(共33张PPT)
3.1.1
自然数系如何扩充到实数系？
自然数
整数
有理数
无理数
实数
回顾旧知
记住此扩充方法！
进入我们今天学习的内容
联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
在实数集中无解
新课导入
实数系能进一步扩充吗？
动动脑
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
为了解决此问题，我们设想
新引进的i和实数之间仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律.
思考…
设想结果是？
若实数a与新引入的数i相加，结果记为a+i;若实数b与i相乘，结果记为bi;把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a+bi,等等.由于加法和乘法的运算律仍然成立，运算结果都可以写成a+bi（a,b∈R）的形式，
（注:a+i可以看作是a+1i，bi可以看作是0+bi，a可以看作是a+0i，i可以看作是0+1i.）所以实数系经过扩充后得到的新数集应是C =a+bi（a,b∈R）.
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，
一般用字母C表示 .
复数的代数形式：
b称为虚部而不称为虚数系数
复数集中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),两个
复数相等的充要条件是？
我们规定：a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
这里给出了判断两个复数是否相等的依据，而且也给出了求复数值的依据，即利用复数相等的条件，得到关于实数的方程（组），通过解方程（组）得到a,b的值.
一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.
即：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.
因为不论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数集中的大小关系的四条性质.
实数集中大小关系的四条性质如下：
对于任意实数a,b,a
如果a如果a如果a复数集C和实数集R之间有什么关系？
讨论
复数a+bi
由此看出：实数集R是复数集C的真子集.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用下列图表示出来.
虚数集 实数集
复数集
纯虚数集
说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部.
想一想
解：
实数m取什么值时，复数
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：
解：根据复数相等的定义，得方程组
设方程x2-2x+2=0的两根为x1,x2,
求x14+x24的值.
课堂小结
1.虚数单位i的引入，使得实数集进一步扩充到复数集.
4.复数的实部和虚部：
其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3.复数的有关概念：
复数的代数形式：
6.两个实数可以比较大小，两个复数不能比较大小，只能说相等或不相等.
5.复数的相等：
a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
7.复数的分类：
复数a+bi
随堂练习
填空
4
1
4
0
选择
1、a=0是复数a+bi(a、b∈Ｒ）为纯虚数的( )
A. 充分非必要条件，
B. 必要非充分条件，
C. 充分必要条件，
D. 既非充分也非必要条件.
B
2 、下列说法正确的是( )
A. 任何两个复数都不能比较大小，
B. 当且仅当两个复数是实数时能比较大小，
C.任何两个复数都能比较大小，
D.任何两个实数都不能比较大小.
B
解答题
1.当m为何实数时，复数
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(3)m=-2
2.若x，y为实数，且
求x，y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
得
x=-3,y=4
解：由题意知实部和虚部都为0，得
方程组
x=2
得
(共35张PPT)
3.1.2
实数的几何意义？
新课导入
在几何上，我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示.
数轴上的点
想一想
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
复数的一般形式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部
一个复数由什么确定？
复数的实质是什么？
任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
唯一确定
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
可用下图表示出他们彼此的关系.
因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
复数的实质是什么？
动动脑
分析到这里,请同学们自己回答出此问题!
复数的实质是一对有序实数对！
a
Z(a,b)
z=a+bi
b
o
x
y
那么现在复数z=a+bi可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示：
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面
------复数平面 (简称复平面)
x轴------实轴
y轴------虚轴
实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，除原点外，因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi),即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.
复平面内的原点(0,0)表示( );
实轴上的点(2,0)表示( )；
虚轴上的点(0,-1)表示( );
点(-2,3)表示( ).
实数0
实数2
纯虚数-i
复数-2+3i
依照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.
由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
复数的几何意义之一是：
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.
可用下图表示出他们彼此的关系.
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
Z(a,b)
a
o
b
y
x
z=a+bi
现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示：
x
y
o
a
b
Z：a+bi
由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的.
复数的另一几何意义之一是：
复数z=a+bi
一一对应
同学们还应明确：
画一画
找出与下列复数对应的点的位置,且在复平面内画出这些复数对应的向量：
（1）i;
（2）2-2i;
（3）(2+i) ×i;
（4）i-1；
解：
1
-2
-1
2
i
2-2i
(2+i) ×i
i-1
(2+i) ×i 转化为 -1+2i
注意
解：
1
-2
-1
2
Z1:i
Z2:2-2i
Z3:(2+i) ×i
Z4:i-1
已知某个平行四边形的三个顶点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数.
解：
答案：6i或-4+2i或8-2i
求下列复数的模：
(1)z1=-5i
(2)z2=-3+4i
(3)z3=5-5i
( 5 )
( 5 )
课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对；
2.用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；
3.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；
4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi)；
5.复数的两个几何意义：
7.复数的模通过向量的模来定义；
6.复平面内任意一点 Z(a,b)可以与以原点为起点，点 Z(a,b) 为终点的向量 对应；
2.复数z=4-3i的模是（ ）.
1.复数z=-5-3i在复平面内的点的坐标是（ ）.
随堂练习
填空
-5，-3
5
选择
(1)下列命题中的假命题是（ ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数
D
（2）“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）不充分不必要条件
C
解答题
1.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x+y+4=0上，求实数m的值.
得
m=-2或m=1
解： m2+m-6+m2+m-2+4=0
2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.
表示复数的点所在象限的问题
(几何问题)
转化
复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
(共33张PPT)
3.2.1
回顾旧知
实数系
复数系
上一节，我们主要讲了什么？
扩充到
我们依照这种思想，进一步讨论复数系中的运算问题.
那么复数应怎样进行加、减运算呢？
新课导入
我们知道实数有加、减法等运算，且有运算律.
加法交换律：a+b=b+a;
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
复数的加、减运算可以类比实数的加减运算吗?
动动脑
你认为应该怎样定义复数的加、减运算呢?运算律仍然成立吗?
我们规定，复数的加法法则如下：
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加.
思考…
复数的加法满足交换律、结合律吗？
我们规定了加法的运算法则，这个规定的合理性可从下面两方面认识：
(1)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致；(2)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立.
复数加法满足交换律的证明如下：
复数加法满足结合律的证明如下：
复数与复平面内的向量有一一对应关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
动动脑
提示
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？
如图所示：
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
复数是否有减法？如何理解复数的减法？
基本思想：
规定复数的减法是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要依据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.
这里实际使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有
c+x=a,d+y=b,
因此
x=a-c,y=b-d,
所以
x+yi=(a-c)+(b-d)i,
即
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
这样我们得到复数的减法法则就是: 实部与实部,虚部与虚部分别相减.
由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
复数的减法就是加法的逆运算.
类比复数加法的几何意义，你能指出复数减法的几何意义吗？
动脑筋
因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
解:
通过此例我们可以看到代数形式的加、减法，形式上与多项式的加、减法是类似的.
计算 i+2i2+3i3+…+2004i2004
解：
=(i-2-3i+4)+(5i-6- 7i+8)+…(2001i-2002-2003i+2004)
=501(2-2i)
=1002-1002i
如图的向量 对应的复数是Z,试作出下列运算的结果对应的向量：
(1)Z+1; (2)Z-I;
(3)Z+(-2+i).
即：
(1)Z+1=-1+3i;
(2)Z-i=-2+2i;
(3)Z+(-2+i)=-4+4i.
Z
Z+1
Z-i
Z+(-2+i)
课堂小结
1.复数的加法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相加；
2.复数的加法仍然满足交换律、结合律；
3.两个复数的和仍然是一个确定的复数；
4.复数加法的几何意义就是复数的加法可以按照向量的加法来进行；
5.复数的减法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相减；
6.两个复数的差仍然是一个确定的复数；
8.复数减法的几何意义就是复数的减法可以按照向量的减法来进行；
7.复数的减法就是加法的逆运算；
1. i0+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( )
随堂练习
填空
向量
-1
2.复数的加、减可以按照（ ）的加减来进行．
D
选择
2、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限，
B. 第二象限，
C. 第三象限，
D. 第四象限.
D
解答题
1、计算
(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解：
原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i
=-1+11i
2、计算
(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(4+5i)+…+
(－2002+2003i)+(2003－2004i)
解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004)i
=(2003－1001)+(1001－2004)i
=1002－1003i.
还有别的方法吗？
解法二：
∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，
(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，
……
(2001－2002i)+(－2002+2003i)=-1+i.
相加得(共有1001个式子)：
原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)
=(2003－1001)+(1001－2004)i
=1002－1003i
(共36张PPT)
3.2.2
回顾旧知
复数加减法的运算法则是什么？
两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
复数加法和减法运算的几何意义是什么？
复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行.
实数能进行加、减、乘、除运算，那么复数呢？
新课导入
其实，复数除了可以相加相减之外，它还可以乘除呢！这也是我们这节课的重点.
进入我们今天学习的内容.
多项式的乘法运算 ？
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
由多项式的乘法法则，我们可以类比出复数的乘法法则吗？
我们规定，复数的乘法法则如下：
能描述出复数乘法的运算法则吗？
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
很明显，两个复数的积是一个确定的复数.
复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
思考…
复数乘法法满足交换律的证明如下：
复数乘法法满足结合律的证明如下：
按照这种思路，自己证证复数的乘法满足分配律.
复数乘法法满足分配律律的证明如下：
计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开, 运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i.
(-2i)4i=8
而不是
-8！
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系中也是成立的.
我们用乘法公式来进行计算.
我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共轭复数.
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点.
一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭复数.
若Z1,Z2,是共轭复数，那么
（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（ ）
（2）Z1Z2是一个怎样的数？( )
复数z=a+bi的共轭复数记作
动动脑
关于X轴对称
实数
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法的法则.
规定复数的除法是乘法的逆运算，
即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)
的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商.
经计算得
(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
根据复数相等的定义，有
cx-dy=a，dx+cy=b.
这就是复数的除法法则.
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
在实际进行复数除法运算时，每次都按做乘法的逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的.
思考…
大家能想出解决办法吗？
做根式除法时，分子分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”.
我们可以类比根式的除法，从而得到简便的操作方法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后在化简.
大家想想我们如何处理根式除法的？
用上面的方法把分母“实数化”.
课堂小结
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
1.复数的乘法法则如下：
3.两个复数的积是一个确定的复数.
2.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,复数的乘法也可运用乘法公式来展开运算.
4.复数的乘法仍然满足交换律、结合律、分配律.
6.复数z=a+bi的共轭复数记作
5.一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
7.复数的除法是乘法的逆运算.
8.复数的除法法则：
9.在实际中我们进行复数相除的方法是：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后在化简.
高考链接
（2019年广东卷）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=( )
答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B.
随堂练习
填空
-3-i
-3+4i
.
选择
D
D
解答题
X=-3
2.
3.计算
解：
