湘教版高中数学必修第二册 4．4向量的分解与坐标表示_教案

向量的分解与坐标表示

【教学目标】
一、知识与技能
掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。
二、过程与方法
从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
三、情感、态度与价值观
经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重难点】
重点：空间向量的正交分解与坐标表示。
难点：
1．空间向量的正交分解与坐标表示；
2．空间向量的投影的定义及运算
【教学方法】
问题牵引、启发引导、合作探究
【教学过程】
本节的教学过程由以下几个环节构成：

























【教学过程】
一、创设情境—感知概念
1．问题情境
我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示．在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？
2．课前练习
（1）在给定的空间直角坐标系中，分别为x轴，y轴，z轴正方向上的?_____________
把叫作?__________________
（2）标准正交分解：若是标准正交基，对空间任意向量，存在______________三元有序实数（x，y，z），使叫作的________________
（3）坐标的意义
①坐标的意义：向量的坐标等于_______________________________
②投影的定义：一般地，若为的单位向量，称为向量在向量方向上的_____________________________
二、空间向量标准正交分解的过程
在给定的空间直角坐标系中，为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，是空间中的任意向量


三、空间向量标准正交分解及坐标的定义
在给定的空间直角坐标系中，为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量，存在唯一 一组三元有序实数（x，y，z），使得
我们把叫作的标准正交分解，把叫作标准正交基
（x，y，z）叫作空间向量的坐标．记作．叫作向量的坐标表示．
在空间直角坐标系中，点p的坐标为（x，y，z），向量的坐标也是（x，y，z）
注：当的起点在坐标原点时，的终点的坐标为（x，y，z）
思考探究:
向量的起点不在坐标原点时，向量的坐标还是终点的坐标吗？如果不是，向量的坐标又是怎样的？
析：设，，o为坐标原点，则，，所以


即向量的坐标为
例题讲解：
例1：在空间直角坐标系中有长方体
（1）写出的坐标，给出关于的分解式
（2）求的坐标
解：（1）因为，所以

（2）因为点
所以
练习1：
在空间直角坐标系中有长方体
（1）写出的坐标，给出关于的分解式
（2）求的坐标
析：（1）

（2）
三、空间向量的坐标意义
设，那么
由于，而，，同理
所以，同理
我们把分别称为向量在x轴，y轴，z轴正方向上的投影。
向量的坐标等它在坐标轴正方向上的投影．
四、向量投影的定义
一般地，若为的单位向量，称为向量在向量方向上的投影．
思考探究：
向量在向量方向上的投影一定是正数吗？
析：当夹角为锐角时，投影为正；当夹角为钝角时，投影为负；当夹角为直角时，投影为0
故向量在向量方向上的投影可正可负可为0
例题讲解
例1：如图，已知单位正方体，求：
（1）向量在上的投影；
（2）向量在上的投影

解：（1）向量在上的投影为：

（2）向量在上的投影为：

练习2：
如上图，已知单位正方体，求
（1）向量在上的投影；
（2）向量在上的投影；
解：(1)向量在上的投影：
(2)向量在上的投影:
课时小结：
（1）空间向量的坐标表示
（2）向量在向量方向上的投影
【板书设计】









向量的分解与坐标表示

1．空间向量的坐标 例1
2．空间向量的投影 例2（分析区域）
3．体会空间向量的坐标运算 例3