2020年春人教版八下数学同步练习
16.3.2 二次根式的混合运算（打印版）
基础知识梳理练
1.二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样,先算乘方和开方,再算乘除法,最后算加减法;如果有括号,就先算括号里面的.
2.整式的乘除法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用.
3.实数的运算律对二次根式的运算同样适用.
教材要点分类练
知识点 二次根式的混合运算
4.(导学号:40732059)计算(12?3)÷3的结果是 (D)
A.-1 B.-3 C.3 D.1
5.(导学号:40732060)化简(3-2)2 019·(3+2)2 020的结果为(D)
A.-1 B.3-2
C.3+2 D.-3-2
6.(导学号:40732061)计算:(23+3)(23-3)=3.
7.(导学号:40732062)计算:
(1)6×2+24÷3?48;
(2)248-418?12;
(3)72+612?50÷8;
(4)(548-627+415)÷3;
(5)(23?2)(3+2);
(6)(3-1)2-(2?3)(2+3).
解:(1)6×2+24÷3?48
=3×2×2+4×2×3÷3-43
=23+22-43=22-23.
(2)248-418?12=2(43?2-23)
=2(23?2)=26-2.
(3)72+612?50÷8
=(62+32-52)÷22=42÷22=2.
(4)(548-627+415)÷3
=(203-183+415)÷3
=203÷3-183÷3+415÷3
=20-18+45=2+45.
(5)(23?2)(3+2)
=23×3+23×2?2×3?2×2
=6+26?6-2=4+6.
(6)(3-1)2-(2?3)(2+3)
=3-23+1-(2-3)=5-23.
能力提升创新练
8.(导学号:40732063)已知x=1-5,则代数式(6+25)x2+(1+5)x+5的值是(C)
A.20+5 B.5
C.12+5 D.12-5
9.(导学号:40732064)对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运算※如下:a※b=a×bb-a-1,那么2※6=2.
10.(导学号:40732065)计算:(5?2)(5+2)+(3-1)2.
解:原式=5-2+3-23+1=7-23.
11.(导学号:40732066)已知5-7的整数部分是a,小数部分是b,求a2+(3+7)b的值.
解:∵2<7<3,
∴5-7的整数部分是2,小数部分是3-7.
∴a2+(3+7)b=22+(3+7)(3-7)=4+2=6.
12.(导学号:40732067)化简求值:a+abab+b+ab-ba-ab,其中a=2+3,b=2-3.
解:∵a=2+3>0,b=2-3>0,∴a+b=4,ab=1.
∴a+abab+b+ab-ba-ab
=a(a+b)b(a+b)+b(a-b)a(a-b)
=ab+ba=abb+aba
=a+babab.
当a+b=4,ab=1时,原式=41×1=4.
13.(导学号:40732068)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1170—约1240)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第n个数可以用151+52n-1-52n表示(其中n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
解:第1个数,当n=1时,
=15×1×5=1.
中考考场必刷练
14.(导学号:40732069)(中考·台湾)算式6×13-1之值为何?(A)
A.2?6 B.2-1
C.2-6 D.1
15.(导学号:40732070)(中考·聊城)下列计算正确的是(B)
A.310-25=5
B.711·117÷111=11
C.(75?15)÷3=25
D.1318-389=2
16.(导学号:40732071)(中考·潍坊)用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下,把显示结果输入下面的程序图中,则输出的结果是7.
17.(导学号:40732072)(中考·枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《教书九章》书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式.即:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222,已知△ABC的三边长分别为5,2,1,则△ABC的面积为1.
18.(导学号:40732073)(中考·陕西)计算:(-3)×(-6)+|2-1|+(5-2π)0.
解:原式=32+2-1+1=42.
专题一 二次根式的定义及其性质
1.(导学号:40732074)下列各式一定是二次根式的是 (C)
A.-2 019 B.3x
C.x2+1 D.x+2 020
2.(导学号:40732075)下列根式不是最简二次根式的是(C)
A.ab B.xy C.16 D.14
3.(导学号:40732076)在下列二次根式中,x的取值范围是x>3的是(D)
A.3-x B.x+3
C.x-3 D.1x-3
4.(导学号:40732077)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简(a-1)2?(a-b)2+b的结果是 (A)
A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a
专题二 二次根式的计算
5.(导学号:40732078)计算:
(1)48÷3?12×12+24;
(2)48+1412÷27;
(3)5+323(52-23);
(4)(22-1)(22+1)-(32-1)2.
(3)5+323(52-23)
=252-103+1543-62
=252-103+103-62=192.
(4)(22-1)(22+1)-(32-1)2
=(22)2-12-[(32)2-62+1]
=8-1-(18-62+1)
=8-1-18+62-1=62-12.
专题三 二次根式的应用
6.(导学号:40732079)交警通常根据刹车后车轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度,所用的经验公式是v=16df.其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车距离(单位:m),f表示摩擦系数.在一次交通事故中,测得d=20 m,f=1.44,而发生交通事故的路段限速为80 km/h,肇事汽车是否违规超速行驶?请说明理由.(参考数据:2≈1.4,5≈2.2)
解:肇事汽车违规超速行驶.理由如下:
把d=20,f=1.44代入v=16df,得
v=1620×1.44=16×2.4×5≈38.4×2.2=84.48(km/h).
∵84.48 km/h>80 km/h,
∴肇事汽车违规超速行驶.
7.(导学号:40732080)如图,有一张边长为62 cm的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,制作一个有底无盖的长方体盒子,剪掉的四个角是面积相等的小正方形,此小正方形的边长为2 cm.求:
(1)剪掉四个角后,制作长方体盒子的纸板的面积;
(2)长方体盒子的体积.
解:(1)制作长方体盒子的纸板的面积为:
(62)2-4×(2)2=64(cm2).
(2)长方体盒子的体积为:
(62-22)(62-22)×2=322(cm3).
2020年春人教版八下数学同步练习
16.3.2 二次根式的混合运算（答案版）
基础知识梳理练
1.二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样,先算乘方和开方,再算乘除法,最后算加减法;如果有括号,就先算括号里面的.
2.整式的乘除法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用.
3.实数的运算律对二次根式的运算同样适用.
教材要点分类练
知识点 二次根式的混合运算
4.(导学号:40732059)计算(12?3)÷3的结果是 (D)
A.-1 B.-3 C.3 D.1
5.(导学号:40732060)化简(3-2)2 019·(3+2)2 020的结果为(D)
A.-1 B.3-2
C.3+2 D.-3-2
6.(导学号:40732061)计算:(23+3)(23-3)=3.
7.(导学号:40732062)计算:
(1)6×2+24÷3?48;
(2)248-418?12;
(3)72+612?50÷8;
(4)(548-627+415)÷3;
(5)(23?2)(3+2);
(6)(3-1)2-(2?3)(2+3).
解:(1)6×2+24÷3?48
=3×2×2+4×2×3÷3-43
=23+22-43=22-23.
(2)248-418?12=2(43?2-23)
=2(23?2)=26-2.
(3)72+612?50÷8
=(62+32-52)÷22=42÷22=2.
(4)(548-627+415)÷3
=(203-183+415)÷3
=203÷3-183÷3+415÷3
=20-18+45=2+45.
(5)(23?2)(3+2)
=23×3+23×2?2×3?2×2
=6+26?6-2=4+6.
(6)(3-1)2-(2?3)(2+3)
=3-23+1-(2-3)=5-23.
能力提升创新练
8.(导学号:40732063)已知x=1-5,则代数式(6+25)x2+(1+5)x+5的值是(C)
A.20+5 B.5
C.12+5 D.12-5
9.(导学号:40732064)对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运算※如下:a※b=a×bb-a-1,那么2※6=2.
10.(导学号:40732065)计算:(5?2)(5+2)+(3-1)2.
解:原式=5-2+3-23+1=7-23.
11.(导学号:40732066)已知5-7的整数部分是a,小数部分是b,求a2+(3+7)b的值.
解:∵2<7<3,
∴5-7的整数部分是2,小数部分是3-7.
∴a2+(3+7)b=22+(3+7)(3-7)=4+2=6.
12.(导学号:40732067)化简求值:a+abab+b+ab-ba-ab,其中a=2+3,b=2-3.
解:∵a=2+3>0,b=2-3>0,∴a+b=4,ab=1.
∴a+abab+b+ab-ba-ab
=a(a+b)b(a+b)+b(a-b)a(a-b)
=ab+ba=abb+aba
=a+babab.
当a+b=4,ab=1时,原式=41×1=4.
13.(导学号:40732068)请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1170—约1240)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第n个数可以用151+52n-1-52n表示(其中n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
解:第1个数,当n=1时,
151+52n-1-52n
=151+52?1-52=15×5=1.
第2个数,当n=2时,
151+52n-1-52n
=151+522-1-522
=15×1+52+1-52×1+52?1-52
=15×1×5=1.
中考考场必刷练
14.(导学号:40732069)(中考·台湾)算式6×13-1之值为何?(A)
A.2?6 B.2-1
C.2-6 D.1
15.(导学号:40732070)(中考·聊城)下列计算正确的是(B)
A.310-25=5
B.711·117÷111=11
C.(75?15)÷3=25
D.1318-389=2
16.(导学号:40732071)(中考·潍坊)用教材中的计算器进行计算,开机后依次按下,把显示结果输入下面的程序图中,则输出的结果是7.
17.(导学号:40732072)(中考·枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《教书九章》书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式.即:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222,已知△ABC的三边长分别为5,2,1,则△ABC的面积为1.
18.(导学号:40732073)(中考·陕西)计算:(-3)×(-6)+|2-1|+(5-2π)0.
解:原式=32+2-1+1=42.
专题一 二次根式的定义及其性质
1.(导学号:40732074)下列各式一定是二次根式的是 (C)
A.-2 019 B.3x
C.x2+1 D.x+2 020
2.(导学号:40732075)下列根式不是最简二次根式的是(C)
A.ab B.xy C.16 D.14
3.(导学号:40732076)在下列二次根式中,x的取值范围是x>3的是(D)
A.3-x B.x+3
C.x-3 D.1x-3
4.(导学号:40732077)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简(a-1)2?(a-b)2+b的结果是 (A)
A.1 B.b+1 C.2a D.1-2a
专题二 二次根式的计算
5.(导学号:40732078)计算:
(1)48÷3?12×12+24;
(2)48+1412÷27;
(3)5+323(52-23);
(4)(22-1)(22+1)-(32-1)2.
解:(1)48÷3?12×12+24
=16?6+26=4+6.
(2)48+1412÷27
=43+32÷33=932÷33=32.
(3)5+323(52-23)
=252-103+1543-62
=252-103+103-62=192.
(4)(22-1)(22+1)-(32-1)2
=(22)2-12-[(32)2-62+1]
=8-1-(18-62+1)
=8-1-18+62-1=62-12.
专题三 二次根式的应用
6.(导学号:40732079)交警通常根据刹车后车轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度,所用的经验公式是v=16df.其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车距离(单位:m),f表示摩擦系数.在一次交通事故中,测得d=20 m,f=1.44,而发生交通事故的路段限速为80 km/h,肇事汽车是否违规超速行驶?请说明理由.(参考数据:2≈1.4,5≈2.2)
解:肇事汽车违规超速行驶.理由如下:
把d=20,f=1.44代入v=16df,得
v=1620×1.44=16×2.4×5≈38.4×2.2=84.48(km/h).
∵84.48 km/h>80 km/h,
∴肇事汽车违规超速行驶.
7.(导学号:40732080)如图,有一张边长为62 cm的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,制作一个有底无盖的长方体盒子,剪掉的四个角是面积相等的小正方形,此小正方形的边长为2 cm.求:
(1)剪掉四个角后,制作长方体盒子的纸板的面积;
(2)长方体盒子的体积.
解:(1)制作长方体盒子的纸板的面积为:
(62)2-4×(2)2=64(cm2).
(2)长方体盒子的体积为:
(62-22)(62-22)×2=322(cm3).
人教版八下数学 学霸笔记整理 16.3 二次根式的加减
1.一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
2.二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方和开方,再算乘除法,最后算加减法.如果有括号,就先算括号里面的.
进行二次根式的混合运算,特别要注意两个公式的应用:一是平方差公式;二是完全平方公式.
1.规律方法:二次根式加减法的一般步骤:
(1)将不是最简二次根式的先化成最简二次根式;
(2)找出其中被开方数相同的二次根式;
(3)合并被开方数相同的二次根式.
2.解题技巧:(1)实数的运算律对二次根式同样适用.
(2)整式的乘除法法则和乘法公式对二次根式同样适用.
[典例精析]
【例1】 设13-7的整数部分是a,小数部分是b,求代数式a2+(1+7)ab的值.
分析:首先对13-7化简,然后求得a,b的值,最后代入代数式求值即可.
解:13-7=3+7(3-7)(3+7)=3+72,
∵2<3+72<3,∴3+72的整数部分是2.∴a=2.∴b=3+72-2=7-12.
∴原式=22+(1+7)×2×7-12
=4+(1+7)(7-1)=4+7-1=10.
解题总结:二次根式运算的最后,注意结果要化成最简二次根式或整式,二次根式的乘除运算要与加减运算区分,避免互相干扰.
【例2】 大家知道,因式分解是数学中的一种重要的恒等变形,运用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果,如化简:
12+1=2-12+1=(2)2-12+1
=(2+1)(2-1)2+1=2-1;
13+2=3-23+2=(3)2-(2)23+2
=(3+2)(3-2)3+2=3?2.
(1)化简:14+3;
(2)从以上化简结构中找出规律,写出用n(n≥1,且n为正整数)表示上面规律的式子;
(3)根据以上规律计算:13+2+14+3+…+12 019+2 018(2 019+2).
分析:(1)根据平方差公式,可把分母中的根号化去;(2)根据观察,可发现规律为:1n+1+n=n+1?n(n≥1,且n为正整数);(3)根据规律,可得平方差公式,根据平方差公式,可得答案.
解:(1)14+3=4-34+3=(4)2-(3)24+3=(4+3)(4-3)4+3=4?3=2-3.
(2)1n+1+n=n+1?n(n≥1,且n为正整数).
(3)13+2+14+3+…+12 019+2 018·(2 019+2)=(3?2+4?3+…+2 019?2 018)(2 019+2)=(2 019?2)·(2 019+2)=2 019-2=2 017.
解题总结:把分母中的根号化去主要利用了平方差公式,所以一般分母中相乘的因式是符合平方差公式特点的式子.即一项符号和绝对值相同,另一项符号相反绝对值相同.
