沪科版八年级数学（上）第15章 轴对称图形和等腰三角形单元试题（一）及解析

沪科版八年级数学（上）《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元试题（一）及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列说法正确的是(????)
A. 轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B. 如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴C. 所有直角三角形都不是轴对称图形D. 有两个内角相等的三角形不是轴对称图形
下列语句中，正确的是(????)
A. 等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线B. 等腰三角形的对称轴是底边上的高C. 一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D. 等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
如图，DE为△ABC中AC边的中垂线，BC=8，AB=10，则△EBC的周长是(????)
A. 16B. 18C. 26D. 28
如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为(????)
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于(????)
A. 90° B. 75° C. 70° D. 60°
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE=10°，则∠C的度数为(????)
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是(????)
A. 75°或15° B. 75° C. 15° D. 75°或30°
如图，△ADC中，∠A=15°，∠D=90°，B在AC的垂直平分线上，AB=34，则CD=(????)
A. 15 B. 17 C. 16 D. 以上全不对
如图，已知∠ACB=60°，PC=12，点M，N在边CB上，PM=PN.若MN=3，则CM的长为(????)
A. 3B. 3.5C. 4D. 4.5
如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC//AD，则S△EBC=1，其中正确的有(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=______度．
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF//BC，若EF交AD于M，EF=18，则DM= ______ ．
如图，等腰Rt△ABC，AB=AC，A(?1,0)，B(0,4)，则C点坐标为______．
如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，则(1)θ1=______；(2)θn=______．
三、解答题（本大题共9小题，共80分）
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF//BC，交AB于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长．

如图，∠AOB=30°，OA表示草地边，OB表示河边，点P表示家且在∠AOB内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里．(1)请用尺规在图上画出此人行走的最短路线图(保留作图痕迹，不写作法和理由)．(2)若OP=30米，求此人行走的最短路线的长度．
如图，已知△ABC中，AB=AC，D在BC上，连接AD，且AD=AE，若∠BAD=40°，求∠CDE的度数．

如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE//AC.求证：AE=BE．

如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．

如图所示，MP和?NQ分别垂直平分AB?和AC．(1)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；(2)若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC=∠BDE．


答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.由轴对称图形和轴对称的概念知，轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形，故A正确；B.对称轴是直线，不能是线段，故B错误；C.等腰直角三角形是轴对称图形，故C错误；D.有两个内角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，故D错误．故选A．根据轴对称图形和两个图形成轴对称的定义逐一判断即可．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后，与另一个图形完全重合，那么这两个图形成轴对称．2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了三角形的基本性质，在三角形中，高、中线对应的都是一条线段，而角平分线对应的是一条射线．这些都属于基本的概念问题，要能够吃透概念、定义．在三角形中，高、中线对应的都是一条线段，而角平分线对应的是一条射线．垂直平分线对应的是直线、对称轴对应的同样为一条直线，根据各种线之间的对应关系即可得出答案．【解答】
解：A.三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；B.三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；C.线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；D.角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误．故选C．
3.【答案】B
【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线∴AE=CE ∴AE+BE=CE+BE=10 ∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18．故选：B．利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．4.【答案】B
【解析】解：∵∠AEC=110°，∴∠AED=180°?∠AEC=180°?110°=70°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∴∠DAE=180°?2×70°=180°?140°=40°．故选B．根据邻补角的定义求出∠AED，再根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．5.【答案】D
【解析】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠BCD=180°?(∠CBD+∠BDC)=180°?60°=120°，∴∠ECD=∠CED=180°?∠BCD?∠BCA=180°?120°?15°=45°，∴∠CDE=180°?(∠ECD+∠CED)=180°?90°=90°，∴∠EDF=∠EFD=180°?∠CDE?∠BDC=180°?90°?30°=60°，∴∠DEF=180°?(∠EDF+∠EFC)=180°?120°=60°．故选D．根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；(2)三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．6.【答案】B
【解析】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE ∴∠EAC=∠C，又∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠AEB=80°，又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠C=40°．故选：B．利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°?∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．7.【答案】A
【解析】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示∵CD⊥AB，CD=12AC，∴sin∠A=CDAD=12，∴∠A=30°，∴∠B=∠ACB=75°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=12AC，∴∠CAD=30°，∴∠CAB=150°，∴∠B=∠ACB=15°．故其底角为15°或75°．故选：A．因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．此题主要考查等腰三角形的性质，含30°的角的直角三角形的性质，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．8.【答案】B
【解析】解：∵B点在AC的垂直平分线上，∠A=15°，∴AB=BC，∠A=∠ACB=15°，∴∠CBD=∠A+∠ACB=30°，∴BC=2CD，∵AB=34，∵AB=BC=34，∴CD=17．故选B．先根据线段垂直平分线的性质得到AB=BC，∠A=∠ACB，由三角形内角与外角的关系得到∠CBD的度数，再根据直角三角形的性质求解即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角与外角的关系，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．9.【答案】D
【解析】解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB=60°，PD⊥CB，PC=12，∴DC=6，∵PM=PN，MN=3，PD⊥OB，∴MD=ND=1.5，∴CM=6?1.5=4.5．故选：D．首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．此题主要考查了直角三角形中30°角所对边等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，得出CD的长是解题关键．10.【答案】C
【解析】证明：连接DC， ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60，∵DB=DA，DC=DC，∴△ACD≌△BCD? (SSS)，∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30°，∵BE=AB，∴BE=BC，∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，∴△BED≌△BCD? (SAS)，∴∠BED=∠BCD=30°．由此得出①③正确．∵EC//AD，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，∵BE=BA，∴BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，在△BCE中三角和为180°，∴2∠1+2(60°+∠1)=180°∴∠1=15°，∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．BE边上的高位12BC=1，∴S△EBC=1，结论④是正确的．故正确的选项有三个．故选：C．连接DC，证△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC；再证△BED≌△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．11.【答案】80
【解析】解：∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=25°；∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；故∠ADB=180°?∠A?∠ABD=80°．故答案为：80．在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．12.【答案】9
【解析】解：∵EF//BC，ED平分∠ADB，∴∠MED=∠EDB=∠EDM，∴EM=DM，同理可证DM=FM，∴DM=12EF，∵EF=18，∴DM=9．故答案为9．由EF//BC，ED平分∠ADB，推出∠MED=∠EDB=∠EDM，推出EM=DM，同理可证DM=FM，推出DM=12EF，由此即可解决问题．本题考查平行的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明DM=EM=MF，属于中考常考题型．13.【答案】(?5,1)
【解析】解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA=∠AOB=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，又∵∠AOB=90°，∴∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ACD和△BAO中，∠CDA=∠AOB∠CAD=∠ABOAC=BA，∴△ACD≌△BAO(AAS)，∴CD=AO，AD=BO，又∵点A的坐标为(?1,0)，点B的坐标为(0,4)，∴CD=AO=1，AD=BO=4，∴DO=5，又∵点C在第二象限，∴点C的坐标为(?5,1)．故答案为：(?5,1)．先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD=AO，AD=BO，再根据点A的坐标为(?1,0)，点B的坐标为(0,4)，求得CD和OD的长，得出点C的坐标．本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离．14.【答案】(1)180°+α2；(2)(2n?1)?180°+α2n
【解析】解：(1)设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°?θ1，∴θ1=180°+α2； (2)设∠A2B2B1=y，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2?②得：2θ2?θ1=180°，∴θ2=180°+θ12；…θn=(2n?1)?180°+α2n．故答案为：(1)180°+α2；(2)θn=(2n?1)?180°+α2n．设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°?θ1，即可求得θ1=180°+α2；同理求得θ2=180°+θ12；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．15.【答案】解：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO=∠CBO；又∵EF//BC(已知)，∴∠EOB=∠CBO(两直线平行，内错角相等)，∴∠EBO=∠EBO(等量代换)，∴BE=OE(等角对等边)；同理，得OF=CF，∴EF=EO+FO=EB+CF=8cm，即EF=10cm．
【解析】利用平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证得OE=BE、OF=CF，则EF的长度转化为EF=EB+CF=8cm．本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及平行线的性质．此题解题的技巧性在于将所求线段的长转化为求线段EB、CF的长度之和．16.【答案】解：(1)如图所示：此人行走的最短路线为：PC→CD→DP； (2)连接OP'，OP″，由题意可得：OP'=OP″，∠P'OP″=60°，则△P'OP″是等边三角形，∵OP=30米，∴PC+CD+DP=P'P″=30(m)，答；此人行走的最短路线的长度为30m．
【解析】(1)利用轴对称最短路线求法得出P点关于OA，OB的对称点，进而得出行走路线；(2)利用等边三角形的判定方法以及其性质得出此人行走的最短路线长为P'P″进而得出答案．此题主要考查了利用轴对称求最值问题，得出最短行走路径是解题关键．17.【答案】解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD=AE，∴△ADE为等腰三角形，∵∠BAD=40°，∴∠DAE=40°，∴∠ADE=12(180°?∠DAE)=12(180°?40°)=70°，又∵△ABC为等腰三角形，∵∠BAD=∠DAE，∴AD⊥CD(三线合一)，∴∠CDE=90°?∠ADE=90°?70°=20°．
【解析】首先得到△ABC，△ADE均为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．18.【答案】证明：∵DE//AC，∴∠CAD=∠ADE，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=ED，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，又∠ADE=∠DAB，∴∠EDB=∠ABD，∴DE=BE，∴AE=BE．
【解析】由AD平分∠CAB，DE//AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论．本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键．19.【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE，∴在△ABE和△CBD中，AB=BC∠ABE=∠DBEBE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD．
【解析】根据等边三角形各边长相等的性质，可得AB=BC，BE=BD，根据等边三角形各内角为60°可得∠ABE=∠DBE，进而求证△ABE≌△CBD(SAS)，即可求得AE=CD．本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CBD(SAS)是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵∠BAC=105°，∴∠ABP+∠ACQ=180°?105°=75°，∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，∴PB=PA，QC=QA．∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°，∴∠PAQ=105°?75°=30°； (2)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C．∵∠PAQ=25°，∴∠APQ+∠AQP=180°?∠PAQ=155°，∴∠B+∠C=77.5°．∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．
【解析】(1)先根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=75°，便不难求出∠PAQ的度数为30°；(2)根据线段垂直平分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，则∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，则∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；根据三角形的内角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°?∠PAQ=150°，则∠B+∠C=75°，进而求解．此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．21.【答案】证明：连接AD，∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，∴AD=BC2=BD=CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=45°，在△BDE和△ADF中BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即：∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．
【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是画出辅助线AD，再证出△BDE≌△ADF和∠EDF=90°．先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD.AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形．22.【答案】解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．在△ABP与△ACQ中，∵AB=AC∠ABP=∠ACQBP=CQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)．∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．
【解析】先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．23.【答案】解：作CH⊥AB于H交AD于P，∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°．∴∠HCB=90°?∠CBA=45°=∠CBA．又∵BC中点为D，∴CD=BD．又∵CH⊥AB，∴CH=AH=BH．又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，∴∠PAH=∠ECH．在△APH与△CEH中∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，∴△APH≌△CEH(ASA)．∴PH=EH，又∵PC=CH?PH，BE=BH?HE，∴CP=EB．∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=45°，即∠EBD=45°，∵CH⊥AB，∴∠PCD=45°=∠EBD，在△PDC与△EDB中PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，∴△PDC≌△EDB(SAS)．∴∠ADC=∠BDE．
【解析】∠ADC和∠BDE所在的三角形肯定不全等，那么本题需要作辅助线．△ABC是等腰直角三角形，常用的辅助线是做三线里面的一线．可发现要证全等，已包含两个条件需利用全等得到另一边对应相等．难点是作辅助线构造全等，解决本题的关键理解证两个角相等，通常也用证三角形全等的方法．