江苏省常州市教育学会2018-2019学年第二学期学生学业水平监测高一数学2019．6

常州市教育学会学生学业水平监测
高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．掷一枚质地均匀的硬币，连续出现5次正面向上，则第6次出现反面向上的概率（　　）
A．大于 B．等于
C．小于 D．以上都有可能
2．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为（　　）
A．45 B．15 C．12 D．27
3．在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知sin A：sin B：sinC＝2：3：4，那么△ABC最小内角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（　　）
A． B．π C． D．（）π
7．已知一个正四棱锥的所有棱长都为1，则此四棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．平行直线ax+2y﹣3＝0和2x+ay+1﹣2a＝0之间的距离为（　　）
A． B．2 C．2 D．
9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m?α，m⊥β，则α⊥β；
②m?α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；
③若m?α，n?β，α∥β，则m∥n；
④m∥α，m?β，α∩β＝n，则m∥n．
上述说法中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中，错误的是（　　）
A．AC⊥SB
B．BC∥平面SAD
C．SA和SC与平面SBD所成的角相等
D．异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+4＝0与直线l2：x+ky﹣3＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x﹣3y+10＝0的距离的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是　 　．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sinB＝　 　．
15．已知直线l过点（1，0）且与直线x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）2+（y）2＝12交于A，B两点，则弦AB的长为　 　．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x+m和圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．若直线l上存在点P，使?0，则实数m的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，在平面四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，DA，A，∠DBA．
（1）求BD的长：
（2）求△BCD的面积．

18．箱子中有形状、大小都相同的3只红球，2只白球，从中一次摸出2只球．
（1）求摸到的2只球颜色不同的概率：
（2）求摸到的2只球中至少有1只红球的概率．
19．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F为CE的中点，且AE⊥BE．
（1）求证：AE∥平面BFD：
（2）求证：BF⊥AE．

20．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．
（1）求图中实数a，b的值；
（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；
（3）总公司规定，若4S店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S店是否需要停业整顿．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（3，4），AB边上中线CD所在直线方程为2x+3y﹣11＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣3y+7＝0，求：
（1）顶点C的坐标：
（2）求△ABC外接圆的方程．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．
（1）若PM⊥PN，求点P坐标；
（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；
（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．



一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．B
2．A
3．C
4．C
5．C
6．A
7．C
8．A
9．B
10．D
11．D
12．B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13． 0.1．
14．
15． 6．
16．圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4的圆心C（2，1），
设P（x，x+m），
?0即为（﹣x，﹣x﹣m）?（2﹣x，1﹣x﹣m）≤0，
可得x2﹣2x﹣x﹣m+（x+m）2≤0，
化为2x2﹣（3﹣2m）x+m2﹣m≤0，
由题意可得△≥0，即（3﹣2m）2﹣8（m2﹣m）≥0，
化为4m2+4m﹣9≤0，
解得m．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）在△ABD中，DA，A，∠DBA．
可得，
即有BD7；
（2）在△BCD中，BC＝3，DC＝5，BD＝7，
可得cosC，
sinC，
可得△BCD的面积为SBC?DC?sinC3×5．
18．（1）箱子中有形状、大小都相同的3只红球，2只白球，从中一次摸出2只球．
基本事件总数n10，
摸到的2只球颜色不同包含的基本事件个数m6，
∴摸到的2只球颜色不同的概率p．
（2）摸到的2只球中至少有1只红球包含的基本事件个数m′9，
∴摸到的2只球中至少有1只红球的概率p．
19．证明：（1）以E为原点，EB为x轴，EA为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设BE＝a，AE＝b，AD＝c，
则A（0，b，0），E（0，0，0），F（），B（a，0，0），D（0，b，c），
（0，﹣b，0），（，0，），（﹣a，b，c），
设平面BDF的法向量（x，y，z），
则，取x＝c，得（c，0，a），
∵AE?平面BDE，0，
∴AE∥平面BFD．
（2）∵（0，﹣b，0），（，0，），
∴?0，
∴BF⊥AE．
20．（1）由题意得：，
解得a＝0.05，b＝0.15．
（2）所打分值在[6，10]的频率为（0.175+0.15）×2＝0.65，
∴所打分值在[6，10]的客户人数为：0.65×100＝65．
（3）由题意得该4S店平均分为：
1×0.025×2+3×0.05×2+5×0.1×2+7×0.175×2+9×0.15×2＝6.5，
∵6.5＜7，
∴该4S店需要停业整顿．
21．（1）∵AC⊥BH，BH的方程为x﹣3y+7＝0，不妨设直线AC的方程为3x+y+m＝0，
将A（3，4）代入得9+4+m＝0，解得m＝﹣13，
∴直线AC的方程为3x+y﹣13＝0，
联立直线AC，CD的方程，即，
解得点C的坐标为（4，1）；
（2）设B（x0，y0），则D（，），
∵点B在BH上，点D在CD上，
∴，解得B（﹣1，2），
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0．
∴，解得，E，F．
∴△ABC外接圆的方程为7x2+7y2﹣22x﹣26y﹣5＝0．
22．（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，
则P到圆心的距离为，
∵P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4）
故|OP|，解得x＝﹣2，
故P（﹣2，2）；
（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，
过P作圆的切线PC，PD，∴∠CPD≥600，∴∠CPO≥300，
在直角三角形△CPO中，∵300≤∠CPO＜900，∴sin∠CPO＜1，
即1，∴2＜OP≤4，
∴24，解得﹣4≤x≤0，
∴点P的横坐标的取值范围为：[﹣4，0]；
（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，
化简得，与x2+y2＝4联立，
可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，
联立，得，
∴Q的坐标为（，），
可得：Q点的轨迹为：，圆心C（，），半径R．其中原点（0，0）为极限点（也可以去掉）．
由题可知T（﹣4，0），∴|TC|．
∴|TQ|≤|TC|+R＝3．
∴线段TQ长的最大值为3．