(共42张PPT)
初中已学过命题的知识，那么请大家判断一下，下列句子是不是命题？
（1）3能被2整除.
（2）今天天气真好!
（3）两个全等三角形的面积相等.
下面让我们进入今天的学习
由上面的语句，我们可以知道，句子（1）（3）是陈述句，且能判断句子的对错（句子（1）的说法是错的，句子（3）的说法是正确的)，而句子（2）是感叹句.所以要想判断它们是否是命题，首先应知道命题有什么特点.
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?
（1） 若直线a//b，则直线a和直线b没有公
共点；
（2） 2+4=7;
（3） 垂直于同一平面的两条直线平行;
（4）若x2=1,则x=1.
从上面的语句我们可以看出，他们的特点是：
其中语句（1）（3）判断为真，语句（2）（4）判断为假.
命题:指用语言、符号或式子表达的，可以
判断真假的陈述句；该命题可以取一
个值， 称为真值.
真值只有“真”和“假”两种,分别用“T”(或“1”)和“F”(或“0”)表示.
下面的语句是什么语句，是命题吗？
（1） 7是23的约数吗?
（2）立正！
（3）画线段AB=CD;
（4） x>5;
由上可知，“一个人说：‘我正在说谎’ ”这句话是不能判断真假的陈述语句，所以是非命题，此类句子叫悖论.
一个人说：“我正在说谎”，是否为命题？
分析
情况一：如果他是说谎(命题为T），则他是讲真话.(∵他认为他是说谎，∴他实际上是在说真话).
情况二：如果他讲真话(命题为F），则他是在说谎.(如果他讲真话，则他说的是真的，也就是他是在说谎).
∴此话既不是说谎也不是讲真话，不能判断它的真假值.
（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．
（2）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．
判断下列语句是否是命题.
分析
这两条语句都是能判断真假的陈述句，则他们都属于命题，不管判断的结果是对的还是错的.
从上面的例子，我们可以看到命题的两种情况，即有些命题的结论是正确的，而有些命题的结论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题．
真命题：判断为真的语句，即真
值为“T” 或“1”的语句 .
假命题：判断为假的语句，即真值
为“F”或 “0”的语句 .
判断下面语句是否是命题？哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）空集是任何集合的子集;
（2）若整数a是素数，则a是奇数；
（3）指数函数是增函数吗？
（4）x>15;
上面4个语句中，（3）不是陈述句，所以它不是命题；（4）虽然是陈述句，但因为它不能判断真假，所以它也不是命题.
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件.
以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？
例如：定理“若三角形的三边相等，则此三角形为等边三角形”有什么特点?
（由条件和结论两部分构成）
一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成，当然一个命题同样由这两部分构成.
在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式.
通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
例如：命题“若整数a是素数，则a是奇数.”具有“若p则q”的形式.
（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；
解：（1）条件p : 整数a能被2整除，
结论q ：a是偶数；
解：（2）条件p : 四边形是菱形，
结论q ：对角线互相垂直平分.
（2）若四边形是菱形，则它的对角线互
相垂直平分.
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行.
将下句化成若p，则q的形式.
分析
命题（1）不是“若p，则q”的形式，需清楚地分清：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“结论”.
“若p，则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式.
例如上例，可以改写为：“如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行”或“只要两个平面垂直于同一条直线，就有这两个平面平行”.
将下句化成若p，则q的形式.
（1）a>0时，函数y=ax+b的值随x的增加而增加.
解：
此命题的“若p，则q”的形式为：a>0时，若x增加，则函数y=ax+b的值随之增加.或: 当x增加时，若a>0，则函数y=ax+b的值也增加.
命题的定义：
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
2. 命题可以分成两类：真命题和假命题.
真命题：判断为真的语句，即真值为
“T” 或“1”的语句.
假命题：判断为假的语句，即真值为“F”
或 “0”的语句 .
3、判断一语句是否为命题的依据是：
陈述句
可以判断真假
4、在“若p，则q”的形式的命题中，p为
命题的条件，q为命题的结论.
A
【解析】由 得 x=y ；而由x2=1得 ；由x=y, 不一定有意义；而x=y得不到x2=y2 ，故选A.
1.填空题
（1）命题“1+2=4”为______命题.
（2）命题“三条边相等的三角形为等边三角形”的条件p为____________________，结论q为_____________________.
假
若三角形三条边相等
这个三角形为等边三角形
2.选择题
（1）下列为真命题的是（ ）
A.a>b
B.四条边相等的四边形为正方形
C.1+2=3
D.今天天气真好！
C
（2）将命题“对顶角相等”化成“若p，则q的形式”为（ ）
A. 条件p：两个角是相等的角
结论q：它们是对顶角
B. 条件p：两个角
结论q：对顶角相等
C. 条件p：若有两个角
结论q：它们相等
D. 条件p： 两个角是对顶角
结论q： 它们相等
D
（1） 判断命题“今天天气很好.”是否为命题，如果不是请说明理由.
3.解答题
解：不是.因为成为命题要满足两个条件：a.是陈述句 b.可以判断真假.此命题虽然为陈述句，但无法判断真假，所以它不是命题.
（2）将命题“四条边都相等的四边形为菱形.”化成“若p，则q”的形式.
解：若四边形的四条边都相等，则这个四边形为菱形.
（3）将命题“两条对角线不相等的平行四边形不是矩形”转化成 “若p，则q”的形式.
解：若一个平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.
1. 略.
2.（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.
3.（1）若三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.
（2）若函数是偶函数，则这个函数的图像关于y轴对称.这是真命题.
（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.
(共39张PPT)
命题“若p，则q”反映条件p对于q的因果关系，
（1）把条件和结论换位，即“若q，则p” ；
（2）把条件和结论否定，即“若┐p，则┐q”;
（3）把条件和结论换位后在分别否定，即“若 ┐q，则┐p”
大家能说出以上（1）（2）（3）小题，转换后的命题是什么命题吗？
例如：
命题“若一个三角形三边相等，则这个三角形是等边三角形”将它们转换成以上三个小题的形式.
（1）若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三条边相等.
（2）若一个三角形的三条边不相等，则这个三角形不是等边三角形.
（3）若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三条边不相等.
这样的三种命题是我们将要学习的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”.
下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样两个命题叫做互逆命题 .其中一个命题叫原命题，另一个叫原命题的逆命题.
互逆命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆命题：若q ，则p
例如上述的命题（1）和命题（2）是互逆命题，若我们把命题（1）称作原命题，那么命题（2）称作，命题（1）的逆命题.
写出下列命题的逆命题：
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
要写出一个命题的逆命题，必须弄清它的条件和结论，即将此命题转化成“若p，则q”的形式，再交换条件和结论.
分析
命题（1）易改成“若p，则q” ，而命题（2），需要弄清它的条件和结论，可改写成：“若一个数为正数a的平方根，则这个数不等于0”，交换它们的条件和结论，便得到相应的逆命题.
解：
（1）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面.
（2）如果一个数不等于0，那么这个数是正数a的平方根.
对于观察与分析中命题（1）和命题（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.
为了书写简便，我们常常把条件p的否定和结论q的否定，分别记作“┐p”和“┐q”，读作“非p”和“非q”.
互为否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
否命题：若┐p，则┐q.
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的否命题：
要写出一个命题的否命题，只需将其此命题的条件和结论进行否定.
解：
（1）如果两条直线不垂直于同一个平面，那么这两条直线不平行.
（2）如果一个数不是正数a的平方根，那么这个数等于0.
否命题与命题的否定的区别：
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件.
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q .
命题的否定: 若 p ，则┐q .
在观察与分析中的命题（1）和命题（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题.
互为逆否命题的表示为：
原命题：若p，则q；
逆否命题：若┐ q ，则┐ p
（1）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
（2）正数a的平方根不等于0 .
写出下列命题的逆否命题：
要写出一个命题的逆否命题，首先将此命题化成逆命题，再将其逆命题化成否命题，从而得到一个命题的逆否命题.
分析
由例题1，我们可以得到这两个命题的逆命题 ，然后将它们的条件和结论进行否定，便得到相应的逆否命题.
解：
（1）如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一个平面.
（2）如果一个数等于0，那么这个数不是正数a的平方根.
1. 逆命题：
交换原命题的条件和结论，所得的命题.
2. 否命题：
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题.
3. 逆否命题：
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题 .
4. 四种命题的形式：
原命题：若p，则q．
则：
逆命题：若q，则p．
否命题：若￢p，则￢q
逆否命题：若￢q，则￢p．
1. （2019年重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个数的平方是正数，则它是负数”.
B
2. （2015年江苏模拟）命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为______________________.
若a<=b，则2a<=2b-1
解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a<=b，则2a<=2b-1 .
3.（2017重庆理）命题“若x2<1,则-1A.若x2 ≥ 1，则x ≥ 1;
B.若-1C.若x>1或x<-1,则x2>1;
D.若x ≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1
D
解析：交换原命题的条件和结论，并且同时
否定，所得的命题，因此答案为D.
（1）命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆命题是___________
_____________________________________逆否命题_____________________________
__________________否命题____________
________________________________．
1.填空题
若△ABC的任
何两个内角不相等，则它不是等腰三角形
若△ABC的任何两个内角相等，则
它是等腰三角形
若△ABC是等腰
三角形，则它的任何两个内角相等
（2）命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是_____________________________逆命题是_____________________________.它是 命题（“真”或“假”）.
若x2+2x+q=0没有实根，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1
真
（1）命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的（ ）
A．逆命题．
B．否命题．
C．逆否命题．
D．以上判断都不正确
2.选择题
A
（2）命题“若A∩B=A则A∪B=B”的逆否命题是（ ）
A．若A∪B=B则A∩B=A；
B．若A∩B≠A则A∪B≠B；
C．若A∪B≠B则A∩B≠A；
D．若A∪B≠B则A∩B=A．
C
3.解答题
（1）写出 命题“两条平行线不相交 ”的逆命题，否命题、逆否命题 .
解：逆命题：若两条直线不相交，则这两条
直线平行；
否命题：若两条直线不平行，则这两条
直线相交；
逆否命题：若两条直线相交，则这两条
直线不平行．
（2）将命题“锐角的余角是钝角 ”改写成“若p则q”的形式，并写出其否命题，逆命题，逆否命题．
解： “若p则q”的形式为：若一个角是锐角，则它的余角是钝角.
逆命题：若一个角的余角是钝角，则这个角是锐角；
否命题：若一个角不是锐角，则这个角的余角不是钝角；
逆否命题：若一个角的余角不是钝角，则这个角不是锐角 .
（3）写出命题“若xy=0，则x、y中至少有一个是0.” 的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假.
解：逆命题：若x、y中至少有一个是0，则
xy=0，这是真命题.
否命题： 若xy ≠0,则x、y没有一个是0，
这是真命题.
逆否命题：若x、y没有一个是0，则xy ≠ 0，
这是真命题.
(共39张PPT)
观察下面四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
经过观察，我们发现（2）（3）是互为逆否命题，（2）（4）是互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.
设命题（1）是原命题，则容易判断，原命题（1）是真命题，它的逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.
那么它们的真假性是否也有一定的关系呢？下面就让我们一起学习和探讨四种命题间的相互关系.
写出命题“到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
逆命题: 角的平分线上的点,到这个角的
两边距离相等. 否命题: 到一个角的两边距离不相等的点,
都不在这个角的平分线上. 逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这
个角的两边距离不相等.
原命题：真命题
逆命题：真命题
否命题：真命题
逆否命题：真命题
写出命题“两个三角形全等,则它们的面积相等”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
逆命题:两个三角形的面积相等，则它们全等.
否命题:两个三角形不全等，则它们的面积不
相等.
逆否命题:两个三角形的面积不相等，则它们
不全等.
原命题：真命题
逆命题：假命题
否命题：假命题
逆否命题：真命题
相等的角是对顶角
写出命题“相等的角是对顶角”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
原命题：假命题
逆命题：真命题
否命题：真命题
逆否命题：假命题
从三个探究，我们可以发现什么规律？你能总结出来吗？
四种命题的相互关系
四种命题的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
由三个探究，我们还可以发现：
原命题与逆命题未必同真假.
原命题与否命题未必同真假.
原命题与逆否命题一定同真假.
原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
四种命题真假性间的关系
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析
如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明.
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.
此处是命题的否定，要区别于否命题.
（1）假设命题的结论不成立 , 即假
设结论的反面成立;
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证 ,
得出矛盾;
（3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定
命题的结论正确.
反设
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可
令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.
1.四种命题的相互关系：
2.四种命题真假性的四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
3.四种命题真假性的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
1. (2018山东文)给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
C
解析：由于原命题与逆否命题同真假性，逆命题与否命题同真假性，所以，原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命题，则逆命题也是假命题.
2. （2016江西理）在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．
②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上）
②
解析：由于逆命题与否命题的真假性相同，那么②的否命题“若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线”是真命题，所以它的逆命题也是真命题.
1.填空题
（1）命题 “ 若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等 ” 的逆否命题是
____________________________________________.它是 命题（“真”或“假”）.
真
若△ABC的任何两个内角相等，则它是等腰
三角形
（2） 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是__________________.
逆命题是_______________________.它是 命题.（“ 真 ”或 “ 假 ” ）
若x2+2x+q ≠0，则q>1
若x2+2x+q=0有实根，则q≤1
真
2.选择题
（1）设原命题：若a+b ≥2，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
A
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．0
D
（1） 命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假．
3.解答题
解：逆命题“已知a，b为实数，若
a2－ 4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解
集.”
否命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋
b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0”
逆否命题“已知a，b为实数，若a2－4b
＜0，则x2＋ax＋b≤0没有非空解集”
原命题，逆命题，否命题，逆否命题均
为真命题．
（3）求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.
(共30张PPT)
在日常生活中，
我们常常用到这个句型：
“如果…那么…”
这是我们在语文学习中最基础的句型，也是是日常交际中必不可少的，
例如：如果今天太阳很大，那么晒在外面
的衣服一定能干.
由此可见…
太阳大是衣服干的其中一个因素，
在数学中称之为：充分条件；
而衣服晒干是太阳大的必然结果，
在数学中称之为：必要条件.
通过这个小小的例子，同学们是否对充分条件和必要条件有了大概的理解呢？
接下来，让我们深入学习“充分条件”和“必要条件”这两个概念.
前面我们讨论了：“若p则q”形式 的命题，其中有的命题为真命题 有的命题为假命题，例如，下列两个命题中： ( 1 )若x＞a?+b?，则x＞2ab. ( 2 )若ab=0，则a=0.
命题(1)为真命题， 命题(2)为假命题 .
一般的说，“若p则q”为真命题，是指由p可以推出q，这时，我们就说由p可推出q，记作： p q. 并且说 p是q的充分条件（ sufficient condition）.
因此：
上面的命题（1）是真命题，
即x>a?+b? ，x>2ab.
所以，
“x>a?+b? ”是“x>2ab”的充分条件；
“x>2ab”是“x>a?+b? ”的必要条件.
下列“若p，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若几何体是球，则几何体的主视图是
圆；
（2）若x为无理数，则x?为无理数.
因此，“若p则q”为真命题，是指由p可以推出q，这时，我们就说由p可推出q，记作： p q. q是 p的必要条件.
必要条件是同学们理解的一个难点，通常可以借助原命题与逆否命题的等价性,帮助理解必要条件.
若原命题是“p推出q”则它的逆否命题是“非p推出非q”，这意味着q成立对于p成立是必要的，例如：
命题“如果x >a2+b2，那么x>2ab ”
是真命题.
（因为a2+b2≥2ab，利用不等式的传递
性可以得到以上结论）
它的逆否命题：
“如果x >2ab不成立，那么x>a2+b2不成立”
也是真命题，换言之，要使“ x > a2 + b2 ”
成立，必须使x>2ab成立.
所以我们说x>2ab是x>a2+b2的必要条件.
如果，“若p，则q ”为假命题，那么由 p推不出q，记作
p q,
此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q不是 p 的必要条件.
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是 p的必要条件？
（1）若某同学踢足球，则某同学参加了球类
活动；
（2）若a>b，则ac>bc.
A． 充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A
“若p则q”为真命题，即由p可推出q，记作： p q. 并且说 p是q的充分条件.
充分条件的概念 ：
必要条件的概念 ：
“若p则q”为真命题，即由p可推出q，记作： p q. 并且说 q是 p的必要条件.
“若p，则q ”为假命题，由 p推不出q， 记作:
p q,
我们就可以说 p不是 q 的充分条件，
q不是 p 的必要条件.
p≠>q :
（19.四川卷理）
已知 a，b，c，d 为实数，且 c>d ，
“ a > b ”是“ a – c > b – d ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
解析1：
a > b推不出a - c > b - d；但 ，故选择B.
解析2：
令 ，则
由 可得 ，因为 ，则 ，所以 .
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
1．已知命题甲为：x>0；命题乙为 x2 > 0，
那么( )
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的充分非必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
B
2．已知条件p：x＋y≠－2，结论q：x、y不都为－1，则 p 是 q 的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分非必要条件
D．必要非充分条件
B
1、设A、B是非空集合，则A∩B＝A是A＝B
的____________________条件． 2、“p或q为真命题”是“p且q为真命题”
的____________________条件．
必要不充分条件
必要不充分
填空题：
解答题：
已知p：x(2x＋3)＝x3，
q：2x＋3＝x2，
试判断 p是q的什么条件，并说明理由．
解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3；
q：x＝－1或x＝3．
∴p推出q而q推不出p．
则 p是q的必要而不充分条件．
(共34张PPT)
通过上节课的学习，我们已经掌握“充分条件” 与 “必要条件”概念及其应用， 这节课我们将结合这两个概念，进一步学习“充要条件”.
本章知识结构如下：
首先来回顾上节课最开始举出的例子
例如：如果今天太阳很大，那么晒在外面
的衣服一定能干.
通过上节课的学习，我们知道：
“太阳大”是“衣服干”的充分条件；
“衣服干”是“太阳大”的必要条件.
因此，一般情况下，“太阳大”能推出“衣服干”，“衣服干”也能推出“太阳大”，所以，“太阳大”与“衣服干”能相互推出，在数学中
就称之为“互为 充要条件 ”.
已知 p：整数a是6的
倍数，q：整数a是2和3的倍数，
那么，p是q的什么条件？
在上述问题中，
p q，所以p是q的充分条件，q是p的
必要条件.
另一方面，
q p，所以p也是q的必要条件，q也
是 p的充分条件.
一般的，如果既有p q，又有q p，就记作
p q.
此时，我们说，p是q的充分必要条件，
简称充要条件（sufficient and necessary condition）.
显然，如果p是q的充要条件，
那么q也是p的充要条件.
概括的说，如果p q，
那么p与q互为充要条件
p：三角形的两个角相等，
q：三角形是等腰三角形；
已知⊙O 的半径为r，圆心O到直
线l的距离为d.
求证：
d = r是直线 l” 与 的相切的充要条件.
如图所示
证明：如图所示.
（1）充分性（p q）：
作OP⊥l于点p则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与
⊙O 仅有一个公共点P.
所以直线l与⊙O 相切.
（2）必要性：（q p）:
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r .
如图所示
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知 a ，b是实数，则“ a > 0且
b > 0 ”是“ a + b > 0且 ab > 0 ”的 ( )
C
（1）p是q的充分条件，q不是p的必要条件
（2）p是q的必要条件，q不是p的充要条件
（3）p是q的充分必要条件
（4）p是q的既非充分又非必要条件
看以下例子：
通过学习，我们可以总结出形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系：
（1）p是q的充分条件，q不是p的必要条件
例如，p：曲线C方程是：x2+y2=r2
q：曲线C是半径为r的圆，
p是q的充分不必要条件
（2）p是q的必要条件，q不是p的充要条件
例如，p:（x-1）(x-2)=0，q：x=1.
p是q的必要不充分条件
（3）p是q的充分必要条件
例如，p：直线l1：a1x+b1y+c1=0与
直线l2：a2x+b2x+c2=0相交，
q：方程组
a1x+b1y+c1=0
a2x+b2x+c2=0
有唯一解.
p是q的充分必要条件
（4）p是q的既非充分又非必要条件
例如，p：y=ax3+bx+c是奇函数，
q：a=0.
p既非q的充分条件
也非q的必要条件
充要条件的概念 ：
形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系 ：
（1）p是q的充分不必要条件
（2）p是q的必要不充分条件
（3）p是q的充分必要条件
（4）p是q的既非充分又非必要条件
（2019安徽卷理）“a+c>b+d”是
“a>b且c>d”的（ ）
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
A
解析：
由“ a>b且c>d ”推出“ a+c >b+d ”,
而由“a+c>b+d”不能推出“a>b且c>d ”.
(2019.陕西卷文)
“m > n”是“方程 mx2 + nx2 > 0 表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
C
解析:
将方程 mx2 + nx2 > 0 转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须
满足 且 ,
故选C.
A
解析:
，
;
反之不一定成立，故选 A .
1．若a、b、c都是实数，p：ac>bc，
q：a > b，那么 p是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0) 有一个正根和负根的
充要条件是( )
A．ab＞0
B．ab＜0
C．ac＞0
D．ac＜0．
D
填空题：
x2 ＞ y2是 x ＞ y的_________________条件．
解答题：
求证：x2 + y2= 0 (x、y均为实数)
的充要条件是x＝0且 y＝0．
既不充分也不必要
(共33张PPT)
在数学中，有时会使用一些联结词
“且”“或”“非”，
在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达和用法在数学中的含义和用法不尽相同.
本章中主要学习三个逻辑联结词，知识结构如下：
数学中的“且”同于语文中的“而且”
例如：鲁迅不仅是文学家而且是革命家.
在数学中不过是把句子拆开了，
并赋予了一些符号，如下：
p：鲁迅是文学家
q：鲁迅是革命家
p∧q：鲁迅不仅是文学家而且是
革命家.
然而…
判断这句话真假的方法也相同.
显然，在数学上，逻辑性显得更强.
因为，特定的逻辑连接词和清晰的
逻辑思维把它们诠释的更为严密.
p：鲁迅是文学家
q：鲁迅是革命家
：鲁迅不仅是文学家而且是革命家.
这句话中p为真，q为真，
就说明这句话是对的.
同学们体会到数学的逻辑性了吗？ 接下来，就让我们深入学习数学中
简单的逻辑联结词“且”吧…
下列三个命题间有什么关系?
(1) 12能被3整除;
(2) 12能被4整除;
(3) 12能被3整除且能被4整除.
可以看出…
命题（3）是由 命题（1）和（2）用联结词“且”连接起来的.
一般地,用逻辑联结词 “且”把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到一个新命题,记作：
读作“ p且 q ”.
然而…
命题 p ∧ q 的真假如何确定呢？
当p，q都是真命题时，
是真命题;
当p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，
是假命题.
一假必假
规 定 :
（1）（2）是真命题，所以（3）是真命题
因此 中的三个命题
(1) 12能被3整除;
(2) 12能被4整除;
(3) 12能被3整除且能被4
整除.
用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断其真假.
（1） p：函数y=x3是奇函数；
q：函数y=x3是减函数.
（2） p：三角形三条中线相等；
q：三角形三条中线交于一点.
（3） p：相似三角形的面积相等；
q：相似三角形的周长相等.
（1） p：函数y=x3是奇函数；
q：函数y=x3是减函数.
（2） p：三角形三条中线相等；
q：三角形三条中线交于一点.
（3） p：相似三角形的面积相等；
q：相似三角形的周长相等.
（1） p：平行四边形的对角线互相平分，
q：平行四边形的对角线相等.
（2） p：菱形的对角线互相垂直，
q：菱形的对角线互相平分.
（3） p：35是15的倍数，
q：35是7的倍数.
将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：
（1） p：平行四边形的对角线互相平分，
q：平行四边形的对角线相等.
（2） p：菱形的对角线互相垂直，
q：菱形的对角线互相平分.
（1） p：35是15的倍数
q：35是7的倍数
用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：
（1） 1既是奇数，又是素数；
（2） 2 和 3 都是素数.
（1） 1既是奇数，又是素数；
（2） 2 和 3 都是素数.
逻辑联结词 “且” :
读作：p且q
“且”的概念 ：
“且”的判断方法 ：
命题 p ∧ q 用真值表表示如下：
命题p 命题q 命题p ∧ q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
1．下列说法正确的有_______个．[ ]
①a≥0是指a＞0且a＝0
②x2≠1是指x≠1且x≠－1
③x2≤0是指x=0
④x·y≠0是指x，y不都是0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
2．由下列各组命题构成“p或q”，
“p且q”，“非p”形式的复合命题 中，
“p或q”为真，p且q为假，非p
为真的是[ ]
A．p：3是偶数；q：4是奇数
B．p：3＋2＝6；q：5＞3
B
填空题：
命题“非空集 A∩B 中的元素既是A
中的元素，也是 B 中的元素” 是
________的形式．
p且q
解答题：
不仅这些文学作品艺术上有缺点，
而且政治上有错误.
p且q形式的复合命题是？
解：p且q形式的复合命题；
p：这些文学作品艺术上有缺点
q：这些文学作品政治上有错误．
(共31张PPT)
本章中主要学习三个逻辑联结词，知识结构如下：
数学中的“或”同于语文中
的“或者”“要么”…
例如：假期很长，我要么去旅游，
要么打工.
在数学中不过是把句子拆开
了，并赋予了一些符号，如下：
p：我去旅游
q：我去打工
：假期很长，我旅游或者打工.
然而…
判断这句话真假的方法也相同.
显然，在数学上，逻辑性显得更强.
因为，特定的逻辑连接词和清晰的
逻辑思维把它们诠释的更为严密.
p：我去旅游
q：我去打工
：假期很长，我旅游或者打工.
这句话中 p 和 q其一为真，就说明这句话是对的.
同学们体会到数学的逻辑性了吗？接下来，就让我们深入学习数学中
简单的逻辑联结词“且”吧…
下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数;
(2)27是9的倍数;
(3)27是7的倍数或是9的倍数.
可以看出…
命题（3）是由 命题（1）和（2）用联结词“或”连接起来的.
一般地,用逻辑联结词 “或”把命题 p 和命题 q 联结起来.就得到一个新命题,记作：
读作“ p或 q ”.
p ∨ q
然而…
命题 p ∨ q 的真假如何确定呢？
规 定 :
当p，q都是真命题时，
p ∨ q 是真命题;
当p，q 两个命题都是假命题时，
p ∨ q 是假命题.
一真必真
判断下列命题的真假：
(1) 2≤2;
(2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B
的子集;
(3) 周长相等的两个三角形全等或
面积相等的两个三角形全等.
(1) 2≤2;
(2) 集合A是 A∩B的子集或A∪B的子集;
(3) 周长相等的两个三角形全等或面积
相等的两个三角形全等.
如果p ∧ q为真命题，那么p ∨ q 一定
是真命题吗?
反之，如果p ∨ q为真命题，那么
p ∧ q一定是真命题吗?
想一想?
p ∨ q 比 p ∧ q
更容易犯逻辑错误，
看下面例子：
已知下面两个命题：
p：能被5整除的整数的个位数一定为5；
q：能被5整除的整数的个位数一定为0.
p ∨ q表述为：（ ）
A：能被5整除的整数的个位数一定
为5或者0.
B：能被5整除的整数的个位数一定
为5或一定为0.
B
因为p 和 q都是假命题，
所以p ∨ q一定是假命题，
而 A 的表述明显是真命题，
因此正确答案是 B .
分析：
“或”的概念 ：
逻辑联结词 “或” :
p ∨ q 读作：p或 q
“或”的判断方法 ：
当p，q都是真命题时，
p ∨ q是真命题;
当p，q 两个命题中都是
命题是假命题时，
p ∨ q是假命题.
命题 p ∨ q 用真值表表示如下：
命题p 命题q 命题p ∨ q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
1．命题“方程 x2－1＝0的解是x=±1”
中使用逻辑联结词的情况是[ ]
A．没有使用逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
B
2．复合命题s具有p或q的形式，
已知p且r是真命题，那么s是
[ ]
A
A．真命题
B．假命题
C．与命题q的真假性有关 D．与命题r的真假性有关
1．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：
命题“非空集A∪B中的元素是A中的
元素或B中的元素”
是________的形式．
p或q
2. p：菱形的对角线互相垂直，
q：菱形的对角线互相平分
p或q形式的复合命题是
______________________________
菱形的对角线互相垂直或互相平分.
3．指出 3≥3 的复合命题形式及构成该复合命题的简单命题，并判断此复合命题的真假．
解：p 或 q形式的复合命题：
p：3＞3为假，
q：3=3为真．
此复合命题为真.
(共31张PPT)
通过上节课的学习，我们学会了“且”“或”这两个逻辑联结词的用法，及用它们来判断命题的真假.
这节课我们以同样的方法来引导大家来学习本章的最后一个联结词“非”.
首先来回顾下本章的知识结构：
本章中主要学习三个逻辑联结词，知识结构如下：
数学中的“非”同于语文中的“不是”，
例如：三亚不是辽宁省的.
在数学中不过是把句子拆开了，并赋予了一些符号，如下：
p：三亚是辽宁省的.
┐p：三亚不是辽宁省的.
然而，判断这句话真假是大家再熟悉不过的了.
接下来，就让我们深入学习，数学中的“非”是如何加强证明题中的逻辑性的.
下列命题间有什么关系?
(1) 35能被5整除;
(2) 35不能被5整除.
可以看到…
命题（2）是 命题（1）的否定.
一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作：
读作 “非 p ”或者“ p 的否定”.
此处命题的否定与1.1.2中否命题的区别.
然而…
命题┐p的真假如何确定呢？
规 定 :
若p是真命题，
则 ┐p 必是假命题;
若p是假命题，
则 ┐p 必是真命题.
你真我假
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
肯定 = > 是 都是
否定 ≠ ≤ 不是 不都是
肯定 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定 至少有两个 没有一个 某个 某些
写出下列命题的否定，
并判断它们的真假:
（1）p：y=sin x是周期函数；
（2）p：3<2；
（3）p：空集是集合A的子集.
（1）p：y = sin x是周期函数；
（2）p：3<2；
（3）p：空集是集合A的子集.
（1）p: π 是无理数 ;
（2）p: 等腰三角形的两个底角相等;
（3）q: 等腰三角形底边上的高和底
边上的中线重合.
写出下列命题的否定，
并判断它们的真假:
（1）p: π 是无理数 ;
（2）p: 等腰三角形的两个底角相等;
（3）p：等腰三角形底边上的高和底
边上的中线重合.
对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题：
┐p
读作 “非 p ”或者“ p 的否定”.
“非”的概念 ：
若p是真命题，
则 ┐p 必是假命题;
若p是假命题，
则 ┐p 必是真命题.
“非”的判断方法 ：
“非”命题对常见的几个正面词语的否定
肯定 = > 是 都是
否定 ≠ ≤ 不是 不都是
肯定 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的
否定 至少有两个 没有一个 某个 某些
1．如果命题“ p或 q”与命题 “ 非 p”
都是真命题，那么[ ]
A．命题 p不一定是假命题
B．命题 q不一定是真命题
C．命题 q一定是真命题
D．命题 p与命题 q真值相同
C
1．解析：
由“非p”为真知p为假，
又因为“p或q”为真，
故q一定是真，
否则“p或q”为假故选C．
2．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是
假命题，那么（ ）
A.命题“非p”与命题“非q”的真值不同
B.命题p与命题“非q”的真值不同
C.命题q与命题“非p”的真值不同
D.命题“非p且非q”是真命题
D
2. 解析：由题意“p或q”是假命题，
∴ p是假命题，q是假命题 .
∴ “非p且非q”是真命题.
故选D.
1．用“p或q”、“p且q”、“非p”填空：
命题“CIA中的元素是I中的元素但不是
A中的元素”是________的形式．
2．p：菱形的对角线互相垂直，
q：菱形的对角线互相平分
非p形式的复合命题
是_______________________.
非p
菱形的对角线不互相垂直
填空题
1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、
“p且q”、“非p”命题的真假.
（1）p：正多边形有一个内切圆；
q：正多边形有一个外接圆；
解答题
解：（1）∵p真、q真，
∴p或q真；p且q真；非p假.
解： （2）∵p假、q真，
∴p或q真；p且q假；非p真.
（2）p：角平分线上的点到角两边距离不相等；
q：线段中垂线上的点到线段的两端点等距；
2．分别指出下列复合命题的形式及构成后的简单命题，并判断此复合命题的真假．
(1)方程x2＋2x＋3=0没有实根
解 ：(1)非p形式的复合命题：
方程x2＋2x＋3=0有实数根．
此复合命题为真．
