华师大版 八年级数学下册19.3正方形第二课时课件（2课时 共89张）

(共89张PPT)
19.3正方形第二课时
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
一组邻边相等
八年级 数学
第十九章 四边形
复习：
知识回顾:
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行 四边形
矩 形
菱 形
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行
，四边都
相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角
中心对
称图形
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
2002年世界数学大会会标
图片欣赏
j
剪一剪
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？
正方形
矩形
剪一剪
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
邻边相等的矩形
正方形
矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
正方形
菱形
想一想
菱形经这样变化能成为正方形呢？
一个角是直角的菱形
正方形
菱形
实验与观察二：转动菱形模型
一起探究
1.矩形满足什么条件时，就是正方形？
2.菱形满足什么条件时，就是正方形？
3.平行四边形满足什么条件时，就是 正方形？
4.四边形满足什么条件时，就是正方形？
探 究（二）
菱形怎样变化后就成了正方形呢
正方形
有一个直角
有一个直角
矩形
有一个直角
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下一个定义吗？
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 是正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
这是从边角方面理解正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系。
平行四边形
正方形
矩形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一内角是直角
一内角是直角
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
给正方形下个定义
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
拓展讨论
:正方形有那些性质
观察思考：正方形是中心对称图形吗
八年级 数学
既是中心对称图形轴对称
第十九章 四边形
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线： 相等
互相垂直平分
正方形是轴对称图形,也是中心对称图形
=菱形性质
矩形性质
正方形的性质
每条对角线平分一组对角。
正方形性质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
轴对称图形 中心对称图形
1
2
3
4
5
6
7
8
１．一个矩形的２条对角线互相垂直，它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它是正方形吗？
小试牛刀
思考：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对角线相等
对角线垂直
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
这是从对角线角度理解四者的关系
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
1、
正方形
菱形
2、
一内角是直角
矩形
3、
一组邻边相等
正方形
你觉得什么样的四边形是正方形呢 ( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）
议一议
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
小结与复习
正方形性质1
正方形性质2
四个角都是直角．
相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
(1)正方形的性质有那些
A
B
C
D
正方形ABCD
｛
∠A= ∠B= ∠C= ∠D=90
AB=BC=CD=AD
正方形ABCD
｛
A
B
C
D
O
AC=BD,AC⊥BD
AC平分∠BAD和∠BCD
BD平分∠ABC和∠ADC
角:
四条边相等
对角线:
边:
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
这是一道文字证明题,该怎么做 你会做吗
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知、求证
第三步：进行证明
A
D
C
B
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
拓展讨论:
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
A
B
C
D
O
谢谢同学们
√
√
√
×
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
√
试一试
①、对角线相等的菱形是正方形
②、对角线互相垂直的矩形是正方形
③、对角线互相垂直且相等的四边
形是正方形
④ 四条边都相等的四边形是正方形
⑤、四个角都相等的四边形是正方形
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
判断 对 错
下列说法对吗
（1）四个角都相等的四边形是正方形
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形
(4) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形
(5) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
辨一辨
1、判断：
（1）正方形一定是矩形．（ ）
（2）正方形一定是菱形．（ ）
（3）菱形一定是正方形．（ ）
（4）矩形一定是正方形．（ ）
（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。
（ ）。
对
对
错
错
对
综合训练:
2、在下列性质中，平行四边形具有的是_______，矩形具有的是______________ 。菱形具有的是____________________ 。 正方形具有的是
—————————————— 。
（1）四边都相等； （2）对角线互相平分；
（3）对角线相等； （4）对角线互相垂直；
（5）四个角都是直角；
（6）每条对角线平分一组对角；
（7）对边相等且平行；
（8）既是轴对称图形, 又是中心对称图形.
2、7
2、3、5、7、8
1、2、4、6、7、8
1、2、3、4、5、6、7、8
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.
选一选
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
3、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。
A
B
C
D
E
G
F
7.5
试一试
1.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相　　　　　交于点O，且AB＝2cm，则AC= ,
正方形的面积S=______. 　　　　　　　　　　　
练一练
2
2
4
6
36
2.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
　BD相交于点O，且AC＝6 cm，
面积S=________.则边长AB＝______, 　　　　　　　　　　　
例1：1、要使一个菱形成为正方形需
增加的条件是
（填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是
（填上一个条件即可）
3、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
例２：下列正确的是
Ａ. 四边相等的四边形是正方形
Ｂ．四角相等的四边形是正方形
Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形
Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ ）
菱形
矩形
矩形
矩形
正方形
1．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD
C
A
3．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ）
A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形
A
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
多
多
多
（　）个（　）个　　（　）个　　　　 （　）个
第n个图中正方形有 个
3n-1
长见识
1、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
A
B
C
D
2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；
（2）若BC= cm，求正方形DEFG的边长.
例题：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，
所以 BE=DE
(2)若AC=4，则正方形边长 ; 正方形的面积是
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
8
解：
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD　∠AOB=900
∠BAC=∠DAC
∴∠OAB=450
A
B
C
D
O
E
4㎝
(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离
2√2
AC为正方形ABCD的对角线,E为AC上一点，且AB=AE， EF⊥AC交BC于F. 请说明：EC=EF=FB
A
B
C
D
E
F
┌
解：
∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 , ∠ACB=450
∵∠AEF=900 AB=AE AF=AF ∴△ABF≌△AFE(HL）
∴BF=EF
又∵∠FEC=900, ∠ECF=45°∴∠EFC=45°
∴EC=EF
（等角对等边）
∴BF=EF=EC
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。　　　　　　　　　
你能完成证明吗
　AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °　　条件够吗？
　　还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件
由正方形可以得到的条件有：
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。　　　　　　　　　
证明：
　　∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ,
　　　∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
下面大家自己完成证明
4、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。
O
A
B
C
D
E
1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
G
F
E
D
A
B
C
5、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。
A
B
C
D
E
P
F
6、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。
A
B
C
D
M
N
7、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，
①求证：四边形ADCE是矩形。
②当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是正方形，说明理由。
A
B
C
E
M
N
D
例2、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB.
求证：四边形CEDF是正方形。
A
B
C
D
E
F
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H.
求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
练一练
巩固练习
已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
　　 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等
△CMD≌△ADF
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG　　　　　　　　　　　　　　　
如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE
（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。
（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。
A
B
C
E
F
D
G
A
D
B
G
F
E
C
如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。
（1）求证：MD=MN
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。
A
B
C
D
M
E
N
F
A
B
C
D
E
N
M
P
●
●
A
B
D
C
F
E
4、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数.
5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
条件： ①∠A=90°
②AD=BD
随堂练习
练习1 提示：有一组邻边相等的矩形是正方形
A
B
D
C
E
〃
〃
∟
F
正方形
裁
A
D
C
B
E
∟
∟
练习2
提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线.
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有哪些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
思考: 如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
请你当设计师
(2)若AC=4，则正方形边
长____ ; 正方形的面积
是_____.
3. 四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O.
(1) 则∠AOB＝____°
∠OAB=____°
8
A
B
C
D
O
E
F
4㎝
(3)正方形的面积64cm2，则对角线交点到正方形一边的距离______.
2√2
90
45
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。
探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？
探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与
BN之间的关系是否还成立？
平行四边形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
邻边相等
图形 性质 识别
平行四边形
矩形
菱形
对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。
四个内都是直角、对角线相等、既 是中心对称又是轴对称
四边相等、对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角、既 是中心对称又是轴对称
、
一组对边 平行且相等、两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角分别相等、两对角线互相平分的四边形是平行四边形
一个角是直角的平行四边形 、三个角是直角的四边形 、对角线相等的平行四边形是矩形
四边相等的四边形 、一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形
2.矩形
有一组邻边相等
3.菱形
有一个角是直角
1.平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
常
见
说
明
方
法