勾股定理导学案答案
学习探究
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.
思维迁移 做一做
1.解：①x=225，②y=25，③z=49
例1
做一做
2. 15；12；13
思维升华
5或7
例2
解：连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因此,AC= 5 ≈2.236
因为AC大于木板的宽,
所以木板能从门框内通过.
例3
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移0.58米
颗粒归仓
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2 + b2 = c2（注意：哪条边是斜边）
作业：
1.C 2.A 3.B 4.（1）33 （2）93
勾股定理逆定理导学案答案
思维导引 温故知新
（1）5 （2）7 （3）5或7
（4）如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
（题设）如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
（结论）那么 a2 + b2 = c2
真命题
（5）如果一个三角形的三边分别为a,b,c,满足a2 + b2 = c2，那么这个三角三角形是直角三角形。
（题设）如果一个三角形的三边分别为a,b,c,满足a2 + b2 = c2
（结论）那么这个三角三角形是直角三角形
试一试 (1) 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
(2) 逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3) 逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4) 逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
证明结论
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则A′B′2=B′C2+′A′C′2=a2+b2
∵a2 + b2 = c2
∴A′B′2=c2
∴取正得A′B′=c
在△ABC和△A′B′C′中
A′C′=AC
B′C′=BC
A′B′=AB
∴△ABC≌△A′B′C′（sss）
∴∠C=∠C′
∴△ABC是直角三角形
现在你能解决古埃及是怎么样画直角的吗？
解:最大边为5
∵32+42=9+16 =25 52 =25
∴32+42 =52
∴以3, 4, 5为边长的三角形是直角三角形
思维展示
二：（1）判断形状应
例1：(1)直角三角形; (2) 不是直角三角形
思维训练
（1）直角三角形；
（2）直角三角形
思维绽放
(1) 3 (2) a2- b2可能是0 (3) 直角三角形或等腰三角形
二：（2）实际应用
例2： 解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
思维升华
例题3：
解:连BD∵∠C=90° CD=15,BC=20
∴ 由勾股定理得：BD2 =CD2 +BC2 = 152+202 =625，
∵AB=24,AD=7
∴ AB2 +AD2 = 242+72=625=BD2，
由勾股定理的逆定理可知△ABD是直角三角形
∴ S四边形ABCD=15×20÷2+7×24÷2=234(m2)
答：绿地ABCD的面积234m2
练习
解:连AC∵∠D=90° CD=3,AD=4
∴ 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC2 =CD2 +AD2= 32+42 =25，
∵AB=13,BC=12
∴ BC2 +AC2 = 122+25=132=AB2，
由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形
∴ S阴影=12×5÷2—3×4÷2=24(m2)
答：阴影面积为24平方米。
作业
1、D 2、B 3.A
思维延伸
4、S1+S2=S3 a2+b2=c2 三角形ABC是直角三角形
勾股定理导学案
思维导引：
学习探究
一、操作探究
在方格纸上,画一个顶点都在格点上的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形,计算以斜边为一边的正方形的面积
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
命题1
思维独立
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2 + b2 = c2（注意：哪条边是斜边）
思维碰撞
勾股定理的证明
（一） 赵爽弦图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子。你能做到吗？试试看。
（二）勾股定理的证明：拼图法
证明三图
（三）有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
思维迁移 做一做
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,
已知: a=5, b=12, 求c;
已知: b=6,c=10, 求a;
已知: a=7, c=25, 求b；
已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
做一做
2.求下列直角三角形中未知边的长:
思维升华
已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3,则BC的长为
走进生活 探究1
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
探究2
例3：一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
思维归纳
颗粒归仓
勾股定理：
几何语言：
思维延伸
作业
1.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为（ ）
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
1题图 2题图
2.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
3.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为( )
A. 2、4、6 B. 6、8、10
C. 4、6、8 D. 8、10、12
4.已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
勾股定理逆定理导学案
学习目标： ⒈知识目标：掌握“勾股定理的逆定理”“定理和逆定理”
2.能力目标：灵活应用勾股定理的逆定理判断三角形形状和解决实际问题
3. 情感目标：培养在实际生活中发现问题总结规律和应用数学的意识和能力
学习重点：勾股定理的逆定理及其应用
学习难点：勾股定理的你定理的应用与证明
思维导引 温故知新
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
（3）在Rt△ABC， a=3，b=4，则c=
（4）请写出勾股定理，并指出其题设与结论
（5）请写出勾股定理的逆命题，并指出其题设与结论
新知学习
你知道古埃及怎样画直角的吗？如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
一：（1）互逆命题
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
题设和结论正好相反的两个命题， 叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题
试一试
说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
证明结论
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
一：（2）互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
现在你能解决古埃及是怎么样画直角的吗？
思维展示
二：（1）判断形状应
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=15，b=8，c=17; (2) a=13，b=14，c=15.
思维训练
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
思维绽放
已知a.b.c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4,试判断△ABC的形状.
解： ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4 （1）
∴ c2(a2 – b2) = (a2+ b2) (a2- b2) （2）
∴ c2 = a2 + b2 （3）
∴ △ABC是直角三角形
问： (1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿
(2) 错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(3) 本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
二：（2）实际应用
例2： “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思维升华
例题3：如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度，求：绿地ABCD的面积。
练习
如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
思维总结 颗粒归仓
思维延伸 作业
1、将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是( )
A 1, 2, 3 B 4, 6, 8 C 5, 5, 4 D 15,12, 9
2、如果线段a、b、c能组成直角三角形, 则它们的比可能是( )
A 3:4:7 B 5:12:13 C 1:2:4 D 1:3:5.
3.三角形的三边分别是a、b、c, 且满足(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是（ ）
A 直角三角形 B 是锐角三角形 C 是钝角三角形 D 是等腰直角三角形
4、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则这个三角形是直角三角形吗？
