人教版八年级数学下册 16.1 二次根式重难点解析练习（含答案）

二次根式重难点解析
疑难分析
1．二次根式的定义:一般地,式子叫做二次根式,可以从以下几个方面理解：
（1）中的a可以是一个非负数，也可以是代数式，这个代数式的值必须是非负数，否则无意义，可以利用这一性质求被开方数的取值范围；
（2）式子既是二次根式，又表示非负数a的算术平方根，因此也是非负数，即.
2．二次根式的基本性质: ，该公式也可以倒过来,即,也就是说,可以利用它把任何一个非负数或式子写成一个数或式子的平方的形式.
3．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
4．商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
例题选讲
例1 函数的自变量x的取值范围是 .
解：变量x的取值范围,须使(即被开方熟大于或者等于零)且(即分母不等于零),即且x≠-1.
所以应填且x≠-1.
评注：①考虑二次根式有意义；②考虑分式有意义，只有同时有意义，才能求出自变量的取值范围.
例2 已知x＞2,则的结果是( ).
(A)x-2 (B)x+2 (C)-x-2 (D)2-x
解： 选(A)

∵= ,
∵x＞2,∴=x-2
故应选(A)
评注：解此类题,被开方数能化成完全平方式的.可根据进行化简.
例3 已知a＞b,化简二次根式的结果是( )
(A) (B) (C) (D)
解：选(D).
评注：理解并熟练运用,化简二次根式时,要判断或讨论根号内字母的符号,然后进行化简.
此题也可以根据二次根式化简的法则,采取观察、分析符号两个步骤，运用排除法解答：
（1）观察被开方数：由于被开方数中只有平方因式可以从根号内移到根号外，根号内的符号并不发生变化，观察原根式内的符号易知根号内不可能去掉负号，故可排除(B)、(C)；
（2）分析根号外的正负性：由知ab＜0,而a＞b,故a＞0,观察原来根号外为省略的“+”号，应保持正数性，故根号外必为a，综合可得.
例4 若x、y为实数，且，求.
解: 由x的取值范围可知:
∴x=2，y=.
评注：本题实际是通过题目中的隐含条件：，，，即x的取值范围，求出x和y的值.
例5 把中根号的(a-1)移到根号内得( )
(A) (B) (C) (D)
解: 根据二次根式的定义,被开方数≥0,即a-1＞0
∵=.
故选(A)
评注：根号外面的因式移到根号内,运用根式化简的逆向思维,即,所以应选判断(a-1)的正负,若为正,则把这个数写成它的平方移到根号内.


课堂检测
1、　已知y＝++6，则＝ .

2、　已知+y2+4y+4+＝0，求的值.


3、设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.



4、若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
　　

参考答案
1、根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x≥0且x－3≥0，即x≤3且x≥3，所以x只能等于3，所以y＝6.故＝＝2.

2、本题可变形为+(y+2)2+＝0，因为是三个非负数的和为0，所以x－3＝0，y+2＝0，z－1＝0，即x＝3，y＝－2，z＝1，故＝＝3.
3、由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝.
4、由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，
所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.




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