人教版高中数学必修三1．3算法案例（秦九韶算法）教学课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
郾城高中高一数学组
一.教学目标
1.在学习中国古代数学中算法案例的同时，进一步体会算法的特点.
2.体会中国古代数学对世界发展的贡献.
二.重点
理解秦九韶算法的思想.
三.难点
用循环结构表示算法
案例2、秦九韶算法
怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1
当x=5时的值呢 ？
计算多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x = 5的值
算法1：
因为 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1
所以f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法2：
f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
共做了5次乘法运算，5次加法运算。
= 3906
《数书九章》——秦九韶算法
对该多项式按下面的方式进行改写：
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
最后的一项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。
解：
将多项式变形：
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入 i 次项的系数ai
第四步：v=vx+ai , i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。
程序框图：
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
开始
输入n,an,x
i>=0?
输出v
结束
v=vx+ai
i=i-1
是
否
i=n-1
v=an
INPUT “n=”;n
INPUT “an=”;a
INPUT “x=”;x
v=a
i=n－1
WHILE i>=0
PRINT “i=”; i
INPUT “ai=”;a
v=v*x+a
i=i－1
WEND
PRINT v
END
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
例6 已知f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,用秦九韶算法去f(2)的值.
f(x)=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
f(2)=1397
练习、已知多项式
f(x)=1+5x+10x2+5x4 +x5
用秦九韶算法
求这个多项式
当x=-2时的值。
开始
输入f(x)的系数：a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
i≥0?
输出v
结束
v=vx0+ai
i=i-1
Y
N
i=4
v=a5
输入ai
用秦九韶算法时先按降幂排列再把缺的项系数用0补上
方法一
程序框图：
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
方法二
V4=270
五.课堂练习
课本P45页第2题
六.小结
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图

七.课后作业
课本P48页习题1.1A组第2,3题。