北师大版七年级数学下册同步精练专题 4.4用尺规作三角形同步训练(含解析)

4.4用尺规作三角形同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，用尺规作的平分线的方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分別以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线.由作法得，从而得两角相等.那么这两个三角形全等的根据是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（ ）
A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6
C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=6
3．根据下列条件不能唯一画出(ABC的是( )
A．AB(5，BC(6，AC(7 B．AB(5，BC(6，(B(45(
C．AB( 5，AC(4，(C( 90( D．AB(5，AC(4，(C(45(
4．已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　）
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作一条线段等于已知线段的和
5．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　 　）
A．AB=3，BC=4，AC=8 B．∠A=100°，∠B=45°，AB=5
C．AB=3，BC=5，∠A=75° D．∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°
6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2、2、4 B．2、6、3 C．8、6、3 D．11、4、6
7．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个．
A．2 B．4 C．6 D．8
8．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（ ）
A．已知三条边
B．已知三个角
C．已知两角和夹边
D．已知两边和夹角
二、填空题
9．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．
10．如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是________（填SAS，ASA，AAS，SSS）．
11．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角度平分线；③做一条线段的垂直平分线；④过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中做法错误的是_____．
12．如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个。
13．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图，过圆外一点作圆的切线．
已知：⊙O和点P
求过点P的⊙O的切线
小涵的主要作法如下：
如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；
（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；
（3）作直线PB和PC．
所以PB和PC就是所求的切线．
　
老师说：“小涵的做法正确的．”
请回答：小涵的作图依据是_____．
14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则可说明，其中判断的依据是__________．
三、解答题
15．如图，△ABC的周长是12．
（1）尺规作图：作∠ABC和∠ACB的角平分线BO、CO，交点为O．过点O作BC的垂线，垂足为点E．（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如果OE＝1，求△ABC的面积．
16．如图，已知线段m，∠α，求作△ABC，使BA＝BC且∠A＝∠α，AC＝m．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
17．求证：全等三角形对应中线相等.
要求：①根据给出的及线段，已知，以线段为一边，在给出的图形上用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹；
②若点分别是两个三角形的边上的中点连接，据此写出已知、求证和证明过程.
18．市政建筑公司要在学校东面分别建造一座桥和一个汽车站(汽车站在学校的正东方向),桥在汽车站北面,现已知学校到桥、桥到汽车站及学校到汽车站的距离分别为500 m,500 m,250 m,请根据以上信息确定桥与汽车站应分别建在何处,在下面图纸上标出来(不写作法,保留作图痕迹);这三个场所构成一个什么形状的三角形?
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．
【详解】
解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
∴在△OCP和△ODP中

∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选：B．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．C
【解析】试题解析：C.∠C并不是AB，AC的夹角，所以可画出多个三角形，故此选项错误；
故选C.
3．D
【解析】
【分析】
判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【详解】
解：A 、 AC 与 BC两边之和大于第三边，
(能作出三角形， 且三边知道能唯一画出(ABC ；
B 、(B 是 AB ， BC 的夹角，故能唯一画出(ABC ；
C、根据HL可唯一画出(ABC；
D 、(C 并不是 AB ， AC 的夹角，故可画出多个三角形．
故选 D ．
【点睛】
考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
4．C
【解析】
已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“SSS”.故用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段.
故选C.
5．B
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】
解：A、3+4<8，不符合三角形三边关系定理，不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据∠A=100°，∠B=45°，AB=5能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、AB=3，BC=5，∠A=75°，不能画出唯一三角形，故本选项错误
D、∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
根据三角形的三边关系，知
A、2+2=4，不能组成三角形；
B、3+2=5＜6，不能组成三角形；
C、3+6＞8，能够组成三角形；
D、4+6＜11，不能组成三角形．
故选C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．B
【解析】
试题解析：如图，可以作出这样的三角形4个.
故选B.
8．B
【解析】A、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一直角三角形；
B、不正确，已知三个角可画出无数个三角形；
C、正确，符合ASA判定；
D、正确，符合SAS判定.
故选：B.
点睛：此题主要考查由已知条件作三角形，可以依据三角形全等的判定来做.
9．13
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长．
【详解】
方程x2-14x+48=0，
分解因式得：（x-6）（x-8）=0，
解得：x=6或x=8，
当x=6时，三角形周长为3+4+6=13，
当x=8时，3+4＜8不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为13，
故答案为13
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．SSS
【解析】
【分析】
根据作图过程以及全等三角形的判定方法进行判断解答．
【详解】
解：根据作图过程可知，
OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
∴利用的是三边对应相等，两三角形全等，
即作图原理是SSS．
故答案为：SSS．
【点睛】
本题主要考查了作一个角等于已知角的理论依据，数学问题不仅要知道是什么，还有知道为什么，追根朔源方可学好．
11．③
【解析】
【分析】
利用尺规作图的方法逐项判断即可.
【详解】
解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故答案为③．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
12．23
【解析】
【分析】
△ABC的三边分别为，分别画出各全等图形即可得出答案．
【详解】
结合图形可得有23个符合题意的三角形．故答案是：23．
【点睛】
考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细思考，按照规律查找．
13．直径所对的圆周角是直角
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得出∠PBO＝∠PCO＝90°，即OB⊥PB，OC⊥PC，即可证得PB、PC是⊙O的切线．
【详解】
解：∵OP是⊙A的直径
∴∠PBO＝∠PCO＝90°
∴OB⊥PB，OC⊥PC
∵OB、OC是⊙O的半径
∴PB、PC是⊙O的切线；
则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在5种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考察了切线的判定
14．
【解析】
【分析】
利用作法得到△C'O'D'和△COD的三边对应相等，从而根据SSS可证明△C'O'D'≌△COD，然后根据全等三角形的性质得到∠A'0'B'=∠A0B.
【详解】
解：由作法得0D=0C=0D'=OC'，CD=C'D'，则根据“SSS”可判断△C'O'D≌△COD，所以∠A'0'B'=∠A0B.
故答案：SSS.
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了角平分线的性质定理的逆定理.
15．（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】
（1）利用尺规根据要求作出图形即可．（2）利用角平分线的性质定理解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，射线BO，射线CO，垂线OE即为所求．
（2）如图，作OF⊥AB于F，OG⊥AC于G，连接OA．
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OG＝1，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝?AB?OF+?BC?OE+?AC?OG＝（AB+BC+AC）＝6．
【点睛】
本题考查作图?复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16．见解析.
【解析】
【分析】
先作∠MAN=∠α，在AN上截取AC=m，然后作AC的垂直平分线l，交AM于点B，连接BC，即得到△ABC.
【详解】
解：如图所示，
【点睛】
此题主要考查了作等腰三角形底角等于已知角，底边等于已知线段，包含了两个基本作图，作一个角等于已知角和作垂直平分线.掌握五种基本作图是解题关键.
17．①如解图所示即为所求作图形；见解析；②见解析.
【解析】
【分析】
①用尺规作图作∠A’=∠A，∠B’=∠B，根据ASA可判断；
②题设即为已知，结论即为求证.
【详解】
解:①如解图所示即为所求作图形:
作法：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；以点为圆心，AE长为半径画弧，交于点，以点为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点，连接，则，同理，作出，两组角在上方交于点，则即为所求作图形.
②如解图.
已知：，分别为的中点，连接.
求证：.
证明：，
.
分别为的中点，
，，
.
【点睛】
本题考查尺规作图、三角形全等的判定和性质，突破此类问题的关键是五种基本尺规作图、全等三角形的性质及判定.
错因分析：1.对尺规作图的方法运用不灵活；2.对三角形的全等的判定和性质理解不透彻，难度属于中等题.
18．见解析
【解析】
【试题分析】根据单位长度，画出图形即可.
【试题解析】
如图,A为汽车站的位置,B为桥的位置,这三个场所构成一个等腰三角形.