8.2 概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然________发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然________发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能________的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的________，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=________，P(不可能事件)=________，________＜P(不确定事件)＜________；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有________种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的________种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用________求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用________来求事件发生的概率.
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的________作为该事件发生的概率的估计值.
四. 概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都________，则游戏公平，否则不公平.[来源
考点一：随机事件
一个菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4，这个事件是（?? ）
A.?必然事件?????????????????????????B.?随机事件?????????????????????????C.?不可能事件?????????????????????????D.?以上都不是
变式跟进1口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（?? ）
A.?随机摸出1个球，是白球?????????????????????????????????????B.?随机摸出1个球，是红球 C.?随机摸出1个球，是红球或黄球???????????????????????????D.?随机摸出2个球，都是黄球
考点二：概率公式
某校举办的诗词大会有4名女生和6名男生获奖,现从中任选1人去参加区诗词大会 ,则选中女生的概率是(??? )
A.?110??????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????C.?25??????????????????????????????????????D.?14 ?
变式跟进2在实数 5 ，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是________．
考点三：几何概率
如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（?? ）
变式跟进3已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1 ， 针尖落在⊙O内的概率为P2 ， 则 P1P2 =________．
考点四：利用列表法、树状图法求概率
九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是________．
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．
变式跟进4我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
考点五：用频率估计概率
一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________．
变式跟进5下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
??
0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？???
考点六：游戏公平性
有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、4的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
变式跟进6一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当x=3时，谁获胜的可能性大？
（2）当x为何值时，游戏对双方是公平的？
一、单选题
1.（2017?乌鲁木齐）下列说法正确的是（?? ）
A.?“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件 B.?已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C.?处于中间位置的数一定是中位数 D.?方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
2.（2017?绍兴）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（??? ）
A.?17??????????????????????????????????????????B.?37??????????????????????????????????????????C.?47??????????????????????????????????????????D.?57
3．（2018?海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为13，那么n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2018?荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=45．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
5．（2018?镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是56，则n的取值为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
6．（2019·广西北部湾经济区）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
7．（2019·鄂尔多斯）下列计算① ② ③ ④ ⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·天水）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9.（2017?黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是________．
10.（2017?达州）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y= 6x 图象上的概率是________．
11．（2018?永州）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____．
12．（2018?益阳）2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．
13．（2018?呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为_____．
14．（2019·黔东南）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有_______个白球．
15．（2019·达州）如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_____．
16．（2019·辽阳）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．
三、解答题
17.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
18．（2018?江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
19．（2019·丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
20．（2019·随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
一、单选题
1．（2018?黔东南州三模）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件
B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为13
2．（2018?巴彦淖尔模拟）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．23
3．（2018?济宁二模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（ ）
A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m2
4．（2018?太原模拟）小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）
A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12 B．小明胜的概率是13，所以输的概率是23
C．两人出相同手势的概率为12 D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
5．（2019·怀化模拟）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
6．（2019·重庆模拟）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·许昌模拟）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·武汉模拟）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
二、填空题
9．（2018·福建模拟）将2个黑球，3个白球，4个红球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是事件 （填“必然”或“不可能”或“随机”）.
10．（2018?盐城模拟）三张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的三个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是_____．
11．（2018?哈尔滨二模）一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
12．（2018?合肥调研）学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.
13．（2019·汕头模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．
14．（2019·石家庄模拟）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G都是格点，从C，D，E，F，G五个点中任意取一点，以所取点及AB为顶点画三角形，所画三角形时等腰三角形的概率是_____.
15．（2019·娄底模拟）在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值，能够使关于x的一元二次方程x2+ax+9＝0有两个不相等的实数根的概率是_____．
16．（2019·深圳模拟）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
三、解答题
17．（2018?无锡四模）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．
（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；
（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？
18．（2018?西安五模）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；
（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
19．（2019·宁波模拟）小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．
（1）若第一次设计的图形（图1）是半径分别为20cm和30cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
（2）若第二次设计的图形（图2）是两个矩形，其中大矩形的长为80cm、宽为60cm，且小矩形到矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm？
20．（2019·安徽模拟）现如今，通过“微信运动“发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小华为了了解他的微信朋友圈里大家的“建步走运动“情况，随机抽取了20名好友一天行走的步数，记录如下：
5640
6430
6320
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7325
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
m
D
8500≤x＜9500
2
E
9500≤x＜10500
n
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：m＝ ，n＝ ．
(2)补全频数分布直方图．
(3)根据以上统计结果，第二天小华随机查看一名好友行走的步数，试估计该好友的步数不低于7500步(含7500步)的概率．
8.2 概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然会发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用列表法求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用树状图来求事件发生的概率.
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
四. 概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.[来源
考点一：随机事件
一个菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4，这个事件是（?? ）
A.?必然事件?????????????????????????B.?随机事件?????????????????????????C.?不可能事件?????????????????????????D.?以上都不是
【答案】C
【解析】解：菱形的对角相等，不可能出现菱形的四个内角度数之比依次为1：2：3：4， 这个事件是不可能事件， 故选C． 【点评】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
变式跟进1口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（?? ）
A.?随机摸出1个球，是白球?????????????????????????????????????B.?随机摸出1个球，是红球 C.?随机摸出1个球，是红球或黄球???????????????????????????D.?随机摸出2个球，都是黄球
【答案】B
【解析】解：A、随机摸出1个球，是白球是不可能事件，选项不符合题意； B、随机摸出1个球，是红球是随机事件，选项符合题意； C、随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件，选项不符合题意； D、随机摸出2个球，都是黄球是不可能事件，选项不符合题意． 故答案为：B． 【点评】据随机事件的定义得出答案。
考点二：概率公式
某校举办的诗词大会有4名女生和6名男生获奖,现从中任选1人去参加区诗词大会 ,则选中女生的概率是(??? )
A.?110??????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????C.?25??????????????????????????????????????D.?14 ?
【答案】C
【解析】解：共10名同学有4名女生，从中任选1人去参加市科技制作比赛，则选中女生的概率是 410=25 . 故选C. 【点评】运用概率公式解答.
变式跟进2在实数 5 ，π，3°，tan60°，2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是________．
【答案】25
【解析】解：在实数 5 ，π，3°，tan60°，2中，大于2的数有 5 ，π， 则抽得的数大于2的概率是 25 ； 故答案为： 25 ． 【点评】先找出大于2的数，再根据概率公式即可得出答案．
考点三：几何概率
如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（?? ）
A.?13??????????????????????????????????????????B.?14??????????????????????????????????????????C.?15??????????????????????????????????????????D.?16
【答案】B
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= 416 = 14 ， ∴它停在黑色区域的概率是 14 ； 故答案为：B． 【点评】根据黑色方砖4块，共有16块方砖，得出黑色方砖在整个区域中所占的比值，得出小球在黑色区域的概率.
变式跟进3已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1 ， 针尖落在⊙O内的概率为P2 ， 则 P1P2 =________．
【答案】2π
【解析】解：设⊙O的半径为1，则AD= 2 ， 故S圆O=π， 阴影部分面积为：π (22)2 ×2+ 2 × 2 ﹣π=2， 则P1= 2π+2 ，P2= ππ+2 ， 故 P1P2 = 2π ． 故答案为： 2π ． 【点评】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1 ， P2的值即可得出答案．
考点四：利用列表法、树状图法求概率
九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．
（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是________．
（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．
【答案】（1）12 （2）解：画树形图得： 所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种． ∴这2名学生来自同一个班级的概率为 =
【解析】解：（1）所选的学生性别为女生的概率= 24 = 12 ， 故答案为： 12 ； 【点评】（1）根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
变式跟进4我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A：实心球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：根据题意得：15÷30%=50（名）． 答；在这项调查中，共调查了50名学生 （2）解：C项目的人数为50﹣（10+5+15）=20，其百分比为 ×100%=40%，补全图形如下： （3）解：用A表示男生，B表示女生，画图如下： 共有20种情况，同性别学生的情况是8种， 则刚好抽到同性别学生的概率是 =
【点评】（1）用D的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；（2）用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
考点五：用频率估计概率
一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是________．
【答案】12
【解析】解：3÷ 20100?20 =12（个）． 故答案为：12． 【点评】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
变式跟进5下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，
投篮次数（n）
50
100
150
209
250
300
350
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
175
投中频率（n/m）
0.56
0.60
??
0.49
（1）计算并填写表中的投中频率（精确到0.01）；
（2）这名球员投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？???
【答案】（1）0.52、0.50、0.51、0.50 （2）P≈0.51
【解析】（1）78÷150=0.52； 104÷209=0.50； 152÷300=0.51； 175÷350=0.50. （2）观察表中数据，可知P≈0.51
【点评】（1）根据投中的频率=nm,分别计算即可得出答案。 （2）观察表中数据，即可得出答案。
考点六：游戏公平性
有红、黄两个盒子，红盒子中装有编号分别为1、2、3、4的四个红球，黄盒子中装有编号为1、2、3的三个黄球．甲、乙两人玩摸球游戏，游戏规则为：甲从红盒子中每次摸出一个小球，乙从黄盒子中每次摸出一个小球，若两球编号之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，两球编号之和为奇数有6种情况， ∴P（甲胜）= （2）解：公平．∵P（乙胜）= ， ∴P（甲胜）=P（乙胜）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方公平
【点评】（1）首先画树状图，然后根据树状图即可求得甲获胜的概率；（2）根据树状图，求得甲、乙获胜的概率，然后比较概率，即可求得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
变式跟进6一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出一个球，若为黄球，则乙同学获胜．
（1）当x=3时，谁获胜的可能性大？
（2）当x为何值时，游戏对双方是公平的？
【答案】答案见解析
【解析】（1）解：A同学获胜可能性为 ，B同学获胜可能性为 ， 因为 ， 当x=3时，B同学获胜可能性大 （2）解：游戏对双方公平必须有： ， 解得：x=4， 答：当x=4时，游戏对双方是公平的
【点评】（1）比较A、B两位同学的概率解答即可；（2）根据游戏的公平性，列出方程 x16=16?3x16 解答即可．
一、单选题
1.（2017?乌鲁木齐）下列说法正确的是（?? ）
A.?“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件 B.?已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C.?处于中间位置的数一定是中位数 D.?方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
【答案】D
【解析】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误； B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误； C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误； D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确； 故选：D． 【点评】根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案．
2.（2017?绍兴）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其它均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（??? ）
A.?17??????????????????????????????????????????B.?37??????????????????????????????????????????C.?47??????????????????????????????????????????D.?57
【答案】B
【解析】解：摸出一个球一共有3+4=7种同可能的情况， 而抽出一个是黑球的有3种情况， 故P（摸出黑球）= 37 . 故选B. 【点评】用简单的概率公式解答P= mn ；在这里，n是球的总个数，m是黑球的个数.
3．（2018?海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为13，那么n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】此题涉及的知识点是概率，根据概率公式2n=13，利用比例性质得到n的值.
解：根据题意得: 2n=13,所以n=6.
故选A.
【点评】本题重点考查学生对于概率公式的理解，熟练掌握这一规律是解题的关键.
4．（2018?荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=45．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【解析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，然后根据概率公式进行求解即可得.
解：设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=45，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：4a·2a5a·4a=25，
故选B．
【点评】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5．（2018?镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是56，则n的取值为（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
【答案】C
【解析】根据题意可知不大于8的偶数有4个，则大于8的偶数为(n-4)个，根据概率公式可列出关于n的方程，解方程即可得.
解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是56，
∴n?4n=56，
解得：n=24，
故选C．
【点评】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2019·广西北部湾经济区）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】B
【解析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件.
解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
7．（2019·鄂尔多斯）下列计算
① ② ③ ④ ⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据计算结果和概率公式求解即可.
解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：A．
【点评】考核知识点：求概率.熟记公式是关键.
8．（2019·天水）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，黑色区域是圆面积的一半，设正方形的边长为，用黑色区域的面积除以正方形的面积即可.
解：设正方形的边长为，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
二、填空题
9.（2017?黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是________．
【答案】38
【解析】解：∵袋子中共有8个球，其中红球有3个， ∴任意摸出一球，摸到红球的概率是 38 ， 故答案为： 38 ． 【点评】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，求出恰好摸到红球的概率是多少即可．
10.（2017?达州）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数y= 6x 图象上的概率是________．
【答案】13
【解析】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数y= 6x 图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1）， ∴点（m，n）在函数y= 6x 图象上的概率是： 412 = 13 ． 故答案为： 13 ． 【点评】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y= 6x 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
11．（2018?永州）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是_____．
【答案】100．
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，3n=0.03，
解得，n=100，
故估计n大约是100，
故答案为：100.
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2018?益阳）2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．
【答案】13．
【解析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可.
解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=26=13．
故答案为13．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（2018?呼和浩特）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为_____．
【答案】512
【解析】直接利用一次函数增减性结合k的取值范围进而得出答案．
解：当2k﹣1＞0时，
解得：k＞12，则12＜k≤3时，y随x增加而增加，
故﹣3≤k＜12时，y随x增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：3?123??3=512，
故答案为：512．
【点评】本题考查了概率公式以及一次函数的性质，熟练掌握概率的计算方法以及一次函数的性质是解题的关键.
14．（2019·黔东南）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有_______个白球．
【答案】20.
【解析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．
15．（2019·达州）如图所示的电路中，当随机闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为_____．
【答案】
【解析】根据题意可得：随机闭合开关中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．
解：因为随机闭合开关中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光
所以P（灯泡发光）＝．
故本题答案为：．
【点评】考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
16．（2019·辽阳）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．
【答案】
【解析】根据几何概率的求解公式即可求解.
解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
三、解答题
17.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】解：这个游戏对双方是公平的． 如图， ∴一共有6种情况，和大于4的有3种， ∴P（和大于4）= = ， ∴这个游戏对双方是公平的
【点评】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．
18．（2018?江西）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加.
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率.
【答案】（1）不可能；随机；14；（2）12
【解析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率；
（2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得.
解：（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件，
“小悦被抽中”是随机事件，
第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为14，
故答案为：不可能， 随机， 14 ；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能，
所以“小惠被抽中”的概率是: P=612=12 .
【点评】本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2019·丹东）如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和1等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平（不需要说明理由）．
【答案】（1）见解析，甲获胜概率为；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【解析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平．
解：（1）列表如下：
﹣2
﹣3
2
3
1
﹣2
﹣3
2
3
2
﹣4
﹣6
4
6
3
﹣6
﹣9
6
9
由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，
所以甲获胜概率为；
（2）∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（2019·随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【解析】(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
解：(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为：60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为：96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为：1020；
(4)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12?种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.
一、单选题
1．（2018?黔东南州三模）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）
A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件
B．体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖
C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品
D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为13
【答案】C
【解析】根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.
解：A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.
B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.
C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品,正确.
D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为12，故错误.
故选:C.
【点评】考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.
2．（2018?巴彦淖尔模拟）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．23
【答案】B
【解析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，
故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．
故选B．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．（2018?济宁二模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（ ）
A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m2
【答案】D
【解析】首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.65，
∵正方形的边长为4m，
∴面积为16 m2
设不规则部分的面积为s m2
则s16=0.65
解得：s=10.4
故答案为：D．
【点评】利用频率估计概率．
4．（2018?太原模拟）小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）
A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12 B．小明胜的概率是13，所以输的概率是23
C．两人出相同手势的概率为12 D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
【答案】D
【解析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.
解：A、错误．小明还有可能是平；
B、错误、小明胜的概率是?13，所以输的概率是也是13；
C、错误．两人出相同手势的概率为13；
D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13；
故选：D．
【点评】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2019·怀化模拟）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨
【答案】B
【解析】必然事件就是一定发生的事件，结合不可能事件、随机事件的定义依据必然事件的定义逐项进行判断即可．
解：A、“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；
B、“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；
C、“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；
D、“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误，
故选B．
【点评】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2019·重庆模拟）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.
7．（2019·许昌模拟）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为.
故选：C．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（2019·武汉模拟）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】A
【解析】根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.
详解：根据题意得: ,? 计算得出:n=20,? 故选A. 【点评】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
二、填空题
9．（2018·福建模拟）将2个黑球，3个白球，4个红球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是事件 （填“必然”或“不可能”或“随机”）.
【答案】必然
【解析】根据相应事件类型判断可能性即可得出答案．
解：2个黑球、3个白球、4个红球放入一个不透明的袋子里，
若摸到所有的红球与白球共7个，一定还会摸到1个黑球，
若摸到所有的白球与黑球共5个，还会摸到2个红球，
若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球，
所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件．
故答案为必然．
【点评】本题主要考查了必然事件的定义，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，难度适中．
10．（2018?盐城模拟）三张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的三个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是_____．
【答案】13
【解析】根据概率公式求解可得．
解：从中任意抽取1张，共有3种等可能结果，其中是轴对称的只有圆这一种，
∴抽出的卡片是轴对称图形的概率是13，
故答案为：13．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．
11．（2018?哈尔滨二模）一个布袋中装有1个蓝色球和2个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
【答案】49
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的情况，再利用概率公式即可求出答案.
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的由4种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率是49，故答案为49.
【点评】本题主要考查了求随机事件概率的方法，解本题的要点在于根据题意画出树状图，从而求出答案.
12．（2018?合肥调研）学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.
【答案】12
【解析】利用树状图展示所有12种等可能的结果数．
解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数． 故答案为12．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13．（2019·汕头模拟）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是______．
【答案】
【解析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
恰好均为正面向上的概率是，
故答案为．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14．（2019·石家庄模拟）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G都是格点，从C，D，E，F，G五个点中任意取一点，以所取点及AB为顶点画三角形，所画三角形时等腰三角形的概率是_____.
【答案】.
【解析】找出从C，D，E，F，G五个点中任意取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论．
解：∵从C，D，E，F，G五个点中任意取一点共有5种情况，其中A、B、C；A、B、F两种取法，可使这三定组成等腰三角形，
∴所画三角形时等腰三角形的概率是，
故答案是：．
【点评】考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
15．（2019·娄底模拟）在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值，能够使关于x的一元二次方程x2+ax+9＝0有两个不相等的实数根的概率是_____．
【答案】
【解析】列举出所有情况，让能够使关于x的一元二次方程x2+ax+9＝0有两个不相等的实数根的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解：在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11这九个数中，任取一个作为a值每个数被抽到的机会相同，因而是列举法求概率的问题，方程x2+ax+9＝0有两个不相等的实数根的条件是a2﹣36＞0，就是要看一下在﹣9，﹣6，﹣3，﹣1，2，3，6，8，11中有3个满足a2﹣36＞0．
∴P（能够使关于x的一元二次方程x2+ax+9＝0有两个不相等的实数根）＝．
【点评】正确理解列举法求概率的条件以及一元二次方程根的判定方法是解决问题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（2019·深圳模拟）如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
【答案】0.600
【解析】观察图象可知，该射手击中靶心的频率维持在0.600左右，所以该射手击中靶心的概率的估计值为0.600.
三、解答题
17．（2018?无锡四模）在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手的综合表现，分别给出“待定”（用字母W表示）或“通过”（用字母P表示）的结论．
（1）请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；
（2）对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？
（3）比赛规定，三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手可入围进入复赛，问琪琪进入复赛的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）14；（3）12.
【解析】（1）根据列树状图的步骤和题意分析所有等可能的出现结果，即可画出图形；
（2）根据（1）求出甲、乙两位评委给出相同结论的情况数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）根据（1）即可求出琪琪进入复赛的概率．
解：（1）画树状图如下：
（2）∵共有8种等可能结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有2种可能，
∴只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率P=28=14；
（3）∵共有8种等可能结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有4种可能，
∴乐乐进入复赛的概率P=48=12．
【点评】此题考查了列树状图，掌握列树状图的步骤，找出三位评委给出相同结论的情况数是本题的关键，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P=mn．
18．（2018?西安五模）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率P1；
（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【答案】（1）落回到圈A的概率P1=14；（2）她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【解析】（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
解：（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率P1=14；
（2）列表得：
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），
∴最后落回到圈A的概率P2=416=14，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数．
19．（2019·宁波模拟）小红和小明在操场做游戏，规则是：每人蒙上眼睛在一定距离外向设计好的图形内掷小石子，若掷中阴影部分则小红胜，否则小明胜，未掷入图形内则重掷一次．
（1）若第一次设计的图形（图1）是半径分别为20cm和30cm的同心圆．求游戏中小红获胜的概率你认为游戏对双方公平吗？请说明理由．
（2）若第二次设计的图形（图2）是两个矩形，其中大矩形的长为80cm、宽为60cm，且小矩形到矩形的边宽相等．要使游戏对双方公平，则边宽x应为多少cm？
【答案】（1）游戏对双方不公平．（2）边宽x为10cm时，游戏对双方公平．
【解析】（1）根据几何概率的求法：小红获胜的概率就是阴影部分面积与总面积的比值，小明获胜的概率就是阴影之外的部分面积与总面积的比值即可判断游戏是否公平；
（2）由于游戏公平，则两部分面积相等，由此列出方程求解即可.
解：（1）P（小红获胜）＝，P（小明获胜）＝1-=，
∴游戏对双方不公平；
（2）根据题意可得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝2400
即x2﹣70x+600＝0，∴x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）
∴边宽x为10cm时，游戏对双方公平．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
20．（2019·安徽模拟）现如今，通过“微信运动“发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小华为了了解他的微信朋友圈里大家的“建步走运动“情况，随机抽取了20名好友一天行走的步数，记录如下：
5640
6430
6320
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7325
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
m
D
8500≤x＜9500
2
E
9500≤x＜10500
n
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：m＝ ，n＝ ．
(2)补全频数分布直方图．
(3)根据以上统计结果，第二天小华随机查看一名好友行走的步数，试估计该好友的步数不低于7500步(含7500步)的概率．
【答案】(1)5，1；(2)见解析；(3)25.
【解析】（1）由题干所给数据即可得；
（2）依据以上所得m、n的值即可补全图形；
（3）用C、D、E组的频数和除以数据的总数可得．
解：(1)由题意知，7500≤x＜8500的人数m＝5，9500≤x＜10500的人数n＝1，
故答案为：5，1；
(2)补全频数分布直方图如下：
(3)估计该好友的步数不低于7500步(含7530步)的概率为5+2+120=25．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
