(共22张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 实际问题与二元一次方程组（1）
学习目标：
（1）会运用二元一次方程组解决一些实际生活中的应用问题，体会数学建模思想.
（2）能根据题目中的已知量与未知量的联系正确设出未知数，列出方程组并求解.
学习重、难点：
重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.
难点：寻找等量关系，并列出方程组，由方程组的
解来解释实际问题.
情景导入
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的等量关系以及如何解方程组.本节课我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题.
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940kg．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需饲料7 ～8kg.你能否通过计算检验他的估计？
探究新知
知识点
和差倍分问题
要检验饲养员李大叔的估计正确与否，就要求出 和 .
. .
分
析
每头大牛每天所需饲料
每天所需饲料
每头小牛
如果设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg，根据你的观察，找出相等关系：
30x+15y=675
30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料：
42只大牛和20只小牛，1天约需用饲料：
42x+20y=940
解
解
答
你能列出相应的二元一次方程组并解答吗？
30x+15y=675
42x+20y=940
二元一次方程组如右：
解：①×4-②×3，得
代入①，得：y=5.
所以，方程组的解是：
4（30x+15y）-3（42x+20y）=675×4-940×3
x=20
x=20
y=5
解
答
①
②
这就是说，每头大牛1天约需饲料 kg，每头小牛1天约需饲料 kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计 ，对小牛的食量估计 .
x=20
y=5
20
5
正确
错误
归
纳
练
习
某校七年级学生在会议室开会，每排坐12人，则有11人无座位；每排坐14人，则最后一排只有1人独坐.这间会议室共有座位多少排？该校七年级有多少学生？
解：设这间会议室共有座位x排，该校七年级有y名学生，根据题意，得
答：这间会议室共有座位12排，该校七年级有155名学生.
12x+11=y
14x-13=y
x=12
y=155
解得：
基础巩固
随堂演练
1.现用190张铁皮做盒子，每张铁皮8个盒身或22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A
A
x+y=190
2×8x=22y
C
2y+x=190
8x=22y
B
x+y=190
2×22y=8x
D
2y+x=190
2×8x=22y
2.解下列方程组：
（1）
3x-y=5 ①
5y-1=3x+5 ②
解：①+②，得4y=11.
解得：
把 带入①
得：
解得： .
∴这个方程组的解为：
（2）
①
②
解：整理，得:
8x+9y=17 ①
x-3y=-2 ②
①+②×3，得11x=11.解得x=1.
把x=1代入②，得1-3y=-2.解得y=1.
∴这个方程组的解为：
x=1
y=1
3.一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，第一天和第二天行军的平均速度各是多少？
解：设第一天行军的平均速度为xkm/h，第二天行军的平均速度为ykm/h.
由题意，得
①+②，得8x=96，
解得x=12，
把x=12代入①，得48+5y=98.
解得y=10.
∴这个方程组的解为
答：第一天行军的平均速度为12km/h，第二天行军的平均速度为10km/h.
综合运用
4.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设大车一次可以运货x吨，小车一次可以运货y吨.由题意，得
②-①×2，得x=4.
把x=4代入①，得4×2+3y=15.5.解得y=2.5.
∴3x+5y=3×4+5×2.5=24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
课堂小结
实际问题与二元一次方程组（1）
各部分数量之和=全部数量
较大量=较小量+多余量
总量=倍数×倍量
01
02
03
拓展延伸
某家商店的帐目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元.这个记录是否有误？如果有误，请说明理由.
解：有误，理由：设一支牙刷的价格为x元，一盒牙膏的价格为y元.由题意，得
即：
方程组无解.
∴这个记录有误.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型.教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题.教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯.
教学反思
(共26张PPT)
第2课时 实际问题与二元一次方程组（2）
学习目标：
（1）在对各类应用题的解答过程中，学会构建二元一次方程组的数学模型.
（2）养成自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯.
学习重、难点：
运用二元一次方程组解决有关设计的应用.
情景导入
上节课我们学习了运用方程组解决一些实际问题，这节课我们继续学习建立二元一次方程组的数学模型解应用题.
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
探究新知
知识点
几何图形问题
这里研究的实际上是长方形的面积分割问题，我们可以画出示意图来帮助自己.
分
析
把一个长方形分成两个小长方形，有哪些分割方式？
01
保持宽不变，把长分成两段；
02
保持长不变，把宽分成两段.
01
保持宽不变，把长分成两段
左边种植甲种作物，右边种植乙种作物，设AE＝xm，BE＝ym.
x
y
原长方形的长为200m，则有：
A
D
C
F
B
E
x+y=200
原长方形的宽为100m，则两个小长方形的面积分别为：
SAEFD=100x
SEFCB=100y
A
D
C
F
x
y
根据题目中的数量关系，你能列出相应的方程组吗？
B
E
x+y=200
100x:200y=3:4
你会解吗？试一试.
解
答
解
解
答
x+y=200
100x:200y=3:4
①
②
解：对②移项并化简得：400x=600y
2x=3y ③
联立①③，解得： .
x=120
y=80
过长方形土地的长边上离左端 处，做这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.左边较大一块土地种 种作物，右边较小一块土地种 种作物.
x=120
y=80
120m
归
纳
甲
乙
02
保持长不变，把宽分成两段
A
D
C
B
x
y
这种情况又要怎么解答呢？
上边种植甲种作物，下边种植乙种作物，设DE＝xm，AE＝ym.
F
原长方形的宽为100m，则有：
x+y=100
原长方形的长为200m，则两个小长方形的面积分别为：
SAEFB=200y
SEFCD=200x
E
A
D
C
F
x
y
请根据题目中的数量关系，列出相应的方程组.
B
E
x+y=100
200x:400y=3:4
你会解吗？试一试.
解
答
解
解
答
x+y=100
200x:400y=3:4
①
②
解：对②移项得：400x=600y
联立①③，解得： .
x=60
y=40
并化简得：2x=3y ③
过长方形土地的长边上离上端 处，做这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.上边较大一块土地种 种作物，下边较小一块土地种 种作物.
x=60
y=40
60m
归
纳
甲
乙
练
习
如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼
成一个长方形，如图②．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图②中Ⅱ部分的面积是 ．
故图②中Ⅱ部分的面积是：（a-b）×b
a=25
b=5
解得：
根据边长关系得出：
a+b=30
a-b=20
=20×5
=100
基础巩固
随堂演练
1.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g，一个果冻的质量是 g.
20
30
2.一个长方形的周长为26，若它的长减少1，宽增加2，就变成了一个正方形.设长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）
B
A
x+y=26
x-1=y+2
C
26-x=y
x+1=y-2
B
2（x+y）=26
x-1=y+2
D
y+x=13
x+1=y-2
3.如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，则每个小长方形的长和宽分别是多少？
解：设每个小长方形的宽为xcm，
长为ycm.观察图形，得
把①代入②，得x+4x=50.解得x=10.
把x=10代入①，得y=40.
∴这个方程组的解为
答：每个小长方形的长为40cm，宽为10cm.
综合运用
4.用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水18kg，两种药水各需多少千克？
解：设需含药30%的药水xkg，含药75%的药水ykg.
由题意，得
由②，得10x+25y=300.③
③-①×10，得15y=120.解得y=8.
把y=8代入①.得x=10.
∴这个方程组的解为
答：两种药水各需10kg，8kg.
课堂小结
实际问题与二元一次方程组（2）
01
02
S1+S2+ +Sn=S总
…
C1+C2+ +Cn=C总
…
拓展延伸
家具厂有56名工人，2名工人一天可以加工3张桌子，3名工人一天可加工10把椅子.现在如何安排劳动力，能使生产的1张桌子与4把椅子配套？
解：设安排x名工人生产桌子，y名工人生产椅子.
由题意，得
①×5+③，得14x=280.解得x=20.
把x=20代入①，得y=36.
∴这个方程组的解为
答：安排20名工人生产桌子，36名工人生产椅子，可使生产的1张桌子与4把椅子配套.
由②得9x=5y.③
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
本课用二元一次方程组解决问题的教学过程充分体现了以学生为主体，让学生积极参与的教学模式，充分发挥了学生的主动意识.在解决问题过程中学生的各种解题方法，扩大了学生的思维能力，通过让学生体验解题的技巧，从而树立了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人.
教学反思
(共26张PPT)
第3课时 实际问题与二元一次方程组（3）
情景导入
在上两节课的基础上，这节课我们继续来学习用列表分析的方式设未知数，列方程组来解应用题.
学习目标：
1．巩固列方程组解应用题的一般步骤.
2．学会用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，并列二元一次方程组.
学习重、难点：
重点、难点：借助列表分析问题中蕴含的数量
关系，并列二元一次方程组.
探究新知
知识点
行程问题、工程问题
探究3 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；
另一类是产品数量，原料数量．
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
问题3 你能完成教材上的表格吗？
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费(元) 1.5×20x 1.5×10y 1.5(20x+10y)
铁路运费(元) 1.2×110x 1.2×120y 1.2(110x+120y)
价值(元) 8 000x 1 000y
问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
是原方程组的解．
解：先化简，得
②
①
由①，得
代入③ ，得
③
代入② ，得
问题5 这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000；
原料费：1 000×400=400 000；
运输费：15 000+97 200=112 200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.
误区 列方程组时单位不统一
错 解
设甲乙两地间的距离为s千米，规定时间为t小时.根据题意，得：
解这个方程组，得： .
答：甲乙两地间的距离是7200千米.
s=7200
t=120
正 解
设甲乙两地间的距离为s千米，规定时间为t小时.根据题意，得：
解这个方程组，得： .
答：甲乙两地间的距离是120千米.
s=120
t=2
错因分析
?
基础巩固
随堂演练
1.如图，飞腾公司从A地购进原料若干吨，加工成产品后销往B地.已知公路运费为1.5元/（t·km），铁路运费为1元/（t·km），飞腾公司共支付公路运费750元，铁路运费4000元.根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往B地的产品为多少吨？
设购进原料x t，加工后销往B地的产品为y t.
（1）填表:
数量/t 路程/km 单价/元/（t·km） 运费/元 总运费/元
公路运费/元 购进
销售
铁路运费/元 购进
销售
x
20
1.5
30x
y
10
1.5
15y
750
x
150
1
150x
y
100
1
100y
4000
（2）根据上表中反映的信息列方程组为:
;
数量/t 路程/km 单价/元/（t·km） 运费/元 总运费/元
公路运费/元 购进
销售
铁路运费/元 购进
销售
x
20
1.5
30x
y
10
1.5
15y
750
x
150
1
150x
y
100
1
100y
4000
（3）解方程组得 ;
（4）答： .
数量/t 路程/km 单价/元/（t·km） 运费/元 总运费/元
公路运费/元 购进
销售
铁路运费/元 购进
销售
x
20
1.5
30x
y
10
1.5
15y
750
x
150
1
150x
y
100
1
100y
4000
购进原料20t.加工后销往B地的产品为10t
2. A地至B地的航线长9750 km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h，它逆风飞行同样的航线需13 h，求飞机的平均速度与风速.
解：设飞机的平均速度为x km/h，风速为y km/h.
由题意，得 化简，得
①+②，得2x=1530.解得x=765.把x=765代入①，得y=15.
∴这个方程组的解为
综合运用
3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少？
解：设从甲地到乙地的上坡路为x km，平路为y km.由题意,得 解得
∴x+y=3.1.
答：甲地到乙地全程是3.1 km.
课堂小结
实际问题与二元一次方程组（3）
工程、行程问题
题目中涉及的量多
列表分析
发现等量关系
列方程求解
拓展延伸
打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花多少钱？
解：设打折前A商品每件x元，B商品每件y元.
由题意，得 解得
500x+500y=500×16+500×4=10000.
10000-9600=400（元）.答：比不打折少花400元.
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题。
课后作业
教学反思
本节课的重点是让学生抓住实际问题的等量关系建立方程组模型，以此解决行程问题、图文信息问题和方案设计问题等.教学中采取让学生独立思考、合作交流等方式，帮助学生形成严谨的思维方式，养成良好的学习习惯.
