2020春人教版八下数学同步精练
17.1.1 勾股定理（打印版+答案版）
第1课时
基础知识梳理练
1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
图①
2.如图①,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得(a+b)2=c2+4×12ab,即a2+b2=c2.
图②
3.如图②,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b(a>b),斜边为c)拼成如图所示的正方形.由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得c2=(a?b)2+4×12ab,即 a2+b2=c2.
图③
4.如图③,用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的梯形.由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”,得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12c2,即a2+b2=c2.
教材要点分类练
知识点一 勾股定理
5.( 40732081)(中考·滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.( 40732082)下列说法中正确的是(C)
A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2
7.( 40732083)如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为(D)
A.4 B.8
C.16 D.64
8.( 40732084)若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为(B)
A.13 B.13或119
C.13或15 D.15
9.( 40732085)在直角坐标系中,点P(2,-3)到原点的距离是(C)
A.5 B.11 C.13 D.2
10.( 40732086)在Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为(A)
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
11.( 40732087)直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的高线的长为(D)
A.8013 B.13 C.132 D.6013
12.( 40732088)如图,A,B是直线l同侧的两点,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B.若点A,B到直线l的距离分别为2和3,则线段AB与A'B之间的数量关系是(B)
A.A'B2-AB2=13 B.A'B2-AB2=24
C.A'B2+AB2=25 D.A'B2+AB2=26
第12题图
第14题图
13.( 40732089)等腰三角形的底边长为12,底边上的中线长为8,它的腰长为(C)
A.6 B.8 C.10 D.32
14.( 40732090)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为5+1.
15.( 40732091)在△ABC中,AB=AC,底边BC上的高为8,周长为32,则△ABC的面积为48.
16.( 40732092)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若已知AC=5,BC=12,求AB的长;
(2)若已知AB=25,AC=20,求BC的长.
解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即52+122=169=AB2,
∴AB=13.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即202+BC2=252,BC2=252-202=225,
∴BC=15.
知识点二 勾股定理的验证
17.( 40732093)下列图形不能用来验证勾股定理的是(D)
18.( 40732094)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明勾股定理.已知△ADE和△ABC是两直角边为a,b,斜边为c的全等的直角三角形,按如图所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:如图,连接DB,过点D作BC边上的高DF交BC的延长线于F,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a).∴a2+b2=c2.
能力提升创新练
19.( 40732095)如图所示,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为(A)
A.455 B.235
C.255 D.433
20.( 40732096)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE是BC的垂直平分线,点E是垂足.已知DC=8,AD=4,则图中长为43的线段有(B)
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
21.( 40732097)如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放的三个正方形的面积分别为1,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4的值为2.44.
22.( 40732098)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2=100.
第22题图
第23题图
23.( 40732099)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=2,则B'C的长为23.
24.( 40732100)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=23,求AC的长.
解:设CD=x,
∵∠DAC=30°,
∴AD=2x,由勾股定理,得AC=3x.
∵AC2+BC2=AB2,AB=23,BD=2,
∴(3x)2+(x+2)2=(23)2,
解得x=1,∴AC=3.
25.( 40732101)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,求PM的长.
解:如图,过P作PQ⊥MN,
∵PM=PN,MN=2,
∴MQ=NQ=1.
在Rt△OPQ中,OP=12,∠AOB=60°,
∴∠OPQ=30°,∴OQ=6.
∴PQ2=OP2-OQ2=144-36=108.
∴PM2=MQ2+PQ2=12+108=109.
∴PM=109.
26.( 40732102)如图,已知∠MON=60°,OP是∠MON的平分线,点A是OP上一点,过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.求直线AB与ON之间的距离.
解:如图,过A作AC⊥OM,AD⊥ON,分别交OM,ON于点C,D.
∵OP平分∠MON,∠MON=60°,
∴AC=AD,∠MOP=∠NOP=30°.
∵BA∥ON,
∴∠ABC=∠MON=60°.
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AB=4,∴BC=2.
根据勾股定理得AC=42-22=23,
∴AD=AC=23,即直线AB与ON之间的距离为23.
中考考场必刷练
27.( 40732103)(中考·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)
A.9 B.6 C.4 D.3
28.( 40732104)(中考·淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是85.
29.( 40732105)(中考·徐州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于7cm.
30.( 40732106)(中考·荆州)为了比较5+1与10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得5+1>10(填“>”“<”或“=”).
2020春人教版八下数学同步精练
17.1.1 勾股定理（答案版）
第1课时
基础知识梳理练
1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
图①
2.如图①,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得(a+b)2=c2+4×12ab,即a2+b2=c2.
图②
3.如图②,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b(a>b),斜边为c)拼成如图所示的正方形.由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得c2=(a?b)2+4×12ab,即 a2+b2=c2.
图③
4.如图③,用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的梯形.由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”,得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12c2,即a2+b2=c2.
教材要点分类练
知识点一 勾股定理
5.(导学号:40732081)(中考·滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(导学号:40732082)下列说法中正确的是(C)
A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2
7.(导学号:40732083)如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为(D)
A.4 B.8
C.16 D.64
8.(导学号:40732084)若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为(B)
A.13 B.13或119
C.13或15 D.15
9.(导学号:40732085)在直角坐标系中,点P(2,-3)到原点的距离是(C)
A.5 B.11 C.13 D.2
10.(导学号:40732086)在Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为(A)
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
11.(导学号:40732087)直角三角形的两条直角边的长分别为5,12,则斜边上的高线的长为(D)
A.8013 B.13 C.132 D.6013
12.(导学号:40732088)如图,A,B是直线l同侧的两点,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B.若点A,B到直线l的距离分别为2和3,则线段AB与A'B之间的数量关系是(B)
A.A'B2-AB2=13 B.A'B2-AB2=24
C.A'B2+AB2=25 D.A'B2+AB2=26
第12题图
第14题图
13.(导学号:40732089)等腰三角形的底边长为12,底边上的中线长为8,它的腰长为(C)
A.6 B.8 C.10 D.32
14.(导学号:40732090)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=5,则BC的长为5+1.
15.(导学号:40732091)在△ABC中,AB=AC,底边BC上的高为8,周长为32,则△ABC的面积为48.
16.(导学号:40732092)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若已知AC=5,BC=12,求AB的长;
(2)若已知AB=25,AC=20,求BC的长.
解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即52+122=169=AB2,
∴AB=13.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
即202+BC2=252,BC2=252-202=225,
∴BC=15.
知识点二 勾股定理的验证
17.(导学号:40732093)下列图形不能用来验证勾股定理的是(D)
18.(导学号:40732094)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明勾股定理.已知△ADE和△ABC是两直角边为a,b,斜边为c的全等的直角三角形,按如图所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:如图,连接DB,过点D作BC边上的高DF交BC的延长线于F,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a).∴a2+b2=c2.
能力提升创新练
19.(导学号:40732095)如图所示,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为(A)
A.455 B.235
C.255 D.433
20.(导学号:40732096)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE是BC的垂直平分线,点E是垂足.已知DC=8,AD=4,则图中长为43的线段有(B)
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
21.(导学号:40732097)如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放的三个正方形的面积分别为1,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4的值为2.44.
22.(导学号:40732098)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2=100.
第22题图
第23题图
23.(导学号:40732099)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=2,则B'C的长为23.
24.(导学号:40732100)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,AB=23,求AC的长.
解:设CD=x,
∵∠DAC=30°,
∴AD=2x,由勾股定理,得AC=3x.
∵AC2+BC2=AB2,AB=23,BD=2,
∴(3x)2+(x+2)2=(23)2,
解得x=1,∴AC=3.
25.(导学号:40732101)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,求PM的长.
解:如图,过P作PQ⊥MN,
∵PM=PN,MN=2,
∴MQ=NQ=1.
在Rt△OPQ中,OP=12,∠AOB=60°,
∴∠OPQ=30°,∴OQ=6.
∴PQ2=OP2-OQ2=144-36=108.
∴PM2=MQ2+PQ2=12+108=109.
∴PM=109.
26.(导学号:40732102)如图,已知∠MON=60°,OP是∠MON的平分线,点A是OP上一点,过点A作ON的平行线交OM于点B,AB=4.求直线AB与ON之间的距离.
解:如图,过A作AC⊥OM,AD⊥ON,分别交OM,ON于点C,D.
∵OP平分∠MON,∠MON=60°,
∴AC=AD,∠MOP=∠NOP=30°.
∵BA∥ON,
∴∠ABC=∠MON=60°.
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AB=4,∴BC=2.
根据勾股定理得AC=42-22=23,
∴AD=AC=23,即直线AB与ON之间的距离为23.
中考考场必刷练
27.(导学号:40732103)(中考·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)
A.9 B.6 C.4 D.3
28.(导学号:40732104)(中考·淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是85.
29.(导学号:40732105)(中考·徐州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3 cm,AC=5 cm,将△ABC折叠,使点C与A重合,得折痕DE,则△ABE的周长等于7cm.
30.(导学号:40732106)(中考·荆州)为了比较5+1与10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得5+1>10(填“>”“<”或“=”).
人教版八下数学 学霸笔记整理17.1 勾股定理
1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.证明勾股定理几种常见的方法:
(1)如图①,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得(a+b)2=c2+4×12ab,即a2+b2=c2.
(2)如图②,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得c2=(a-b)2+4×12ab,即a2+b2=c2.
(3)如图③,用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的梯形.
由“梯形面积等于3个直角三角形面积之和”,得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12c2,即a2+b2=c2.
3.利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题.如长度、高度、距离、面积、体积等问题往往需要用勾股定理来解决.
4.对于作长度为2,3,5,7,…的线段,一般可借助于数轴,通过构造直角三角形,利用勾股定理来解决.
1.使用勾股定理的前提条件是直角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.
2.利用勾股定理必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其是在记忆a2+b2=c2时,此关系式只有当c是斜边时才成立.若b是斜边,则关系式是a2+c2=b2;若a是斜边,则关系式是b2+c2=a2.
3.利用勾股定理可以在数轴上画出长度为无理数的线段(表示无理数的点),但是并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点,如π,0.101 001 000 1…等.
1.规律方法:(1)勾股定理有许多变形,如:若a2+b2=c2,则a2=c2-b2,b2= c2-a2 ,c=a2+b2,b=c2-a2,a=c2-b2.
(2)作一条长度等于已知无理数的线段的方法不一定唯一,如8,可以利用直角边分别为2和2的直角三角形得到,也可以借助于已有的直角边为1和7的直角三角形得到,但是尽量利用直角边长为整数的直角三角形解决.
(3)在数轴上表示无理数的方法:
①在数轴上,以原点为直角三角形一个锐角的顶点,利用勾股定理作出边长为无理数的线段;
②以原点为圆心,以作出的对应线段的长为半径画弧,如果是正无理数,那么选择与数轴的正方向的交点;如果是负无理数,那么选择与数轴的负方向的交点.
2.解题技巧:(1)利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式,从而推导出勾股定理.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时,需要把实际问题抽象成数学问题,根据题意画出符合实际的直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理这一数学模型,利用数形结合的思想方法解决.
[典例精析]
【例题】 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明以灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明 a2+b2=c2,请你写出证明过程.
分析:根据“S五边形面积=S梯形1+S梯形2=S正方形+2S直角三角形”即可求解.
解:如图所示:
∵S五边形ABCDE=S梯形AGDE+S梯形BCDG=S正方形CDEF+2S直角三角形AEF,
∴12(b+a+b)·b+12(a+a+b)·a=c2+2×12ab.
∴12ab+b2+a2+12ab=c2+ab.
∴a2+b2=c2.
解题总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.
