 120 1.00
10．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从，，，四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ）
A．2，5，8，5
B．2，5，9，4
C．4，10，4，2
D．4，10，3，3


11．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ）
A． B． C． D．



12．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）
A．20000 B．6000 C．12000 D．2000

13．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）
A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，12

14．一个正三棱柱的每一条棱长都是a，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点的截面面积为 （ ）
A. B. C. D.

15．在中，角对边的边长分别为，给出下列四个结论：
以为边长的三角形一定存在；
以为边长的三角形一定存在；
以为边长的三角形一定存在；
以为边长的三角形一定存在.
那么，正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷 （非选择题，共75分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上）
16．一个高为2的圆柱,底面周长为2,该圆柱的表面积为_________.
17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．
18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm；样本数据的方差为 .
19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．
20．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sin A＝ab(sin C＋2sin B)，a＝1.则△ABC的周长的取值范围是__________．
三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）
21．（本大题12分）
随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.
（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由；
（Ⅱ）计算甲班的样本方差；
（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm的学生被抽中的概率.






22．（本大题12分）
北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）给出图中实数a的值；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；
（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率.









23．（本大题13分）
在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a＝，cosC＝，求c的长．


24．（本大题13分）
在中，角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．


北京十五中高一年级数学期中试卷2019.5
一、选择题： (8×5′=40′)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D D C C B A D A
题 号 9 10 11 12 13 14 15
答 案 B A D D B A C
二、填空题：(6×5′=30′)
题 号 16 17 18 19 20
答 案 6 2 172 , 45 15
三、解答题：
21、解析　(1)b2＋c2－a2＝bc，
cosA＝＝.…………………………………………3分
∵0<∠A<π，
∴∠A＝.…………………………………………5分
(2)∵在△ABC中，∠A＝，a＝，cosC＝，
∴sinC＝＝ ＝.…………………………………7分
由正弦定理，知＝.
∴c＝＝＝.…………………………………………13分
22、解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，…………………………………………3分
∴。……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴。…………………………………………7分
∴△ABC的面积。……13分
23、（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间的频率为
，
所以，图中实数. ………………………4分
（Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为
， ………………………5分
所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有(户). ………………………8分
（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组”为事件A，
由图可知, 样本数据中月均用水量在的户数为.记这四名同学家庭分别为,
月均用水量在的户数为.记这两名同学家庭分别为,
则选取的同学家庭的所有可能结果为：
共15种， ………………………9分
事件A的可能结果为：共8种，…11分
所以. ………………………12分
24、解：（Ⅰ）由茎叶图可知：
甲班样本平均身高 (单位：cm) 为：；
-------------------------2分
乙班样本平均身高 (单位：cm) 为：.
由可以估计乙班平均身高高于甲班. -------------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
所以，甲班的样本方差为：

. -------------------------8分
（Ⅲ）设“至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中”的事件为A.------9分
从乙班6名学生中抽中两名学生有：（180，177），（180，174），（180，171），
（180，170），（180，163），（177，174），（177，171），（177，170），（177，163），
(174, 171)，（174，170），（174，163），（171，170），（171，163），（170，163），
共15个基本事件，
而事件A含有9个基本事件， -------------------------11分
所以.
答：至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中的概率为. --------------------12分





4

8

6

10

14

2

月均用水量 / 吨



0.075

0.025

0.225

0.100

12

a