北师大版七年级数学下册同步精练专题 4.3探索三角形全等的条件同步训练(含解析)

4.3探索三角形全等的条件同步训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知AB=CD，BC=AD，∠B=23°，则∠D为（ ）
A．67° B．23° C．46° D．无法确定
2．已知：如图，AB=AD，∠1=∠2，以下条件中，不能推出△ABC≌△ADE的是( )
A．AE=AC B．∠B=∠D C．BC=DE D．∠C=∠E
3．我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞圈 D 能沿着伞柄滑动,伞不论张开还是缩拢,伞柄 AP 始终平分同一平面内所成的角∠BAC,为了证明这个结论,我们的依据是
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
4．如图，已知BD是∠ABE的角平分线，增加哪一条件不能证明△ABD≌△EBD（ ）
A．AD=ED B．AB=EB C．DB平分∠ADE D．∠A=∠BED
5．如图，已知∠CAB=∠DBA,则添加一个条件，不一定能使△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠C=∠D
C．BC=AD D．∠CBD=∠DAC
6．在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠A=∠D，若补充下列条件中的任意一条，就能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
①AC=DF ②BC=EF ③∠B=∠E ④∠C=∠F
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
7．已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A．AB=DE,AC=DF B．AC=EF,BC=DF C．AB=DE,BC=EF D．∠C=∠F,BC=EF
8．如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF，下列结论中正确结论的个数是 ( )
①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③BG=GC； ④AG∥CF； ⑤S△FGC=3.6
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带______．依据______
10．如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为_________________________．
11．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加的一个条件是________________．
12．如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可）
13．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_____．
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．
三、解答题
15．如图，点分别是对角线上两点，.求证：.
16．已知：如图，在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线上一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE.
(1)求证：CD＝BE；
(2)如果∠ABD＝2∠BED，求证：四边形BECD是菱形．
17．如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．
（1）求证：BC=DE
（2）若∠A=40°，求∠BCD的度数．
18．（本题满分10分）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
参考答案
1．B
【解析】
试题解析：连接AC，
∵AB=CD，BC=AD(已知)，
AC=AC，
∴△ABC≌△ACD，
故选B.
2．C
【解析】
【分析】
根据∠1=∠2可利用等式的性质得到∠BAC=∠DAE，然后再根据所给的条件利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，A、添加AE=AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠B=∠D，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；C、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△ADE，故此选项符合题意；D、添加∠C=∠E，可利用AAS定理判定△ABC≌△ADE，故此选项不合题意；故选C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．B
【解析】
【分析】
根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
【详解】
解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，∵在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SSS），∴∠DAE=∠DAF，即AP平分∠BAC．故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定对各选项进行分析.
【详解】
∵BD是∠ABE的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBD，且BD是公共边，
A选项：若AD＝ED，则SSA，不能判定三角形全等，故符合题意；
B选项：若AB=EB，根据SAS可以判定三角形全等，故不符合题意；
C选项：若DB平分∠ADE，则∠ADB＝∠EDB，根据ASA可判定三角形全等，故不符合题意；
D选项：若∠A=∠BED，根据AAS可判定三角形全等，故不符合题意；
故选：A.
【点睛】
考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”．
5．C
【解析】
∵∠CAB=∠DBA,AB=BA, ∴当AC=BD时，依据SAS能使△ABC≌△BAD;当∠C=∠D时，依据AAS能使△ABC≌△BAD;当∠CBD=∠DAC时，∠ABC=∠BAD,依据ASA能使△ABC≌△BAD;当BC=AD时，不一定能使△ABC≌△BAD;故选：C.
6．C
【解析】
如图，∵AB=DE，∠A=∠D，
∴根据“边角边”可添加AC=DF，
根据“角边角”可添加∠B=∠E，
根据“角角边”可添加∠C=∠F．
所以补充①③④可判定△ABC≌△DEF．
故选C．
7．B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定，逐个分析即可.
【详解】
A. AB=DE,AC=DF, 且∠A=∠D=90°,根据SAS，△ABC和△DEF全等；
B. AC=EF,BC=DF , 且∠A=∠D=90°,不能判定△ABC和△DEF全等；
C. AB=DE,BC=EF ，且∠A=∠D=90°,根据HL，△ABC和△DEF全等；
D. ∠C=∠F,BC=EF, 且∠A=∠D=90°,根据AAS，△ABC和△DEF全等.
故选B
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题关键点：熟记全等三角形的判定.
8．D
【解析】
分析：①用HL证明△ABG≌△AFG；②由△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，得到∠EAG＝∠BAD；③在直角三角形CEG中，由勾股定理求GC的长；④根据基本图形“等腰三角形＋角平分线→平行线”证明；⑤由GF:EG＝3:5，得S△FCG:S△ECG＝3:5.
详解：①根据轴对称的性质得，△ADE≌△AFE，
所以AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°.
因为AB＝AD，∠B＝90°，所以AB＝AF，
因为AG＝AG，所以△ABG≌△AFG.
则①正确；
②因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
所以∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，
所以∠EAG＝∠FAE＋∠FAE＝∠BAD＝×90°＝45°.
则②正确；
③因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
所以ED＝EF，GB＝GF，所以EG＝DE＋BG，
设BG＝x，则CG＝FG＝6－x，DE＝2，CE＝4，EG＝x＋2＝x＋2.
Rt△CEG中，由勾股定理得，CG2＋CE2＝EG2，
所以(6－x)2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.
则CG＝6－x＝3，又BG＝x＝3，所以BG＝CG.
则③正确；
④因为△ABG≌△AFG，所以∠AGB＝∠AGF.
因为BG＝CG，BG＝GF，所以CG＝GF，所以∠GCF＝∠GFC.
因为∠BGE＝∠GCF＋∠GFC，所以∠AGB＝∠GCF，所以AG∥CF.
则④正确；
⑤因为GF＝3，GE＝5，所以S△FGC＝S△GCE＝×GC·CE＝××3×4＝3.6.
则⑤正确.
故选D.
点睛：正方形的折叠问题中涉及到线段的长一般用勾股定理列方程求解，要熟悉基本图形“角平分线＋平行线→等腰三角形”，把“角平分线”，“平行线”，“等腰三角形”，这三个中的任意两个作为题设，另一个作为结论所得的命题都是真命题.
9．2 角边角
【解析】
【分析】
本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】
1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的。
故答案为：2.
【点睛】
考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
10．（2，4）或（4，2）．
【解析】
试题分析：①当点P在正方形的边AB上时，在Rt△OCD和Rt△OAP中，∵OC=OA，CD=OP，∴Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D是OA中点，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2）；
②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）．
综上所述：P（2，4）或（4，2）．故答案为（2，4）或（4，2）．
考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；分类讨论．
11．AB=CD或∠E＝∠F(答案不唯一)
【解析】
分析：添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可．
详解：∵AE∥FD，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故答案为：AB=CD.
点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．AC=AD
【解析】
【分析】
根据∠C=∠D=90°利用HL定理推出两三角形全等即可．
【详解】
添加的条件是AC=AD，理由是：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ACB和Rt△ADB中
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．
故答案为AD=AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一．
13．5
【解析】
【分析】
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°；然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵AB=AD，∠BAE=∠D，AE=DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=8，CF=CD-DF=8-2=6，∴BF==10，∴GH=BF=5.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.
14．7
【解析】
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质．
分析：连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．
解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，
CH=CD-DH=4-1=3，
∴AE=CH，
在△AEF与△CGH中，，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG=FH，
∴四边形EGHF是平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，
平行四边形EGHF的面积
=4×6-×2×3-×1×（6-2）-×2×3-×1×（6-2），
=24-3-2-3-2，
=14，
∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．
故答案为7．
15．见解析
【解析】
【分析】
用SAS证明△BAF≌△DCE即可说明∠DEC=∠BFA．
【详解】
证明：：∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
又,
∴≌,
∴.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解决这类问题一般是四边形转化为三角形处理．
16．见解析
【解析】
【分析】
（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等，△COD和△BOE中，已知了CO=BO，∠COD=∠BOE，CD∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出CD=BE．
（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么邻边相等的平行四边形是菱形．
【详解】
(1)∵CD∥BE，
∴∠CDE＝∠DEB.
∵O是边BC的中点，
∴CO＝BO.
在△COD和△BOE中，
∴△COD≌△BOE(AAS)．
∴CD＝BE.
(2)∵CD∥BE，CD＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝∠BED＋∠BDE，
∴∠BED＝∠BDE.
∴BD＝BE.
∴四边形BECD是菱形．
点睛：本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，注意掌握两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．
17．（1）证明见解析；（2）140°；
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DEC，∠ACD=∠D，再由∠ACD=∠B可得∠D=∠B，然后可利用AAS证明△ABC≌△CDE，进而得到CB=DE；（2）根据全等三角形的性质可得∠A=∠DCE=40°，然后根据邻补角的性质进行计算即可．
【详解】
（1）∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEC，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B．
∴∠D=∠B，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴BC=DE；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠A=∠DCE=40°
∴∠BCD=180°–40°=140°．
【点睛】
本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
18．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据条件∠BAD=∠CAE证出∠EAB=∠DAC即可用SAS证明△ABE≌△ACD；（2）由（1）可得BE=CD，进而可证四边形BCDE为平行四边形，然后再证明∠DCB=90°即可．
试题解析：（1）证明：∵∠BAD=∠CAE ∴∠EAB=∠DAC，在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
（2）∵△ABE≌△ACD ∴BE=CD，又DE=BC
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD∴∠ABE=∠ACD∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形∴EB∥DC∴∠EBC+∠DCB=180°
∴∠EBC=∠DCB=90°
四边形BCDE是矩形．
（此题也可连接EC，DB，通过全等，利用对角线相当的平行四边形是矩形进行证明）
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．矩形的判定．