沪科版数学八年级（上）《第14章 全等三角形》单元试题（一）及解析

沪科版数学八年级（上）《第14章全等三角形》单元试题（一）及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有(????)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
下面能判断两个三角形全等的条件是(????)
A. 有两边及其中一边所对的角对应相等 B. 三个角对应相等C. 两边和它们的夹角对应相等 D. 两个三角形周长相等
已知△ABC≌△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为(????)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不能确定
如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(????)
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙
如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌的理由是(????)
A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边
如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的根据是(????)
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED成立的条件有(? ? ?)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．上述结论中，正确结论的个数有(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(????)
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是(????)
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=______．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．
如图，正方形ABCD中，把△ADE绕顶点A顺时针旋转90°后到△ABF的位置，则△ADE≌ ______ ，AF与AE的关系是______ ．
如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=______度．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
如图：点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，DE=FC．求证：(1)△ADE≌△BCF；(2)AE//BF．

如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD．(1)若AB=10，BC=6，求中线BD的取值范围；?(2)若AB=8，BD=6，求BC的取值范围．

如图，已知在△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，连接CD并延长至G，使CD=DG，连接AG；延长BE至F，连接AF，使BE=EF.求证：AG=AF．

如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．

在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

如图，已知等边△ABC，D、E分别在?BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交于F点．求证：∠AFE=60°．

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B=180°． (1)求证：BC=CD；(2)2AE=AB+AD．
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD?BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①中能够完全重合的图形叫做全等形，正确；②中全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③全等三角形的周长相等、面积相等，也正确；④中所有的等边三角形角都是60°，但由于边不相等，所以不能说其全等，④错误；⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形，⑤中说法错误；故选：C．理清全等形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．2.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析可得答案．【解答】解：A.有两边及其中一边所对的角对应相等不能证明两个三角形全等，故此选项错误；B.三个角对应相等不能证明两个三角形全等，故此选项错误；C.根据SAS定理可判定两个三角形全等，故此选项正确；D.两个三角形周长相等不能证明两个三角形全等，故此选项错误；故选C．3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等．根据全等三角形的对应边相等求解即可．【解答】
解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=4．故选A．
4.【答案】B
【解析】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；故选：B．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查全等三角形判定的应用，根据已知条件可用边角边判断出全等是关键．因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS．【解答】解：∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，，，，∴△AOB≌．所以AB的长等于内槽宽，用的是SAS的全等三角形判定．故选A6.【答案】B
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以有AD=AB，AC=AE，又因为∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以∠DAC=∠BAE，故可根据SAS判定△ADC≌△ABE．【解答】解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，∴△ADC≌△ABE(SAS)．故选B．7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.解题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加.∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选B．8.【答案】D
【解析】解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D．利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．9.【答案】C
【解析】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．10.【答案】C
【解析】解：∵∠B=45°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点D为BC中点，∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE=90°，∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，∴∠ADF=∠BDE，在△BDE和△ADF中，∠CAD=∠B?AD=BD?∠ADF=∠BDE?，∴△BDE≌△ADF(ASA)，故③正确；∴DE=DF、BE=AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵AE=AB?BE，CF=AC?AF，∴AE=CF，故②正确；∵BE+CF=AF+AE∴BE+CF>EF，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③；故选：C．根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD=∠B=45°，根据同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE=CF，判断出②正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF，判断出④错误．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．11.【答案】45°
【解析】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE，(对顶角相等)∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠CAD=∠FBD∠BDF=∠ADCBF=AC，∴△ADC≌△BDF(AAS)，∴BD=AD，又∵AD⊥BC，∴∠ABC=∠BAD=45°．故答案为：45°．根据三角形全等的判定方法，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，进而得出∠ABC=∠BAD=45°．此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，寻求所需的条件．12.【答案】5或10
【解析】解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①当AP=5=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中AB=PQBC=AP∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)，②当AP=10=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中AB=PQAC=AP∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)，故答案为：5或10．当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．13.【答案】△ABF；AE与AF相等且互相垂直
【解析】证明：∵△ABF是△ADE绕顶点A顺时针旋转90°后得到的，∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，∴AE与AF相等且互相垂直．故答案为：△ABF，AE与AF相等且互相垂直．由于△ABF是△ADE绕顶点A顺时针旋转90°后得到的，那么有△ADE≌△ABF，从而得AE=AF．本题利用了旋转的性质，一个图形旋转后所得的图形与原三角形全等、全等三角形的判定和性质．14.【答案】135
【解析】解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，∴∠1+∠3=90°，又∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°．根据对称性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．15.【答案】证明：(1)∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△ADE和△BCF中AE=BFAD=BCDE=FC ∴△ADE≌△BCF(SSS)； (2)∵△ADE≌△BCF，∴∠A=∠B，∴AE//BF．
【解析】(1)求出AD=BC，根据SSS推出两三角形全等即可；(2)根据全等三角形的性质求出∠A=∠B，根据平行线的平行得出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，能求出△ADE≌△BCF是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．16.【答案】解：(1)如图，延长BD至E，使BD=DE，连接CE，∵D为AC中点，∴AD=DC，在△ABD和△CED中，∵BD=DE∠ADB=∠CDEAD=CD，∴△ABD≌△CED(SAS)，∴EC=AB=10，在△BCE中，CE?BC【解析】本题是求三角形某边的取值范围，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，利用三角形全等将已知的两边和所求取值的边平移到同一三角形中，根据三边关系解决问题．(1)作辅助线，构建全等三角形，证明△ABD≌△CED，得CE=AB，在△BCE中，根据三边关系得解；(2)同理根据三角形三边关系得解．17.【答案】证明：∵D、E分别为AB、AC中点，∴AD=BD，AE=EC，在△ADG和△BDC中，∵AD=DB∠ADG=∠BDCCD=DG，∴△ADG≌△BDC(SAS)，∴AG=CB，同理得：△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AG=BC．
【解析】根据SAS证明△ADG≌△BDC和△AEF≌△CEB，可以得出结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，要熟练掌握全等的判定方法：SSS、ASA、AAS、SAS；在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角和对顶角这此隐含条件的得出，从而顺利证明三角形全等，得出相应结论．18.【答案】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．
【解析】根据等腰三角形的判定可得出AB=FB，根据等边对等角得∠2=∠AFB，再根据外角的性质可得出∠AFB=∠1+∠C，即可得出：∠2=∠1+∠C．本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质，熟记：等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的判定：等角对等边．19.【答案】证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN(角平分线性质)，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°?180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中∠MED=∠DFN∠DME=∠DNFDM=DN，∴△EMD≌△FND(AAS)，∴DE=DF．
【解析】过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．本题考查了全等三角形的判定和角平分线定义的应用，关键是正确作辅助线，进一步推出△EMD和△FND全等，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．20.【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE=60°BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)；∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABD，∴∠BFD=∠ABD=∠AFE=60°．
【解析】因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边相等．21.【答案】证明：(1)过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CF=CE，∵∠ADC+∠CBE=180°，∠ADC+∠FDC=180°，∴∠CBE=∠FDC，在△FDC和△EBC中， ∴△FDC≌△EBC(AAS)，∴CD=BC；(2)∵△FDC≌△EBC，∴DF=BE，在Rt△AFC和Rt△AEC中，∵AC=ACCF=CE，∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)，∴AF=AE，∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE．
【解析】(1)过C作CF⊥AD于F，根据角平分线的性质得：CF=CE，根据AAS证明△FDC≌△EBC可得结论；(2)由(1)中的全等得：DF=BE，证明Rt△AFC≌Rt△AEC，得AE=AF，根据线段的和与差得出结论．本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，注意利用角平分线性质时，必须是到角两边的垂线段相等，本题是常考题型，难度不大，在证明线段的和与差时，要将线段根据图形中分成和与差，利用全等三角形的对应边相等作等量代换，从而得出结论．22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD； (2)证明：在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE?CD=AD?BE； (3)DE=BE?AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD?CE=BE?AD．
【解析】(1)由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．(2)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE?CD=AD?BE．(3)DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE?AD.证明的方法与(2)相同．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．