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8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
情景导入
对于引言中的问题，我们在上节课通过设两个未知数（设胜x场，负y场），列出了二元
一次方程组 并通过列表找公共解
的办法得到了这个方程组的解 显然这
样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好操作，所以这节课我们就来探究如何解二元一次方程组.
学习目标：
1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组.
2．知道解二元一次方程组的基本思想是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.
学习重、难点：
重点：会用代入法解简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是“消元”.
难点：掌握代入消元法解二元一次方程组的一般 步骤.
探究新知
知识点1
用代入法解二元一次方程组
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题1 你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？
解：设胜x场，负y场．
x+y=10，
2x+y=16．
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题2 这个实际问题能列一元一次方程求解吗？
解：设胜x场，则负(10－x)场．
2x+（10－x）=16．
问题3 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
x+y=10，
2x+y=16
2x+(10－x)=16．
消元思想：
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
知识点2
代入法解二元一次方程组的简单应用
问题3 例2中有哪些未知量？
答：未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数．所以可设这些消毒液应分装大瓶和小瓶的数量分别为x、y．
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
问题4 例2中有哪些等量关系？
答：等量关系包括：大瓶数︰小瓶数＝2︰5；
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5（t）
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（ 250 g ）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2︰5．某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
等量关系：
大瓶数︰小瓶数＝2︰5；
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5 t
问题5 如何用二元一次方程组表示上面的两个等量关系？
正确列法：
问题列法1：
（1）估算一下方程②的解是自然数吗？
（2）符合实际意义吗？
（3）仔细审题，造成上述问题的原因是什么？
分析：
①
②
问题列法2：
（1）这个方程组是二元一次方程组吗？为什么？
（2）如何得到二元一次方程组？
分析：
问题6 请你用代入消元法解上面的方程组．
解得
答：这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶.
例1 用代入法解下列二元一次方程组：
解：由①得
①
②
代入②得
解得
代入③，得
所以这个方程组的解是：
例2 有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设篮球有x支参赛，排球队有y支参赛，由题意，得
①
②
例2 有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解：由①，得x=48-y. ③
把③代入②，得10（48-y）+12y=520.解得y=20.
把y=20代入③，得x=28.
所以这个方程组的解为x=28，y=20.
答：篮球队有28支参赛，排球队有20支参赛.
1.用代入法解下列二元一次方程组：
练习
①
②
解：由①得
代入②得
解得
代入③，得
所以这个方程组的解是：
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h，路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设他骑车用了x h，步行用了y h，由题意，得
①
②
由①得x=1.5-y. ③
把③代入②,得15(1.5-y)+5y=20.
解得y=0.25.
2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5h后到达县城.他骑车的平均速度为15km/h，步行的平均速度为5km/h，路程全长20km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：把y=0.25代入③，得x=1.25.
所以这个方程组的解为
答：他骑车用了1.25 h，步行用了0.25 h.
1.解方程组：
误区 用代入法消元时，误将关系式代入原方程
错 解
由①得 ③，将③代入①，得8=8.所以原方程组无解.
正 解
由①得 ③，将③代入②，
得 ，解得
把 带入③，得 .
所以原方程组的解是
错因分析
第二步中用所得的关系式代入消元时，不能将变形后的方程代入变形前的原方程中，否则，只能得到一个恒等式，不能解出方程组.
基础巩固
随堂演练
1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
解：
2.用代入法解下列方程组：
解：（1）把①代入②，得7x+5(x+3)=9，
解得 ，代入①，得 ，
∴方程组的解为
2.用代入法解下列方程组：
解：（2）由①，得y=-4x+15.③
把③代入②得3x-2(-4x+15)=3.
解得x=3.把x=3代入③，得y=3.
∴方程组的解为
综合运用
5.顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水洞的人数的2倍少1，到两地旅游的人数各是多少？
解：设到花果岭的人数为x人，到云水洞的人数为y人，由题意，得 把②代入①,得2y-1+y=200.解得y=67.把y=67代入②，得x=133.
所以这个方程组的解为
课堂小结
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
拓展延伸
小婷知道 和 都是二元一次方程ax+by+4=0的解，她想知道 是否也是方程ax+by+4=0的解，你能帮帮她吗？说说你的方法.
解：∵ 和 都是二元一次方程ax+by
+4=0的解，∴ 解得
代入二元一次方程ax+by+4=0，得-3x+y+4=0.
将 代入-3x+y+4=0，得-3×3+4+4=-1≠0，
∴ 不是方程-3x+y+4=0的解.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本课时在进行“代入消元法”时，遵循了“由浅入深、循序渐进”的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程.在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的情况，用含有一个字母的代数式表示另一个字母，教师应该引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要注意把握训练尺度.
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第2课时 加减消元法
情景导入
思考：
（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）代入消元法的一般步骤是什么？
这节课我们来学习另一种消元法——加减法.
学习目标：
1．会用加减消元法解简单的二元一次方程组.
2．进一步理解“消元”思想，从具体解方程组过程中体会化归思想.
学习重、难点：
重点：会用加减消元法解简单的二元一次方程组.
难点：进一步理解“消元”思想，从具体解方程组过程中体会化归思想.
探究新知
知识点1
用加减法解二元一次方程组
问题1 我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有其他方法呢？
追问1 代入消元法中代入的目的是什么？
②
①
消元
两个方程中的系数相等；用②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=16-10．
追问2 这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
追问3 这一步的依据是什么？
等式性质
追问4 你能求出这个方程组的解吗？
这个方程组的解是
追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？
未知数y的系数互为相反数，由①+②，可消去未知数y，从而求出未知数x的值．
问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
追问1 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发现未知数的系数有什么新的关系？
①
②
追问2 两式相加的依据是什么？
“等式性质”
问题3 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有哪些主要步骤？
当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
追问1 两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？
追问2 加减的目的是什么？
追问3 关键步骤是哪一步？依据是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．
“消元”
关键步骤是两个方程的两边分别相加或相减，依据是等式性质．
问题4 如何用加减消元法解下列二元一次方程组？
追问1 直接加减是否可以？为什么？
追问2 能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同？
追问3 如何用加减法消去x？
知识点2
加减法解二元一次方程组的简单应用
例4 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h收割小麦8 hm2．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
问题1 本题的等量关系是什么？
2台大收割机2小时的工作量
+5台小收割机2小时的工作量＝3.6；
3台大收割机5小时的工作量
+2台小收割机5小时的工作量＝8．
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2 和y hm2 .
依题意得：
问题2 如何设未知数？列出怎样的方程组？
问题3 如何解这个方程组？
解：化简得:
②
①
② - ①，消y 得
解得
代入①，解y
是原方程组的解.
问题5 怎样解下面的方程组？
追问1 第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？
追问2 我们依据什么来选择更简便的方法？
解：选择代入法，由①得，
②
①
代入②，消去y，解得
代入③，得
③
是原方程组的解．
解：选择加减法，
①+②得
②
①
代入①，得
是原方程组的解．
例 用加减法解下列方程组：
解：①×2-②，得
7x=35.
解得x=5.
把x=5代入①，
得5×5+2y=25.
①
②
解得y=0.
∴这个方程组的解为
1.用加减法解下列方程组：
练习
①
②
解： ①+②，得
4x=8.解得x=2.
把x=2代入①，
得2+2y=9.
解得
∴这个方程组的解为
①
②
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
2. 解方程组：
误区一 用加减法消元时符号出错
1.解二元一次方程组 用加减法消去x，得到的方程是（ ）
A.2y=-2 B.2y=-36
C.12y=-36 D.12y=-2
错 解
A或B或D
正 解
C
错因分析
当二元一次方程组的两个方程中的某个未知数的系数相等时用减法消元，当减数是负数时，注意符号不要出错.
误区二 方程变形时，漏乘常数项
2.解方程组
错 解
①×2，得8x-6y=1③，②×3，得9x-6y=-1④，③-④得-x=2，解得x=-2.把x=-2代入方程①，得y=-3.所以原方程组的解是
正 解
①×2，得8x-6y=2③，②×3，得9x-6y=-3④，③-④得-x=5，解得x=-5.把x=-5代入方程①，得4×（-5）-3y=1，解得y=-7.所以原方程组的解
是
错因分析
在方程的两边同乘某个数时，容易漏乘常数项，从而造成错误.
基础巩固
随堂演练
1.用加减法解下列方程组：
解：（1）②-①，得a=1.把a=1代入①，得
2×1+b=3.解得b=1.
∴这个方程组的解为
基础巩固
随堂演练
1.用加减法解下列方程组：
解：（2）②-①×4，得7y=7.解得y=1.把y=1
代入②，得2x+1=3.解得x=1.
∴这个方程组的解为
2.一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶.2大盒、3小盒共装76瓶.大盒与小盒每盒各装多少瓶？
解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶.
由题意，得
解得
答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶.
综合运用
3.解下列方程组：
解：（1）整理得 ①+②,得4y=28.解得y=7.把y=7代入①，得3x-7=8，解得x=5.
∴这个方程组的解为
综合运用
3.解下列方程组：
解：（2）整理得 ①×3-②,得2v=4.解得v=2.把v=2代入①，得8u+18=6.
解得 .∴这个方程组的解为
课堂小结
加减消元法
条件：
步骤：
方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍
变形 加减 求解 回代 写出解
拓展延伸
已知方程组 的解满足方程x+y=8,求m的值.
解：①+②，得5x+5y=2m+2.
又∵x+y=8，
∴5×8=2m+2. 解得m=19.
故m的值为19.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
