专题1 勾股定理章末重难点题型汇编【举一反三】
【考点总揽】
【典例分析】
【考点1 利用勾股定理求面积】
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
【例1】（2019春?鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．25 C．7 D．10
【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：在中，，，，
，
四边形是正方形，
正方形的面积，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-1】（2019春?宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为（ ）
A．24 B．56 C．121 D．100
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：
；
即四个正方形，，，的面积之和为100；
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
【变式1-2】（2019春?武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【答案】解：由勾股定理得，，
，
解得，，
则，
解得，，
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
【变式1-3】（2019春?兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．
【答案】解：如图，由题意得：
，
，
，
．
故选：．
【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．
【考点2 判断直角三角形】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例2】（2019春?芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【答案】解：、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、设三角形三边为，，，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、（，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【变式2-1】（2018春?淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．，，
【分析】利用勾股定理的逆定理判断、、选项，用直角三角形各角之间的关系判断选项．
【答案】解：、，设，则，，
，即，解得，，
，故本选项错误；
、，，故本选项正确；
、，，故本选项正确；
、，，故本选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．
【变式2-2】（2018秋?金牛区校级期中）下列说法中，正确的有（ ）
①如果，那么是直角三角形；
②如果，则是直角三角形；
③如果三角形三边之比为，则为直角三角形；
④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出为90度；
②不正确，因为根据三角形的内角和得不到的角；
③正确，设三边分别为，，，则有；
④正确，因为．所以正确的有三个．
故选：．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为来判定．
【变式2-3】（2019春?寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点、点、点 B．点、点、点
C．点、点、点 D．点、点、点
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【答案】解：、，，，，不可以构成直角三角形；
、，，，，不可以构成直角三角形；
、，，，，可以构成直角三角形
、，，，，不可以构成直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【考点3 利用勾股定理求最短路径】
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股
定理即可求解.
【例3】（2018秋?福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．
【答案】解：
如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，
则，，
，，
，
由勾股定理得：，
即蚂蚁爬行的最短路线长是，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．
【变式3-1】（2018秋?沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（ ）
A．15 B．17 C．20 D．25
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
【变式3-2】（2018春?凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要（ ）
A． B． C． D．
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【答案】解：将长方体展开，连接、，
则，，
根据两点之间线段最短，．
故选：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．
【变式3-3】（2019秋?松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．
【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，
，
最短路程为．
故选：．
【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【考点4 勾股数相关问题】
【方法点拨】勾股数的求法：
（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a?=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
【例4】（2018秋?新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5），，
【分析】根据勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．
【答案】解：因为；，6，8，10，7，24，25都是正整数
勾股数有2组，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
【变式4-1】（2019春?闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）
【分析】根据勾股定理解答即可．
【答案】解：，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．
【变式4-2】（2018春?襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答．
【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：．
所以第⑦组勾股数：16，63，65．
故答案为：16，63，65．
【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．
【变式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股数的规律：
观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组： ．
【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
【答案】解：①，，；
②，，；
③，，；
④，，；
⑤，，，
故答案为：11，60，61．
【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
【考点5 利用勾股定理求长度】
【例5】（2018春?港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．
【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得的长．
【答案】解：，，，
．
根据直角三角形的面积公式，得．
在中，．
【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
【变式5-1】（2018秋?滨湖区期中）在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；
（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．
【答案】解：（1）在等腰中，，，
，，
，
，，
；
（2），
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得，，
即．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【变式5-2】（2018春?兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．
【答案】解：设，则．
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
，
．
故的长为8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．
【变式5-3】（2018秋?东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．
【答案】解：正方形的面积为，
，
，，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．
【考点6 利用勾股定理作图】
【例6】（2018秋?越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；
（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．
【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；
（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；
（3）先画出边长为的线段，再画出直角三角形即可．
【答案】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【变式6-1】（2018春?安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．
【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．
【答案】解：是一个周长为三角形，
的面积．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．
【变式6-2】（2018春?石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；
（2）①画一个边长为，，的直角三角形即可；
②画一个边长为，，的直角三角形即可；
【答案】解：（1）如图①所示：
（2）如图②③所示．
【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．
【变式6-3】（2018秋?高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个三边长分别为3，，的三角形，一共可画这样的三角形 个．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）由勾股定理容易得出结果．
【答案】解：（1），
即为所求，
如图1所示：
（2）如图2所示：
，，
，，，
都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．
【考点7 勾股定理的证明】
【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.
【例7】（2019春?洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．
【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．
【答案】解：选择的是图2，
证明：，，
，
整理，得，
．
故答案为：2，
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．
【变式7-1】（2018秋?兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．
（1）求证：；
（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．
【分析】（1）由全等三角形的判定于性质解答；
（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【答案】解：（1），
．
，
，
．
（2）由（1）知是一个等腰直角三角形，
．
又，，
，即．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理．
【变式7-2】（2018秋?东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）用含代数式表示四边形的面积；
（3）求证：．
【分析】（1）利用旋转的性质得出，，即可得出的形状；
（2）利用四边形的面积等于正方形面积，即可得出答案；
（3）利用四边形面积等于和的面积之和进而证明即可．
【答案】（1）是等腰直角三角形，
证明：绕其锐角顶点旋转得到在，
，
，
又，
是等腰直角三角形；
（2）四边形的面积等于正方形面积，
四边形的面积等于：．
（3）
即：，
整理：
．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出是解题关键．
【变式7-3】（2019春?东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．
【分析】连结，过点作边上的高，根据即可求解．
【答案】证明：连结，过点作边上的高，则．
．
又
【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例8】（2018春?宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【分析】（1）连接，利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
【答案】解：（1）连接，在中，，
，，
由勾股定理可得：；
（2）在中，，，
，
；
（3）由（2）知，，
四边形的面积，
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
【变式8-1】（2019春?长白县期中）如图，在四边形中，已知，，，且，．求四边形的面积．
【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形的面积为与的面积之差．
【答案】解：连接，
，，，
，
，，
，
，
为直角三角形，
．
故四边形的面积为216．
【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．
【变式8-2】（2018春?丰台区期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【分析】连接，然后根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解．
【答案】解：连接，，，，
，
，，
，
，
，
是的直角三角形，
四边形的面积的面积的面积，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接，构造出直角三角形是解题的关键．
【变式8-3】（2019春?鄂城区期中）如图，四边形中，，
，、分别是和边上的点，且，为的中点，问是什么三角形？请说明理由．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出，，的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．
【答案】解：，，，
，，
为的中点，
，
，
，
，
．
．
是直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．
【考点9 勾股定理的实际应用】
【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.
【例9】（2019春?东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【答案】解：设旗杆高，则绳子长为，
旗杆垂直于地面，
旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
由题意列式为，解得，
旗杆的高度为15米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
【变式9-1】（2019春?内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【变式9-2】（2019春?道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？
【分析】设千米，则千米，再根据勾股定理得出，进而可得出结论．
【答案】解：设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，千米．
答：基地应建在离站10千米的地方．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
【变式9-3】（2019春?商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论．
【答案】解：中，，，
；
同理，中，
，，
，
．
答：梯子底端向外移了0.77米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【考点10 利用勾股定理解折叠问题】
【例10】（2019春?番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．
【分析】由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解．
【答案】解：，
将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，
，
设，
则在中，
解得，
即等于
的面积
答：的面积为
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式10-1】（2018秋?建邺区期末）如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．
【分析】由翻折不变性可知：，，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【答案】解：由翻折不变性可知：，，
设，则，
在中，，
，
，
，
的长是．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式10-2】（2019秋?杭州期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求重叠部分的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出，就可以得出，
（2）设，就有，，在中，由勾股定理就可以求出结论；
（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．
【答案】解：（1）四边形是矩形，
，，，，
．
与△关于成轴对称
△，
，
，
；
（2），，
，．
设，就有，，在中，由勾股定理，得
，
解得：．
答：的长为；
（3），
．
答：重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时运用勾股定理求出的值是关键．
【变式10-3】（2018春?杜尔伯特县期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为．
（1）求线段长．
（2）连接，并求的长．
【分析】（1）设，则，由翻折的性质可知，在中，由勾股定理列方程求解即可；
（2）连接，由翻折的性质可知，然后在中由勾股定理求得的长即可．
【答案】解：（1）设，则．由翻折的性质可知：．
在中，由勾股定理可知：，，
解得：，即．
（2）如图所示，连接．
在三角形中，．
由翻折的性质可知．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，利用勾股定理的到关于的方程是解题的关键．
专题1 勾股定理章末重难点题型汇编【举一反三】
【考点总揽】
【典例分析】
【考点1 利用勾股定理求面积】
【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
【例1】（2019春?鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．25 C．7 D．10
【变式1-1】（2019春?宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为（ ）
A．24 B．56 C．121 D．100
【变式1-2】（2019春?武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【变式1-3】（2019春?兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
【考点2 判断直角三角形】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例2】（2019春?芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
【变式2-1】（2018春?淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．，，
【变式2-2】（2018秋?金牛区校级期中）下列说法中，正确的有（ ）
①如果，那么是直角三角形；
②如果，则是直角三角形；
③如果三角形三边之比为，则为直角三角形；
④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】（2019春?寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点、点、点 B．点、点、点
C．点、点、点 D．点、点、点
【考点3 利用勾股定理求最短路径】
【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股
定理即可求解.
【例3】（2018秋?福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2018秋?沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（ ）
A．15 B．17 C．20 D．25
【变式3-2】（2018春?凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2019秋?松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【考点4 勾股数相关问题】
【方法点拨】勾股数的求法：
（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a?=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
【例4】（2018秋?新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5），，
【变式4-1】（2019春?闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）
【变式4-2】（2018春?襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
【变式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股数的规律：
观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组： ．
【考点5 利用勾股定理求长度】
【例5】（2018春?港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．
【变式5-1】（2018秋?滨湖区期中）在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【变式5-2】（2018春?兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【变式5-3】（2018秋?东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【考点6 利用勾股定理作图】
【例6】（2018秋?越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；
（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．
【变式6-1】（2018春?安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．
【变式6-2】（2018春?石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，
（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；
（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
【变式6-3】（2018秋?高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：
（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个三边长分别为3，，的三角形，一共可画这样的三角形 个．
【考点7 勾股定理的证明】
【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.
【例7】（2019春?洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．
【变式7-1】（2018秋?兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．
（1）求证：；
（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．
【变式7-2】（2018秋?东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）用含代数式表示四边形的面积；
（3）求证：．
【变式7-3】（2019春?东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．
【考点8 勾股定理逆定理的应用】
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例8】（2018春?宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【变式8-1】（2019春?长白县期中）如图，在四边形中，已知，，，且，．求四边形的面积．
【变式8-2】（2018春?丰台区期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【变式8-3】（2019春?鄂城区期中）如图，四边形中，，
，、分别是和边上的点，且，为的中点，问是什么三角形？请说明理由．
【考点9 勾股定理的实际应用】
【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.
【例9】（2019春?东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？
【变式9-1】（2019春?内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【变式9-2】（2019春?道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？
【变式9-3】（2019春?商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：
【考点10 利用勾股定理解折叠问题】
【例10】（2019春?番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．
【变式10-1】（2018秋?建邺区期末）如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．
【变式10-2】（2019秋?杭州期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）求重叠部分的面积．
【变式10-3】（2018春?杜尔伯特县期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为．
（1）求线段长．
（2）连接，并求的长．
第1章 勾股定理章末达标检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2018秋?宜兴市期中）下列各组数中，是勾股数的（ ）
A．，，1 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
【答案】解：A、和不是整数，此选项错误；
B、∵12+22≠32，∴不是勾股数，此选项错误；
C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
D、∵92+402＝412，∴是勾股数，此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了勾股数，说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2．（3分）（2018秋?江都区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（ ）
A．5m B．m C．m D．m
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．
【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3，
解得，CD＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
3．（3分）（2019春?丰润区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c2
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【答案】解：A、由a：b：c＝3：4：5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由∠A：∠B：∠C＝9：12：15，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°，故是直角三角形．
D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（3分）（2019春?寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【答案】解：A、AB2＝1+36＝37，AC2＝16+25＝41，BC2＝1+9＝10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B、AD2＝16+16＝32，AG2＝9+36＝45，DG2＝1+4＝5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C、BE2＝36+16＝52，BF2＝25+25＝50，EF2＝1+1＝2，50+2＝52，可以构成直角三角形
D、BG2＝25+9＝34，BE2＝36+16＝52，GE2＝9+1＝10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
5．（3分）（2019春?洛阳期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2
【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【答案】解：由勾股定理得，AC＝＝12，
∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD＝6，
∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
6．（3分）（2019春?西工区校级月考）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
7．（3分）（2019春?郯城县期中）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．
【答案】解：由题意得：在Rt△AOB中，OA＝4米，AB＝5米，
∴OB＝＝3米，
在Rt△COD中，OC＝3米，CD＝5米，
∴OD＝＝4米，
∴AC＝OD﹣OB＝1米．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
8．（3分）（2019春?岑溪市期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．
【答案】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过S作SE⊥CD于E，
则SE＝BC＝×24＝12cm，
EF＝18﹣1﹣1＝16cm，
在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开﹣最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．
9．（3分）（2019春?番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
10．（3分）（2018秋?临安区期中）△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（ ）
①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分
②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：
③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【分析】①先由勾股定理求出△ABC的斜边AB＝10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
②根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
③△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．
【答案】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB＝10cm，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12cm，
∴t＝12÷2＝6（秒），故①正确；
当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴t＝13÷2＝6.5（秒），
∴CP＝AB＝×10＝5cm，故②正确；
依据△BCP为等腰三角形，
当点P在边AC上时，CP＝CB＝6cm，
此时t＝6÷2＝3（秒）；
当点P在边AB上时．
①如图1，若CP＝CB，作AB边上的高CD，
∵AC×BC＝AB×CD．
∴CD＝＝4.8，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，
∴BP＝2DP＝7.2，AP＝2.8，
∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；
②若BC＝BP，
∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6（秒）；
③若PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，故③正确．
故选：A．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2019秋?响水县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有 （1）（2）（3） ．（填序号）
【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【答案】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
12．（3分）（2018秋?临安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ．
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD?AD＝AB?ED，
∴ED＝，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
13．（3分）（2019春?常德期中）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 8 米．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【答案】解：∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为＝5（m），
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
14．（3分）（2018秋?盐都区期中）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝ 5 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，根据勾股定理计算即可
【答案】解：作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC，AE＝AC＝6，
∴BE＝4，
在Rt△DEB中，DE2＝（8﹣DE）2﹣42，
解得，DC＝DE＝3，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（3分）（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【答案】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（3分）（2018春?旌阳区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 13s或24s或s ．
【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【答案】解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，
∴BC＝12cm．
①当BP＝BA＝13时，∴t＝13s．
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝24cm，∴t＝24s．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝t cm，CP＝（12﹣t）cm，AC＝5 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴（t）2＝52+（12﹣t）2，解得t＝s．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝13s或24s或s．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018春?淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积．
【分析】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．
【答案】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
则AD＝，
所以△ABC的面积＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．
18．（8分）（2019春?长汀县期中）在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝500米．利用S△ABC＝AB?CD＝BC?AC得到CD＝240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
【答案】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
因为S△ABC＝AB?CD＝BC?AC
所以CD＝＝＝240（米）．
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
19．（8分）（2019秋?太仓市校级期中）（1）如图，在6×6的网格中，请你画出一个格点正方形ABCD，使它的面积是10．
（2）如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为，再勾股定理画出符合的图形即可；
（2）分为三种情况：①AC＝BC，②AB＝BC，③AC＝AB，找出符合的点即可．
【答案】解：（1）使4条边长为，如图所示：
（2）如图2所示：
共7个点．
【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错．
20．（8分）（2018秋?阜宁县期中）已知如图，AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°．求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在△ABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC，
∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝5（cm）
∴S△ACD＝CD?AD＝6（cm2）．
在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC?BC＝30（cm2）．
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD
＝30﹣6＝24（cm2）．
答：四边形ABCD的面积为24cm2．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
21．（10分）（2018秋?大田县期中）观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
22．（10分）（2018秋?宝安区期中）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．
【分析】（1）由△ACE≌△AED（AAS），推出CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中根据勾股定理即可解决问题；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【答案】解：（1）∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25
∴BC＝20，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAC＝∠EAD，
∵AC⊥CB，DE⊥AB，
∴∠EDA＝∠ECA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△AED（AAS），
∴CE＝DE，AC＝AD＝15，
设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10
在Rt△BED中
∴x2+102＝（20﹣x）2，
∴x＝7.5，
∴CE＝7.5．
（2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形
∵AC＝15，
∴AD＝AC＝15．
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形
∵CD＝AD，
∴∠DCA＝∠CAD，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴CD＝BD＝DA＝12.5，
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图1中，作CH⊥BA于点H，
则?AB?CH＝?AC?BC，
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CH＝12，
在Rt△ACH中，AH＝＝9，
∵CD＝AC，CH⊥BA，
∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
第1章 勾股定理章末达标检测卷
【北师大版】
考试时间：90分钟；满分：100分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2018秋?宜兴市期中）下列各组数中，是勾股数的（ ）
A．，，1 B．1，2，3 C．1.5，2，2.5 D．9，40，41
2．（3分）（2018秋?江都区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（ ）
A．5m B．m C．m D．m
3．（3分）（2019春?丰润区期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2﹣a2＝c2
4．（3分）（2019春?寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
5．（3分）（2019春?洛阳期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（ ）
A．15cm2 B．30cm2 C．60cm2 D．65cm2
6．（3分）（2019春?西工区校级月考）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
7．（3分）（2019春?郯城县期中）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上都不对
8．（3分）（2019春?岑溪市期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
9．（3分）（2019春?番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）（2018秋?临安区期中）△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（ ）
①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分
②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：
③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2019秋?响水县期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有 ．（填序号）
12．（3分）（2018秋?临安区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ．
13．（3分）（2019春?常德期中）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
14．（3分）（2018秋?盐都区期中）如图，已知AD是Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则BD＝ ．
15．（3分）（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
16．（3分）（2018春?旌阳区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2018春?淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为垂足，求△ABC的面积．
18．（8分）（2019春?长汀县期中）在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答．
19．（8分）（2019秋?太仓市校级期中）（1）如图，在6×6的网格中，请你画出一个格点正方形ABCD，使它的面积是10．
（2）如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
20．（8分）（2018秋?阜宁县期中）已知如图，AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°．求四边形ABCD的面积．
21．（10分）（2018秋?大田县期中）观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
22．（10分）（2018秋?宝安区期中）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．
