二次根式中非负数的解题功能
非负数在二次根式中占有极其重要的位置，同学们在解题时应特别注意并充分利用，现分类举例说明：
一、二次根式中被开方数的取值范围是非负数，即若有意义，则a0.
把代数式x根号外的因式移到根号内，化简的结果为_____
解：由-0，又由分式的定义x0得x<0.
所以原式=-(-x)=- =-.
特别地：1、若有意义，则a=o.
能使有意义的实数x的值有（ ）个
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数个
解：由有意义，得x+1=0,∴x=‐1.
故选（B）.
2、若和都有意义，则a=0.
例3.已知 y=++5求：x2+y2―xy的值.
分析：由已知条件知与都有意义.
∴x―3=0,得x=3,代入y=++5中得y=5.
x2+y2―xy=32―35+52=19.
二、二次根式的值为非负数，即0（a0）.
例4、已知：a=2―,求的值.
解：原式=.∵a―1=2――1=1―<0.
∴=|a-1|=-(a-1)=1-a=1-2+=-1.
特别地：若++=0，则a=b=c=0.
例5、若+=0，则ba=______.
解：∵0，=0，+=0.
∴a―2=b+1=0.
∴a=2,b=-1.
∴. ba=(-1)2=1.
练习：
1、若a、b都是实数，且，求ab的值.
2、若，试求a2005+b2006的值.
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二次根式常见错误剖析
本文通过对一些二次根式运算中典型错误的剖析，揭示错误之所在,诊断产生错误的原因，从中探寻正确的解法，以避免类似错误发生，现举例剖析，供读者参考.
应用性质时,忽视a≥0这一条件
例1 化简:
错解:原式=2-x.
错解剖析:导致错解的原因是忽视了算术平方根的非负性,避免出错的方法是先写出化简后的带绝对值的代数式,再判断绝对值中的代数式的符号然后去绝对值.
正解:原式=
对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解
例2 将根号外的因式移到根号内.
错解:原式=
错解剖析: 中的根式符号“-”号不能移到根号里面，因为是非正数，而则是非负数.
正解:原式=
三.错误理解最简二次根式
例3 下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
错解: A或C.
错解剖析:由于最简二次根式应满足两个条件:一是被开方数中不能含有开的尽方的因数或因式,二是被开方数中不能含有字母，因而A、 B、C都应是最简二次根式.事实上, 中比再含有开得尽方的因式了, 尽管式子含有分母,但被开方数是2b,因而它仍是最简二次根式.而=被开放数中含有分母,故它不是最简二次根式.对于这类题,不可仅从表面形式上作出结论,应深究其所具有的本质特征才行.
正解: D
四.错用分配律
对乘法分配律a(b+c)=ab+ac的变形应用(a+b)÷d=(a+b)的错误理解.
例4 计算:.
错解:原式==
错解剖析:错解的原因是把和对除数的分配即(a+b)÷d=(a+b),误解为除数对和的分配.
正解: 原式=
五.不熟悉二次根式的运算法则
例5 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
错解: C或D.
错解剖析:产生上述错误的原因在于对二次根式的运算法则不熟悉. A中;B中;
C中 D中
正解: A
通过以上几例可以看出,为避免二次根式问题出现错误,应把握准几个相关的概念:二次根式,最简二次根式以及同类二次根式等，从定义本身全面分析,获得结果,同时要能熟练地运用分母有理化的方法进行化简计算,正确处理,掌握,和a=的限制条件,以保证在化简过程中不出差错.
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二次根式新题型赏析
随着课改是进一步推进，近年来中考试题中出现了不少新题型，这类问题往往给出学生一些新情境，设置一些新问题，要求学生充分发挥阅读理解能力、应变能力和创新能力解答试题，可以全面考查学生综合素质，这些试题已成为中考试题中的一道靓丽的风景线。本文拟以与二次根式有关的创新题为例加以分析，希望对读者有所启发。
一、程序运算型
例2、（荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A、8 B、
C、 D、
解析：64的算术平方根是8，是有理数，再取算术平方根为，是无理数，所以输出的是，选B。
评注：以“数值转换机”的形式考查平方根有关概念，形式新颖。这类题目不仅考查学生基础知识的掌握情况，而且可以考察学生的综合能力。
二、估算型
例3、（扬州）大家知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间（ ）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
解析：因为，所以，所以，选A。
评注：新课标要求：能用有理数估算一个无理数的大致范围，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等。
三、无关型
例4、（吕梁）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当时，求代数式的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
解：原式．
所以，当，时，代数式的值都是．
评注：本题看似复杂，其实简单，只要先化简，可以发现其结果与x 的取值无关。做完后有“柳暗花明又一村”之感。这也提示我们在在碰到难题或陌生的问题时不要害怕，应敢于探索。
四、说理型
例5、（内江）已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为a、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
分析：要判断能否组成三角形，关键是确定三边之间的关系，而条件中给出的是一个含二次根式的等式，整体观察可以发现被开放数之间存在一定的关系可用二次根式的性质来解。
解：根据二次根式的性质，解得，所以以长为x、y、a的三条线段能组成一个三角形，且是一个直角三角形，其面积为6。
评注：本题通过整体观察，发现前两个二次根式的被开方数互为相反数，进而得到x+y-8=0，，从而得到，再利用非负数的性质得到相应方程。
评注：本题全面考查了二次根式的两个非负性，同时将二次根式与几何问题结合在一起，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力。
五、规律探究型
例1、（大连）用计算器计算：，，，…，请你猜测的结果为______________。
解析：本题可从特殊到一般，发现规律：=10，
=100，=1000， …，猜测的结果为10n.
评注：近几年来具新意的以观察探索归纳猜想为形式的新颖题脱颖而出，此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索，是中考必考内容之一，这类问题形式多种多样，可以是数形结合的，也可以是探究一组数的变化规律的，或单纯图形的变化趋势，有助于发展学生的合情推理能力，有助于学生“符号感”的形成．
图1
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二次根式规律探索题例析
数学课程标准自主探索与合作交流是学生学习的重要方式,从而探究规律型试题渗透到各个知识点.下面是中考数学试题, 例举几道与二次根式有关的规律探索题加以分析,供同学们学习时参考.
例1 (辽宁大连市)用计算器计算：,,,…请你猜测的结果为_________.
解析:这是一道用计算器进行探索的规律性试题,用计算器不难算得: ，,的值分别是10,100,1000,从而猜测待求式的结果是10n.
说明：这是由课本16页第10题改编的一道中考试题,其实,有些中考试题就是课本典型题目或其变式,望同学们对课本中的典型题目要格外重视.
例2 (广西桂林市)在中,共有 个有理数.
A.42 B.43 C.44 D.45
解析:本题逐一验证显然不可能,我们不妨反过来考虑,若这些算术平方根是有理数,则其被开方数应是正整数的平方,又所有的被开方数是连续整数,而442=1936,452=2025,即44<<45,所以在中,共有44个有理数,选C.
例3 (湖南邵阳市)如图1中,螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①,②,③,④,⑤,…,则第n个等腰直角三角形的斜边长是 .
解析:第①,②,③,④的斜边分别为,不难发现:斜边都是二次根式,且被开方数是以底数为2,指数是三角形序号的数,即第n个等腰直角三角形的斜边长是2n.例4(广州市)已知A=， B=(n为正整数)．当n≤5时，有A解析:利用计算器计算发现:当n=6时,A=5.5>B=;当n=7时,A=6.5>B=;当n=8时,A=7.5>B=,……,由此归纳出当n≥6时，A>B.
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关注二次根式“外移”“内移”问题
二次根式的化简运算是中考数学命题的热点之一，它主要有两种题目类型：一类是因式开平方后“外移”，另一类是因式平方后“内移”。在进行二次根式“外移”“内移”运算时，若能根据二次根式的性质，结合题目特征灵活运用，常常能使问题迎刃而解，下面将结合例题加以说明。
例1、已知x≤1，化简= .
分析：因为x≤1，所以1—x≥0，x—2<0.
故=
=1—x—= —1。
例2、已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简
b—= 。
分析：根据题意，得b>a，所以b—a>0，
故b—=b—= b—（b—a）=b—b+a=a。 a b
例3、若xy<0，则化简为（ ）
A、x B、-x C、x D、-x
分析：由，得x≥0，又因为xy<0，所以x<0，y>0，故=
== —x，故应选B。
点拨：在进行二次根式“外移”运算时，应先把根号内的因式写成平方形式，再根据二次根式的性质： 进行化简。
例4、把（1—a） HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" 的根号外的因式移到根号内，则该因式等于 。
A、 B、 C、- D、-
分析：由（1-a）可知->0，所以a-1<0，即a<1。
当a<1时，1-a>0。所以（1—a）
==
= HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" ==，故应选A。
点拨：在进行二次根式 “内移”运算时，应先确定根号外因式的符号，若根号外的因式是非负数，则把因式平方后移到根号内；若根号外的因式是负数，则把负号留在根号外，再把根号外因式的相反数平方后移到根号内进行化简。
练习：1、若b>0，化简的结果是（ ）
A、-b B、b C、-b D、b
2、实数p在数轴上的位置如图所示，化简 。
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3、阅读下面一道题的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确答案。
已知a为实数，化简 HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" 。
解：原式=a。
答案：1、B
2、1
3、不正确，原式=（1—a） HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" 。
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破解二次根式考题中的隐含条件
关于二次根式的考查，有一类题是专门对二次根式有意义的条件进行的。我们熟知，二次根式(≥0)≥0。这里体现了二次根式的两个非负性：即被开方数是非负数，根式本身也是非负数。而有许多同学解题时虽然知道这些条件，但由于考题中没有明确给出，学生不去破解其隐含条件而导致解题出错。以下举例说明，望给大家提个醒儿。
适合的正整数的值有( )
说明：本题在测试中的错误率达到90%以上，错误现象不容忽视。错误原因是对根式的非负性不理解。
错解：
正整数的值有2、1，选(B)
正解：（隐含条件）
正整数的值为3、2、1 故选(C)
例2、小明作业本上有以下四题：
①②③④，做错的题是( )
A. ① B. ② C .②④ D. ③④
说明：学生容易判断①②正确，本题的错误现象主要是③的变形出错。对于 HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" 不辨别式子本身的符号，凭空认为>导致错误。另外，④式属于二次根式的加减运算，只有同类二次根式才可以合并，而与不是同类二次根式，所以不能合并。
③式的正确变形为：
有意义
>（隐含条件） < <
选( D )
例3、最简二次根式与是同类二次根式，则=___
说明：本题的错误现象是对的值能否使两个根式有意义考虑不全面，的值应满足且（隐含条件）
错解：由题意得： HYPERLINK "http://www.mathschina.com/Index.html" =
=
= =
的值为或
正解：同上得出= =
当=时，=>
=>
合题意，
当=时，=<
不合题意，舍去。
例3、已知<，化简二次根式的正确结果是( )
说明：本题的错误现象是学生开方时直接将变为，而没有考虑的取值应使根式有意义的条件。
正解：有意义 （隐含条件）
< 、异号且< >
==
由以上各题的解决可以看出，在二次根式问题中，我们只有对根式本身有意义的隐含条件即(≥0)≥0掌握牢固，具体问题用心分析其条件的隐含性，才能在解题时不出现上述错误。
请你尝试一下（当心哦）：
1、最简二次根式与是同类二次根式，则=__。
2、化简二次根式的结果是( )
A. B. C. D.
3、已知是实数，且，则的值为( )
A.13 B.7 C.3 D.13或7或3
答案：1、6 2、B 3、C
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