沪科版数学八年级上册《第15章 轴对称图形和等腰三角形》单元试题及解析

沪科版数学八年级上册《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元试题及解析
一、填空题（本大题共10小题，共50分）
如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是______ 三角形．
一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为______ cm．
如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=______．
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=1006，则AB= ______ ．
如图，∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°，找出图中所有的等腰三角形______ ．
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=______．
如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为______．
如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于______ ．
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______度．
如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．
二、解答题（本大题共10小题，共100分）
如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．(1)求BE的长；(2)BD=ED吗？为什么？

如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE//AB，OF//AC，分别交BC于点E、F.求证：△OEF是等边三角形．

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC.求证：△CEB为等边三角形．

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．求证：AB=AC+CD．

如图，在△ABC中，点D、E在BC上，且∠1=∠B，∠2=∠C，BC=10cm，求△ADE的周长．

已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG//AD，交AB于F，求证：AE=AF．

如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE//BC，那么AB与AC相等吗？为什么？

如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：(1)BC=AD；(2)△OAB是等腰三角形．

如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE=BD，F是AE的中点，已知CD=6cm，求DF的长．

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：(1)MD=MB；(2)MN⊥BD．

答案和解析
1.【答案】等边
【解析】解：如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则它是等腰三角形，而有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．先得到轴对称三角形的特殊形状，进而判断三角形的形状即可．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2.【答案】22或20
【解析】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm；当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm．因此等腰三角形的周长为22或20cm．故填22或20．本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3.【答案】15°
【解析】【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】
解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，∴∠ADC=90°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°?∠CAD2=75°，∴∠EDC=∠ADC?∠ADE=90°?75°=15°．故答案为15°．
4.【答案】2012
【解析】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=1006，∴AB=2CD=2012．故答案为：2012．直接根据直角三角形的性质即可得出结论．本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．5.【答案】△ABD，△ABC，△ADC
【解析】解：∵∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°，∴∠CAD=180°?∠C?∠B?∠BAD=180°?36°?72°?36°=36°，∠ADB=180°?∠B?∠BAD=180°?72°?36°=72°，∴∠C=∠CAD，∠B=∠ADB，∴AD=CD，AD=AB，∴△ABD和△ADC是等腰三角形，∵∠CAB=∠CAD+∠BAD=36°+36°=72°，∴∠CAB=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴等腰三角形有：△ABD，△ABC，△ADC．故答案为：△ABD，△ABC，△ADC．根据三角形的内角和等于180°求出∠CAD=36°，∠ADB=72°，从而求出∠C=∠CAD，∠B=∠ADB，根据等角对等边可得AD=CD，AD=AB，再求出∠CAB=∠B，根据等角对等边求出AC=BC，然后根据等腰三角形的定义写出等腰三角形即可．本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键．6.【答案】3
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=12BC=12×6=3．故答案为：3．直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．7.【答案】2
【解析】解：∵在等边三角形ABC中，AB=6，∴BC=AB=6，∵BC=3BD，∴BD=13BC=2，∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=2．故答案为：2．由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形的性质，即可求得BD的长，然后由旋转的性质，即可求得CE的长度．此题考查了旋转的性质与等边三角形的性质．此题难度不大，注意旋转中的对应关系．8.【答案】8
【解析】解：∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，∴CD=BD，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，而AB=5，AC=3，∴△ADC的周长=8．故答案为8．已知BC的垂直平分线交AB于D，根据线段的垂直平分线的性质可以得到CD=BD，由此推出△ADC的周长=AC+CD+AD=AD+BD+AC=AC+AB，然后利用已知条件即可求出△ADC的周长．此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，进行线段的等效代换是正确解答本题的关键．9.【答案】15
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．10.【答案】3
【解析】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A'D+A'E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．由题意得AE=A'E，AD=A'D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．11.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=10cm，∵D是AC的中点，∴CD=12AC=5cm，又∵CD=CE，∴CE=5cm，∴BE=BC+CE=10+5=15cm， (2)BD=ED，理由如下：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠EDC=∠CED，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED，∴∠CED=12∠ACB=30°，∴∠DBE=∠CED，∴BD=ED．
【解析】(1)首先根据等边三角形的性质知AB=AC=BC=10cm，再由D是AC的中点，CE=CD，得到CE=5cm，进而求出BE的长；(2)根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=12∠ABC=30°，结合CD=CE，以及角角之间的等量关系，得到∠DBE=∠CED，即可求出BD=ED．本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．12.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵OE//AB，OF//AC，∴∠OEF=∠B=60°，∴∠OFE=∠C=60°，∴△OEF是等边三角形．
【解析】根据等边三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．13.【答案】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE=DC，∴BC=BE，∵AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，∴∠ECB=60°，∴△CEB为等边三角形．
【解析】根据CE⊥AB于点D，且DE=DC得出BC=BE，根据角的关系得出∠ECB=60°，即可证得△CEB为等边三角形．本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．14.【答案】证明：∵∠1=∠B(已知)，∴∠AED=2∠B(三角形外角的性质)，DE=BE(等角对等边)，又∠C=2∠B，∴∠C=∠AED(等量代换)，在△ACD和△AED中， ∠CAD=∠EAD∠C=∠AEDAD=AD，∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC=AE，CD=DE(对应边相等)，∴CD=BE(等量代换)，∴AB=AE+EB=AC+CD．
【解析】先根据AAS判定△ACD≌△AED，从而得出对应边相等，根据AB=AE+BE做相关的替换，便能得到AB=AC+CD．此题考查了学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用能力，要熟练掌握并灵活运用这些知识．15.【答案】解：∵∠1=∠B，∠2=∠C，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10cm．
【解析】由∠1=∠B，∠2=∠C，根据等角对等边的性质，可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC．此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16.【答案】证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵GE//AD，∴∠AFE=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠AFE=∠E，∴AE=AF．
【解析】根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，由平行线的性质得到∠AFE=∠BAD，∠E=∠CAD，等量代换得到∠AFE=∠E，即可得到结果．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．17.【答案】解：相等，理由如下：∵AE//BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠EAC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．
【解析】利用平行和角平分线可求得∠B=∠C，即可得到AB=AC．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键，注意平行线的性质的应用．18.【答案】证明：(1)∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵AB=ABAC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴BC=AD， (2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴△OAB是等腰三角形．
【解析】(1)根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．19.【答案】解∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，又∵F是AE的中点，∴DF是△AEB的中位线，∴DF=12EB，又∵BE=BD，∴DF=12DB，Rt△DBC中，∵∠DCB=30°，CD=6，∴BD=CD?tan∠DCB=6×33=23 ∴DF=12×23=3(cm)．
【解析】首先根据等腰三角形的性质可得∠DCB=30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，再根据三角形中位线定理可得DF=12EB=12BD，再根据三角函数可得BD=CD?tan∠DCB，进而得到答案．此题主要考查了三角形中位线，以及三角函数的应用，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．20.【答案】证明：(1)∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴DM=BM； (2)由(1)可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；(2)根据等腰三角形的三线合一证明．此题主要是运用了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目难度不大．