2020年春人教版八下数学同步练习
16.2 二次根式的乘除（打印版）
基础知识梳理练
1.a·b=ab(a≥0,b≥0).
2.ab=a·b(a≥0,b≥0).
3.ab=ab(a≥0,b>0).
4.ab=ab(a≥0,b>0).
5.最简二次根式:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
6.二次根式的乘除混合运算应按照从左到右的顺序依次进行,如果有括号,则先计算括号里面的.
教材要点分类练
知识点一 二次根式的乘法
7.(导学号:40732021)下列二次根式中,与2之积为无理数的是(B)
A.12 B.3 C.18 D.32
8.(导学号:40732022)(中考·益阳)12×3=6.
9.(导学号:40732023)计算:-254×927×13=-26.
知识点二 积的算术平方根
10.(导学号:40732024)已知a(a-2)=a·a-2成立,则a的取值范围是(B)
A.a≥0 B.a≥2
C.0≤a≤2 D.a为一切实数
11.(导学号:40732025)下列各式,计算正确的是(C)
A.(-4)(-16)=-4×-16=(-2)×(-4)=8
B.8a2=4a
C.412-402=(41+40)(41-40)=9
D.32+42=3+4=7
知识点三 二次根式的除法
12.(导学号:40732026)若x3-x=x3-x,则x的取值范围是(C)
A.x<3 B.x≤3
C.0≤x<3 D.x≥0
13.(导学号:40732027)计算:
(1)12÷3;(2)112÷18;
(3)1332÷1216;(4)b7÷b28a3.
解:(1)12÷3=123=4=2.
(2)112÷18=32÷18
=32÷18=32×81=12=23.
(4)b7÷b28a3=b7×28a3b=4a3=2aa.
知识点四 商的算术平方根
14.(导学号:40732028)化简:
(1)11549;(2)4x9y4;(3)0.09×1210.36×144.
解:(1)11549=6449=6449=87.
(2)4x9y4=4x9y4=2x3y2.
(3)0.09×1210.36×144=0.09×1210.36×144=0.09×1210.36×144=0.3×110.6×12=1124.
知识点五 最简二次根式
15.(导学号:40732029)下列二次根式为最简二次根式的是(B)
A.45 B.a2+b2 C.12 D.3.6
知识点六 二次根式的乘除混合运算
16.(导学号:40732030)计算:(1)-215÷33×65;
(2)3a2b·ba÷21b;
(3)3223×-1815÷1225.
解:(1)-215÷33×65=-235×65=-20.
(2)3a2b·ba÷21b=3a2b·12ba·b
=123a2b·ba·b=123b2=6b4.
(3)3223×-1815÷1225=383×-1815×252=-3×18×2×83×15×52
=-34100=-34×10=-152.
能力提升创新练
17.(导学号:40732031)把(a-b)-1a-b化简成最简二次根式,正确的是(C)
A.b-a B.a-b
C.-b-a D.-a-b
18.(导学号:40732032)小聪同学在学习了二次根式的除法ab=ab以后,他认为ab=ab也成立,下面是他在课堂练习中的某一题的化简过程:-30-5=-30-5=-5×6-5=-5×6-5=6.你认为小聪的做法对吗?为什么?
解:小聪的做法是错误的.理由如下:
因为他忽略了二次根式除法法则的条件,即a,b的取值范围,而式中-30、-5都是没有意义的.
19.(导学号:40732033)已知x-69-x=x-69-x,且x为奇数,求1+2x+x2·x2+7x-8x+1的值.
解:∵x-69-x=x-69-x,∴6≤x<9.
∵x为奇数,∴x=7.
∴1+2x+x2·x2+7x-8x+1
=(x+1)2·(x-1)(x+8)x+1
=(x+1)·(x-1)(x+8)x+1
=8×6×158=125.
20.(导学号:40732034)观察下列各式及其验证过程:
2+23=223,
验证:2+23=83=22×23=223;
3+38=338,
验证:3+38=278=32×38=338.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想4+415的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
解:(1)4+415=4415.
验证:4+415=6415=42×415=4415.
(2)a+aa2-1=aaa2-1(a为任意自然数,且a≥2).
验证:a+aa2-1=a3-a+aa2-1=a3a2-1=aaa2-1.
中考考场必刷练
21.(导学号:40732035)(中考·泰州)下列运算正确的是(D)
A.2+3=5 B.18=23
C.2·3=5 D.2÷12=2
22.(导学号:40732036)(中考·绵阳)等式x-3x+1=x-3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为 (B)
23.(导学号:40732037)(中考·天津)计算(6+3)·(6?3)的结果等于3.
24.(导学号:40732038)(中考·安徽)计算:50-(-2)+8×2.
解:50-(-2)+8×2=1+2+4=7.
2020年春人教版八下数学同步练习
16.2 二次根式的乘除（答案版）
基础知识梳理练
1.a·b=ab(a≥0,b≥0).
2.ab=a·b(a≥0,b≥0).
3.ab=ab(a≥0,b>0).
4.ab=ab(a≥0,b>0).
5.最简二次根式:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
6.二次根式的乘除混合运算应按照从左到右的顺序依次进行,如果有括号,则先计算括号里面的.
教材要点分类练
知识点一 二次根式的乘法
7.(导学号:40732021)下列二次根式中,与2之积为无理数的是(B)
A.12 B.3 C.18 D.32
8.(导学号:40732022)(中考·益阳)12×3=6.
9.(导学号:40732023)计算:-254×927×13=-26.
知识点二 积的算术平方根
10.(导学号:40732024)已知a(a-2)=a·a-2成立,则a的取值范围是(B)
A.a≥0 B.a≥2
C.0≤a≤2 D.a为一切实数
11.(导学号:40732025)下列各式,计算正确的是(C)
A.(-4)(-16)=-4×-16=(-2)×(-4)=8
B.8a2=4a
C.412-402=(41+40)(41-40)=9
D.32+42=3+4=7
知识点三 二次根式的除法
12.(导学号:40732026)若x3-x=x3-x,则x的取值范围是(C)
A.x<3 B.x≤3
C.0≤x<3 D.x≥0
13.(导学号:40732027)计算:
(1)12÷3;(2)112÷18;
(3)1332÷1216;(4)b7÷b28a3.
解:(1)12÷3=123=4=2.
(2)112÷18=32÷18
=32÷18=32×81=12=23.
(3)1332÷1216=13÷1232÷16
=13×232×6=23×3=2.
(4)b7÷b28a3=b7×28a3b=4a3=2aa.
知识点四 商的算术平方根
14.(导学号:40732028)化简:
(1)11549;(2)4x9y4;(3)0.09×1210.36×144.
解:(1)11549=6449=6449=87.
(2)4x9y4=4x9y4=2x3y2.
(3)0.09×1210.36×144=0.09×1210.36×144=0.09×1210.36×144=0.3×110.6×12=1124.
知识点五 最简二次根式
15.(导学号:40732029)下列二次根式为最简二次根式的是(B)
A.45 B.a2+b2 C.12 D.3.6
知识点六 二次根式的乘除混合运算
16.(导学号:40732030)计算:(1)-215÷33×65;
(2)3a2b·ba÷21b;
(3)3223×-1815÷1225.
解:(1)-215÷33×65=-235×65=-20.
(2)3a2b·ba÷21b=3a2b·12ba·b
=123a2b·ba·b=123b2=6b4.
(3)3223×-1815÷1225=383×-1815×252=-3×18×2×83×15×52
=-34100=-34×10=-152.
能力提升创新练
17.(导学号:40732031)把(a-b)-1a-b化简成最简二次根式,正确的是(C)
A.b-a B.a-b
C.-b-a D.-a-b
18.(导学号:40732032)小聪同学在学习了二次根式的除法ab=ab以后,他认为ab=ab也成立,下面是他在课堂练习中的某一题的化简过程:-30-5=-30-5=-5×6-5=-5×6-5=6.你认为小聪的做法对吗?为什么?
解:小聪的做法是错误的.理由如下:
因为他忽略了二次根式除法法则的条件,即a,b的取值范围,而式中-30、-5都是没有意义的.
19.(导学号:40732033)已知x-69-x=x-69-x,且x为奇数,求1+2x+x2·x2+7x-8x+1的值.
解:∵x-69-x=x-69-x,∴6≤x<9.
∵x为奇数,∴x=7.
∴1+2x+x2·x2+7x-8x+1
=(x+1)2·(x-1)(x+8)x+1
=(x+1)·(x-1)(x+8)x+1
=8×6×158=125.
20.(导学号:40732034)观察下列各式及其验证过程:
2+23=223,
验证:2+23=83=22×23=223;
3+38=338,
验证:3+38=278=32×38=338.
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想4+415的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
解:(1)4+415=4415.
验证:4+415=6415=42×415=4415.
(2)a+aa2-1=aaa2-1(a为任意自然数,且a≥2).
验证:a+aa2-1=a3-a+aa2-1=a3a2-1=aaa2-1.
中考考场必刷练
21.(导学号:40732035)(中考·泰州)下列运算正确的是(D)
A.2+3=5 B.18=23
C.2·3=5 D.2÷12=2
22.(导学号:40732036)(中考·绵阳)等式x-3x+1=x-3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为 (B)
23.(导学号:40732037)(中考·天津)计算(6+3)·(6?3)的结果等于3.
24.(导学号:40732038)(中考·安徽)计算:50-(-2)+8×2.
解:50-(-2)+8×2=1+2+4=7.
学霸笔记整理 16.2 二次根式的乘除
1.a·b=ab(a≥0,b≥0).
2.ab=a·b(a≥0,b≥0).
3.ab=ab(a≥0,b>0).
4.ab=ab(a≥0,b>0).
5.(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
6.二次根式的乘除混合运算应按照从左到右的顺序依次进行,如果有括号,则先计算括号里面的.
1.利用“a·b=ab”和“ab=a·b”时,要注意a≥0,b≥0这个条件,因为只有a,b都是非负数时公式才能成立.
2.应用公式“ab=ab”和“ab=ab”时,要注意公式中字母的取值范围,a≥0,b>0.因为当b=0时,分母为零,代数式无意义.
1.规律方法:在进行二次根式的乘除混合运算时,一般是先把被开方数里面的除法运算转化为乘法运算,再按照乘法法则进行计算.
2.解题技巧:(1)二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的情形,如:a·b·c·…=abc…(a≥0,b≥0,c≥0,…).
(2)二次根式相乘,当二次根式前面系数不为1时,可以类比单项式与单项式相乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即ma·nb=mnab(a≥0,b≥0).
(3)二次根式相除,当二次根式前面系数不为1时,可以类比单项式与单项式相除的法则,先把系数相除,再把被开方数相除,即ma÷nb=mnab(a≥0,b>0).
[典例精析]
【例1】 把二次根式(x-1)11-x中根号外的因式移到根号内,结果是( )
A.1-x B.-1-x
C.-x-1 D.x-1
解析:∵11-x>0且1-x≠0,∴1-x>0.∴x-1<0.∴要将根号外面的因式移到根号内,必须把(x-1)化为-(1-x).∴(x-1)·11-x=-(1-x)11-x=-(1-x)2·11-x=-1-x.故选B.
答案:B
解题总结:解决这类问题的方法,通常是根据二次根式中的隐含条件确定出字母或代数式的取值范围,判断根号外面的字母或代数式是非负数还是负数,最后逆用公式a2=|a|即可解决问题.
【例2】 小明同学在电脑上设计了一张长方形图片,已知图片的长为90π cm,宽为40π cm,他又想设计一个面积与其相等的圆形图片,小明的想法能实现吗?若不能,请说明理由;若能,请计算出圆形图片的半径.
分析:设圆形图片的半径为r cm,根据圆的面积与长方形的面积相等,列出方程,再进行求解即可.
解:设圆形图片的半径为r cm,由题意,得πr2=90π×40π=60π.解得r=60=215.
∴小明的想法能实现,圆形图片的半径为215 cm.
解题总结:解决这类问题要熟记几何图形的面积公式,二次根式的化简方法,本题利用长方形、圆的面积公式,根据面积相等列出方程,从而求出圆的半径.
