人教版八年级上册数学11.1 与三角形有关的线段课件（3课时，共77张PPT）

(共77张PPT)
新人教版-八年级（上）数学-第十一章
11.1.1 三角形的边
一、学习目标
1、通过具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素；
2、学会三角形的表示及掌握对边与对角的关系；
3、掌握三角形三边之间的关系；
重点：了解三角形定义,三边之间关系.
难点：理解“首尾相连”等关键语句.
二、重点和难点
生活常识



看一看
生活常识

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看一看
生活常识







在我们的生活中几乎随处可见三角形。它简单，有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好认识周围世界，解决很多的实际问题。那什么样的图形是三角形呢？
想一想









由不在同一条直线上的三条线段
首尾顺次相接组成的图形，称为三角形.
不在同一条直线上
首尾顺次相接
一、三角形的定义
组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
如图，三角形ABC有几条边？它们分别是__________________
A
B
C






△ABC的三边,有时也用a、b、c来表示.
a
b
c
二、三角形的要素—边
BC、AC、AB
三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
如图，三角形ABC有几个顶点？
它们分别是_________________
A
B
C






三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。
三、三角形的要素—顶点
点A、B、C



B
C
A
三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角。简称三角形的角。
如图，三角形ABC有几个内角？它们分是什么?



四、三角形的要素—内角
∠A、∠B、∠C



B
C
A
在?ABC中，AB边所对的角是：
∠A所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试。
三角形的对边与对角








A
B
C
记法
三角形符号“△”，
如：上图的三角形记作：△ABC （或△BCA或△CBA 等）
我的姓是“△”
我的名字是：三个顶点 字母“A、B、C”





注意：表示三角形时，字母没有先后顺序，但通常按逆时针来排列.
三角形的表示法






A
D
B
E
C





1.图中共有 个三角形，它们分别是 ：__________________________
5
△ABE, △ABC,△BCE, △BCD ,△CDE
小结:数三角形的个数时,抓住不在同一条直线上的三个点能组成一个三角形;再按字母的顺序去数.
练习一





A
D
C
B
E
2.以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE
3.以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE

4.以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC
练习二





A
B
C
D
E
5.△BCD的三边分别是:
___________________
三个角分别是：
______________________
三个顶点分别是：
________________
其中顶点C的对边是：_________
∠D是由_____和______两边组成的内角
∠BEC是△BCD的内角吗？
BC,CD,DB
∠DBC、 ∠BCD、 ∠CDB
点D、B、C
DB
DB
DC
不是
练习三
观察









三角形按角
可分为：
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形





三角形按边
可分为：
三边各不相等
的三角形
腰与底边不相等
的等腰三角形
腰与底边相等
的等腰三角形
再观察
等腰三角形


角的分类
两点之间的所有连线中，线段最短
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？



C
B
A



谈谈你的想法！
请拿出准备好的长度分别为:5cm,6cm,11cm,12cm的纸条各一根,从中任取三根看能不能摆成一个三角形?
从4根中取出3根有以下几种情况：
（1）5cm,6cm,11cm
通过动手发现： (3) (4) 可以摆成三角形，
(1) (2) 不能摆成三角形。
（2）5cm,6cm,12cm
（3）5cm,11cm,12cm
（4）6cm,11cm,12cm
通过实验你能发现:构成一个三角形的三边有什么规律？
动手试一试
●
●
●
A
B
C



AC + CB ＞AB
CB + AB ＞AC
AB + AC ＞CB
AB - CB ＜AC
AC - AB ＜CB
CB - AC ＜AB
三角形任何两边之和大于第三边
两点之间的所有连线中，线段最短
三角形三边的关系



A
B
C
a
c
b
三角形三边的关系
三角形任意两边
的和大于第三边
三角形任意两边
的差小于第三边
a-bb-cc-ab+c>a
a+c>b
a+b>c
下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(1)15cm、10cm、7cm (2)4cm、5cm、10cm
(3)3cm、8cm、5cm
(2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.
(1) 因为10cm+7cm>15cm，所以这三条线段能组成一个三角形.
解：
(4) 因为(x+2)cm+(x+4) cm>(x+5)cm，所以这三条线段能组成一个三角形.
(4)(x+5)cm,(x+4)cm,(x+2)cm[x为正数]
巩固新知 拓展应用
较小两边之和大于第三边,才能构成三角形
结论:
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
构成三角形的条件
1. 张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木棒，第三根的长度X的取值范围是多少？
10㎝＜x＜28㎝
练习1
已知三角形两边的长度，第三边长度范围是:
如果告诉你：
三角形两边的长度，
第三边长度的范围你能确定吗？
大于这两边的差，小于这两边的和。
三角形三边的关系
2. 张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，你有几种选法？第三根的长度可以是多少？
有8种选法。
第三根木棒的长度可以是：12cm，14cm，16cm, 18cm, 20cm ,22cm, 24cm ,26cm
练习2
3.张老师想制作一个三角形木架，现有两根长度为19cm和9cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是奇数，我有几种选法？第三根的长度可以是多少？
有8种选法。
第三根木棒的长度可以是：11cm，13cm, 15cm ,17cm 19cm ,21cm, 23cm ,25cm
练习3
4.张老师想制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为19cm和8cm的木棒，我有几种选法？第三根的长度可以是多少？三角形的周长是多少?
第三根木棒的长度可以是：19cm
三角形的周长是46cm
练习4
5.张老师想制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为19cm和10cm的木棒，我有几种选法？第三根的长度可以是多少？三角形的周长是多少?
第三根木棒的长度可以是:19cm, 10cm
三角形的周长是:48cm, 39cm
练习5
他一步能走3米,
不可能



A
B
C
答：不能.如果此人一步能走3米多,由三角形三边的关系得，此人两腿长的和得大于3米多,这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.
你相信吗？
































人行横道

你能用数学知识解释吗
为什么经常有些行人斜穿马路而不走人行横道
或两点之间的所有连线中，线段最短
三角形任意两边之和大于第三边。
A
B
理由：
C
.


学以致用
小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框,现在有长度分别为2cm 、3cm、 8cm 、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择？（ ）
A、2cm B、3cm C、8cm D、15cm
分析: ∵ 第三根可选择的范围是：
大于8-5=3（cm）小于8+5=13（cm）
∴只有8cm的木条能钉成三角形木框,所以答案选C.
解题技巧：
三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
你能帮助他吗？
C
小明有两根长为10cm和3cm的木条,他要钉一个三角形像框，并且使所选择的第三根木条长度是6的整数倍.聪明的你帮他想想,第三根木条应取多长?
解：三角形像框第三边的取值范围是:
∵两边之差<第三边<两边之和
即10-3 < x < 10+3（7 < x < 13）
符合条件的数是12
∴第三根木条应取12cm
方法与拓展



三角形有基本要素
边
基本要素

角
顶点
A
B
C
（AB、BC、CA）
（∠A、∠B、∠C）
（A、B、C）
如上面的三角形ABC记作：
三角形的表示：
（用符号“△”表示）
△ABC
b
c
a
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
小结
1、三角形的三边关系的性质:
(1)判断三条已知线段能否组成三角形时，采用一种较为简便的判法：若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.
2、
(2)确定三角形第三边的取值范围：
三角形的任何两边的和大于第三边。
小结
两边之差<第三边<两边之和
新人教版-八年级（上）数学-第十一章
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义,并会作出这三种重要的线段。
2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质,并能应用它解决一些问题。
3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。
重点：
三角形的高、中线和角平分线的定义。
难点：
掌握各种线在三角形中分得的角和线段
之间的倍分关系。
学习目标：
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?


画法
过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗?

B
A
C



回顾与思考

A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边


所在直线作垂线，


顶点

和垂足

D
之间的线段

叫做三角形这边上的高，
简称三角形的高。
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个锐角△ABC,
垂直的记号
和垂足的字母
请你画出BC边上的高.

注意

!
标明


D
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
AD⊥BC，则AD是△ABC的BC边上的高
AD是△ABC的BC边上的高,则AD⊥BC,∠ADB=900
三角形的高的理解
锐角三角形的三条高
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?

(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.







O

(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
A
B
C
D
E
F
直角三角形的三条高


A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB
直角边AB边上的高是 ;
CB


它们有怎样的位置关系？


直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
斜边AC边上的高是 ;
BD
●
钝角三角形的三条高

A
B
C





D



E
F
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O




小结:三角形的高

从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：



高所在的直线是否相交


高之间是否相交



高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形










3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的交点的位置




三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
1.下列各组图形中,哪一组图形中AD是△ABC 的高( )


A
D
C
B


A
B
C
D



A
B
C
D



A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
B
D
拓展与练习
在三角形中,连接一个
顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形这边的中线.




A
B
C
D
∵AD是△ ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
●
●
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形中线的理解


E
F
O
三角形的中线
也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
E



A
B
C

D



如右图
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= BD×AE

△ADC的面积= DC×AE

故△ABD的面积= △ADC的面积
例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
中线的性质
②三角形的中线是一条线段。
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。
三角形中线的特点
叫做三角形的角平分线。



A
B
C

D
∵AD是 △ ABC的角平分线
∴∠ BAD = ∠ CAD =
１
２
∠BAC
任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
●
●
在三角形中,一个
内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
︶
︶
1
2
三角形的角平分线
∵BE是△ABC的角平分线
∴_______=_______= ____
∴∠ACB=2______=2______
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∵CF是△ABC的角平分线
∠BCF
思考
三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线。
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
角平分线的理解
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.
(1)当∠ABC=60°,∠ACB=80°时,求∠BOC的度数
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.
（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.
（3）当∠A= x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示）
例题讲解
解:
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
名称 基本图形 画法 性质
高 用边的垂线三角板画顶点到对段 三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点
中线 用直尺画两点之间的线段 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分
角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点




D
A
C
B



D
A
C
B




D
A
C
B



高、中线与角平分线的比较
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.







⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H


①AD是⊿ABE的角平分线 ( )
②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( )
③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( )
④CH是⊿ACD边AD上的高 ( )
三角形的高、中线与角平分线都是线段
×
×
×
√
拓展练习
小结
三角形的角平分线、中线、高线的比较
相同点：
（1）都是线段
（2）都从顶点画出
（3）所在直线都相交于一点
不同点：
角平分线反映的是角的相等关系
中线反映的是线段的相等关系
高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系
新人教版-八年级（上）数学-第十一章
11.1.3 三角形的稳定性
一、学习目标
1、了解三角形具有稳定性；
2、学会利用三角形的稳定性解析一些实际问题；
3、掌握三角形稳定性的意义；
重点：了解三角形稳定性.
难点：利用稳定性解析一些实际问题.
二、重点和难点

生活小常识
探索与思考
(1)将三根不条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(2)将四根不条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
(3)在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,它的形状会改变吗?

三角形具有稳定性，
四边形具有不稳定性
结论
三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.
用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ，你能举出一些例子吗？
三角形的性质---三角形的稳定性

四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，
将其变成三角形从而增强其稳定性
三角形的稳定性的应用
三角形的稳定性的应用



三角形的稳定性的应用



三角形的稳定性的应用






三角形的稳定性的应用



房屋的人字架
三角形的稳定性的应用
照相机的三脚架



三角形的稳定性的应用



自行车三脚架
三角形的稳定性的应用



固定树的两根支撑
四边形的不稳定性有广泛的应用
用来制作防盗门、防盗窗等
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
练习1
下列图形中哪些具有稳定性
下列图中具有稳定性有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
C
练习2
下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是( )
A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的
B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值
C、稳定性和不稳定性均有利用价值
D、以上说法都不对
C
练习3
解：
要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条；
要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条；
要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
n边形呢？
拓展题1



四边形
五边形
六边形
…



4-3
5-3
6-3
如图，当四边形内部有1个点时，把四边形分成的三角形数目为4，当四边形内部有2个点时，把四边形分成的三角形的数目为6
(1)当四边形内部有3个点时,三角形的数目为___
(2)当四边形内部有4个点时,三角形的数目为___
(3)当四边形内部有n个点时,三角形的数目为_____
8
10
2n+2
拓展题2
4
8
6
如图，当四边形内部有1个点时，把四边形分成的三角形数目为4，当四边形内部有2个点时，把四边形分成的三角形的数目为6
(4)三角形的数目能否为2006?若能,请求出此时四边形内部的个数;若不能,请说明理由.
解:2n+2=2006
2n=2004
n=1002
即三角形的数目能为2006,此时四边形内部点的个数是1002
拓展题2
三角形与四边形的不同
小结
(1)三角形有三条边、三个角；而四边形有四条边、四个角；
(2)三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性
(3)三角形的三个内角和为180°，而四边形的四个内角和是360°