北师大版七年级数学下册同步精练专题 4.5利用三角形全等测距离同步训练(含解析)

4.5利用三角形全等测距离同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2，则AC＝(　　)
A．2 B．8 C．5 D．3
2．如图，已知DE∥BC， AB∥CD，E为AB的中点，∠A=∠B．下列结论：①CD=AE；②AC=DE；③AC平分∠BCD；④O点是DE的中点；⑤AC=AB．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤
3．如图，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF分别是对应边，那么∠EAC等于(　　)
A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF
4．如图， △ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．如图，△ABC≌△ADC，∠ABC＝118°，∠DAC＝40°，则∠BCD 的度数为( )
A．40° B．44° C．50° D．84°
6．如图，已知AB=CD，∠1=∠2，AO=3，则AC=（? ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，∠ADB=∠ACB=90°，AC与BD交于点O，且AC=BD．有下列结论：①AD=BC；②∠DBC=∠CAD；③AO=BO；④AB∥CD．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
8．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为（ ）
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．675cm2
二、填空题
9．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA=1.1，AC=3.3,则AD=_________.
10．如图，△PAC≌△PBD，∠A＝45°，∠BPD=20°，则∠PCD的度数为=________.
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E且AE=8cm，F为AE的中点，G从A点向C点以每秒1个单位的速度运动，则点G经过_______秒时DG=DF．
12．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为_________°．
13．已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠B＝70°，则∠F＝_____．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．
三、解答题
15．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF，求证：AC∥BD．
16．在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线：
①求∠AFD的度数；
②若AD＝3，CE＝2，求AC的长；
（2）如图2，若∠EAC＝∠DCA＝30°，求证：AD＝CE．
17．如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，DE⊥DF．
（1）∠1=∠2吗？为什么？
（2）△ADE与△CDF全等吗？为什么？
（3）若AB=8cm，求四边形AEDF的面积．
18．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.
填空：当点A位于__________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为______（用含a，b的式子表示）
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．（备注：当△ABD是等边三角形时，AB=BD=AD，∠DAB=∠ABD=60°）
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等可得AC=DB，再求出AB=CD=（AD-BC）=3，那么AC=AB+BC，代入数值计算即可得解．
【详解】
∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=（AD-BC）=×（8-2）=3，∴AC=AB+BC=3+2=5．故选：C．
【点睛】
考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出AB=CD是解题的关键．
2．A
【解析】
试题分析：∵已知DE∥BC，AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴CB=DE；
∵∠A=∠B，∴AC=BC， ∴AC=DE，即可得②正确；
根据平行线等分线段性质可得AO=CO，∵AB∥CD，∴∠A=∠DCO，
又∵∠AOE=∠COD， ∴△AOE≌△COD（ASA）， ∴AE=CD，即可得①正确；
OE=OD，O点是DE的中点；即可得④正确；结论③⑤无法证明．故选A．
3．B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠EAF=∠BAC，从而可得结论．
【详解】
∵△ABC≌△AEF，
∴∠EAF=∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF.
故选B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应角相等．
4．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】
∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70°，∵∠ACB′=100°，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30°，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40°，故选：A．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键
5．B
【解析】
【分析】
根据全等的性质得出∠DCA=∠BCA=44°根据三角形内角和定理求出∠BCA，，即可求出答案．
△ABC≌△ADC，∠ABC＝118°，∠DAC＝40°
【详解】
解：∵△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∠BCA=∠DCA,
∵∠ABC＝118°，∠DAC＝40°，∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-118°-40°=22°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=44°，故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠BCA=∠DCA是解题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据AAS证△ABO≌△CDO，推出OC=OA=3，即可求出答案．
【详解】
∵在△ABO和△CDO中
∠A＝∠C∠AOB＝∠CODAB＝CD
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OC=OA=3，
∴AC=3+3=6，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
7．A
【解析】
【分析】
由已知条件，得到三角形全等，得到结论，对每一个式子进行验证从而确定正确的式子．
【详解】
∵在Rt△ADB和Rt△BCA中,AB=AB,AC=BD
∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL)
∴AD=BC，∴①正确；
∵∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB
∴∠DBC=∠CAD，∴②正确；
在△AOD和△BOC中
∠ADO=∠BCO,∠DOA=∠COB,AD=BC
∴△AOD≌△BOC(AAS)
∴AO=BO，∴③正确；
∵∠CDO+∠DCO+∠COD=180°，∠CDO=∠DCO，
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB=∠OBA
∠COD=∠AOB
∴∠DCO=∠OAB
∴AB∥CD，∴④正确；
所以以上结论都正确，
故选A.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题的关键.
8．D
【解析】
试题分析：设小长方形的宽为xcm，则长为3xcm，根据图示列式为x+3x=60cm，解得x=15cm，因此小长方形的面积为15×15×3=675cm2.
故选D.
点睛：此题主要考查了读图识图能力的，解题时要认真读图，从中发现小长方形的长和宽的关系，然后根据关系列方程解答即可.
9．2.2
【解析】
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到DF=AC=3.3，再由AD=DF-AF即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=3.3，
∴AD=DF-AF=3.3-1.1=2.2．
故答案为：2.2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得出DF的长是解决此题的关键．
10．
【解析】
【分析】
先根据全等三角形，得到,然后根据外角定理得到的度数.
【详解】
【点睛】
本题是全等三角形与三角形外角定理结合的题型，能够找到角的关系是解决本题的关键.
11．4或12
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DH，易证Rt△AED≌Rt△AHD，得到AE=AH=8cm，然后由DG=DF可得Rt△EFD≌Rt△HGD，可得HG=EF=4cm，同理可得HG’=4cm，易求答案.
【详解】
解：作DH⊥AC，DG
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH，∠AED=∠AHD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE=AH=8cm，
在Rt△EFD和Rt△HGD中，DE=DH,
∴当DG=DF时，Rt△EFD≌Rt△HGD，
∴HG=EF，
∵F为AE的中点，
∴EF=4cm，
∴HG=4cm，
同理可得HG’=4cm，
∴AG=8-4=4cm，AG’=8+4=12cm，
∵G从A点向C点以每秒1个单位的速度运动，
∴点G经过4秒或12秒时DG=DF.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
12．20°
【解析】
【分析】
先由△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出∠B=∠E=60°，∠C=∠F=40°，由DF∥BC，得出∠1=∠C，等量代换得到∠1=∠F，那么AC∥EF，于是∠2=∠E=60°．由三角形内角和定理求出∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，于是∠BAD=∠BAC-∠2=20°．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E=60°，∠C=∠F=40°，
∵DF∥BC，
∴∠1=∠C，
∴∠1=∠F，
∴AC∥EF，
∴∠2=∠E=60°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-40°=80°，
∴∠BAD=∠BAC-∠2=80°-60°=20°，
故答案为20.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，求出∠2=∠E=60°是解题的关键．
13．30°
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理，先求出∠C的度数，然后由全等三角形的性质：对应角相等即可得到∠F的度数．
【详解】
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴∠C＝30°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等．
14．
【解析】
【分析】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.
【详解】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，
∴∠DGE=∠CFE=90°，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠GED=∠CEF，
又∵DE=EC，
∴△GDE≌△FCE，
∴DG=CF，
∵S△BED=BE?DG，S△BED=AE?CF，AE=BE，
∴S△BED=S△BED，
∵D是BC的中点，
∴S△BDE=S△EDC==2，
∴S阴影=2+2=4，
故答案为4.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
15．见解析
【解析】
【分析】
根据HL证明Rt△ACE≌Rt△BDF，得到∠A＝∠B，即可证明.
【详解】
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°．
又∵AC＝BD，CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键熟知全等三角形的判定定理.
16．（1）①60°；②5；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算；
②在AC上截取AG＝AD＝3，连接FG，证明△ADF≌△AGF、△CGF≌△CEF，根据全等三角形的性质解答；
（2）在AE上截取FH＝FD，连接CH，证明△ADF≌△CHF，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质解答．
【详解】
解：（1）①∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∵∠B＝60°
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180﹣（∠BAC+∠BCA）＝120°
∴∠AFD=180°-∠AFC=60°；
②在AC上截取AG＝AD＝3，连接FG，
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠CFE＝60°，
在△ADF和△AGF中，
∵，
∴△ADF≌△AGF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFG＝60°，
∴∠GFC＝∠CFE＝60°，
在△CGF和△CEF中，
∵，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG＝CE＝2，
∴AC＝5；
（2）在AE上截取FH＝FD，连接CH，
∵∠FAC＝∠FCA＝30°，
∴FA＝FC，
在△ADF和△CHF中，
∵，
∴△ADF≌△CHF（SAS），
∴AD＝CH，∠DAF＝∠HCF，
∵∠CEH＝∠B+∠DAF＝60°+∠DAF，
∠CHE＝∠HAC+∠HCA＝60°+∠HCF，
∴∠CEH＝∠CHE，
∴CH＝CE，
∴AD＝CE．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．
17．（1）相等，理由见解析；（2）全等，理由见解析；（3）16平方厘米.
【解析】
试题分析：(1)利用公共角证明∠1=∠2.
(2)利用直角三角形斜边中线是斜边一半得到AD=CD,∠C=∠DAC, ∠1=∠2,利用ASA证明
△ADE与△CDF全等.
(3)利用（2）的结论，割补法，四边形面积恰好是等腰三角形面积一半.
（1）∵AB=AC,D是BC的中点，
∴∠ADC=90o ，
∴∠2+∠ADF=90o，
∵DE⊥DF ，
∴∠1+∠ADF=90o，
∴∠1=∠2 .
(2) ∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠C=45o,
∵AB=AC,D是BC的中点.
∴∠DAC=∠DAE=45°,
∴DA=DC,
在△ADE与△CDF中,
∠EAD=∠C=45o , DA=DC , ∠1=∠2,
∴△ADE≌△CDF.
（3）由（2）△ADE≌△CDF,
∴S△AED=S△CDF，
∵S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△CDF+S△ADF =S△ADC，
= S△ABC,,
= ×8×8=16(㎝2).
18．CB的延长线上 a+b
【解析】
【分析】
（1）根据线段与线段之间的和与差即可得到答案；
（2）①利用等边三角形的性质可得AD=AB，AC=AE，再利用角的和差可得∠CAD=∠EAB，由此得到△CAD≌△EAB，从而得到结论；
②根据线段与线段之间的和与差即可得到答案；
【详解】
（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，
AD=AB，∠CAD=∠EAB，AC=AE，
∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；
②DC的最大值即BE的最大值.
当B、C、D三点共线时取得最大值，最大值为4.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题的根据是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.