2020春人教版八下数学同步精练
17.1.2 勾股定理的应用（打印版）
第2课时
基础知识梳理练
1.利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题.如长度、高度、距离、面积、体积等问题往往需要用勾股定理来解决.
2.对于长度为2,3,5,7,…的线段,一般可借助于数轴,通过构造直角三角形,利用勾股定理来解决.
教材要点分类练
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
3.(导学号:40732107)如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是(D)
A.5 m B.12 m C.13 m D.18 m
4.(导学号:40732108)现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行,蜗牛的速度为14厘米/分,乌龟的速度为48厘米/分,5分钟后,蜗牛和乌龟的直线距离为(B)
A.300厘米 B.250厘米
C.200厘米 D.150厘米
5.(导学号:40732109)如图,有一个边长为20 cm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,则圆盖的直径(结果保留整数)至少是(C)
A.20 cm B.28 cm C.29 cm D.40 cm
6.(导学号:40732110)如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从A点出发到点B,其爬行的最短路线的长度是(C)
A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm
第6题图
第7题图
7.(导学号:40732111)如图所示的是一个十字路口,O是两条公路的交点,点A,B,C,D表示的是公路上的四辆车,若OC=8 m,AC=17 m,AB=5 m,BD=105 m,则C,D两辆车之间的距离为(D)
A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m
8.(导学号:40732112)如图,在水池的正中央有一根芦苇,池底长16尺,它高出水面2尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则这根芦苇的长度是(D)
A.14尺 B.15尺 C.16尺 D.17尺
9.(导学号:40732113)如图,一个长、宽、高分别为4 m,3 m,12 m的长方体盒子能放下的最长木棒的长度为(C)
A.11 m B.12 m
C.13 m D.14 m
10.(导学号:40732114)如图,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的长方形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用(D)
A.9 m B.7 m C.5 m D.3 m
11.(导学号:40732115)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径为5 cm,高为12 cm,上底面中心有一个小圆孔,一条长为20 cm到达底部的直吸管在罐外部分长度a cm(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)的范围是(C)
A.8≤a≤15 B.5≤a≤8
C.7≤a≤8 D.7≤a≤15
12.(导学号:40732116)如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为42 dm.?
知识点二 利用勾股定理作长度为2,3,…的无理数的线段
13.(导学号:40732117)如图,数轴上点A表示的数是-1,原点O是线段AB的中点,∠BAC=30°,∠ABC=90°,以点A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是(D)
A.233-1 B.233
C.433 D.433-1
14.(导学号:40732118)在数轴上作出表示-5的点.
解:如图所示:
(1)作一个两直角边的长分别为2,1的直角三角形.
(2)以原点为圆心,所画直角边的斜边长为半径画弧,交数轴的负半轴于一点A,点A即为表示-5的点.
能力提升创新练
15.(导学号:40732119)第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽如图甲,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
16.(导学号:40732120)在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(2,1),B(4,-1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10,则“宝藏”点的坐标是(5,2)和(1,-2).
17.(导学号:40732121)如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4 m,高 3 m,长20 m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,则阳光透过的最大面积为100 m2.?
18.(导学号:40732122)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行10米.
19.(导学号:40732123)如图的△ABC是小新家门口的一块空地,三边的长分别是AB=13米,BC=14米,AC=15米,现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮,则共需要费用4 200元.?
20.(导学号:40732124)(中考·广安)如图有4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个一直角边长为4,面积为6的直角三角形;
(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形;
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;
(4)画一个一边长为22,面积为6的等腰三角形.
解:所画图形如图所示.(答案不唯一)
21.(导学号:40732125)一个寻宝探险小队,从A处出发探寻宝藏,他们向正东行走4 km到达C点,然后又向正北行走 2.5 km 到达D点,接着他们又向正东继续行走 2 km 到达E点,最后他们又向正北前进了 5.5 km,才找到了宝藏,你能准确地求出宝藏藏匿点距离出发点多少千米吗?
解:如图所示,求宝藏藏匿点距离出发点多少千米,实际上就是求AB的长度,延长AC,BE相交于F.
根据题意,得AF=4+2=6(km),BF=2.5+5.5=8(km).
由勾股定理,得AB2=AF2+BF2=62+82=102.
∴AB=10 km.∴宝藏藏匿点距离出发点10 km.
22.(导学号:40732126)如图,在某笔直的公路上有A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在公路的AB段上建一个土特产收购站E,使得C,D两村到收购站E的距离相等,则收购站E应建在离A点多远处?
解:设AE=x,则BE=25-x.
在Rt△ADE中,DE2=152+x2.
在Rt△CBE中,CE2=102+(25-x)2.
∵CE=ED,∴152+x2 =102+(25-x)2.
解得x=10,即AE=10 km.
∴收购站E应建在离A点10 km的位置.
23.(导学号:40732127)如图,有一架长2.5米的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯子底端距离墙底端0.7米.若梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯子底端将向左滑动多少米?
解:∵∠AOB=90°,
在Rt△OAB中,
由勾股定理,得AB2=OA2+OB2,
∴2.52=0.72+OB2.
∴OB=2.4.
∴OD=OB-BD=2.4-0.4=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD2=OC2+OD2,即2.52=OC2+22.
∴OC=1.5.
∴AC=OC-OA=1.5-0.7=0.8.
∴梯子底端将向左滑动0.8米.
24.(导学号:40732128)如图,两只猴在树上的点A处戏耍,在距离树的底部B 20米的C处有一水池,它们准备到池里喝水,一只猴从树上滑下走到池边,另一只猴则爬高5米到树的顶端D处直接跃入池中,如果两猴经过的路程相同,求树高BD.
解:由题意,知AD=5,BC=20.
设BD=x米,则AB=(x-5)米.
由AD+DC=AB+BC,得5+DC= x-5+20,
∴DC=x+10.
由勾股定理,得BD2+BC2=DC2,
∴x2+202=(x+10)2,解得x=15.
∴树高BD为15米.
中考考场必刷练
25.(导学号:40732129)(中考·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为x2+32=(10-x)2.
第25题图
第26题图
26.(导学号:40732130)(中考·吉林)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为(-1,0).
27.(导学号:40732131)(中考·黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度不计).
2020春人教版八下数学同步精练
17.1.2 勾股定理的应用（答案版）
第2课时
基础知识梳理练
1.利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题.如长度、高度、距离、面积、体积等问题往往需要用勾股定理来解决.
2.对于长度为2,3,5,7,…的线段,一般可借助于数轴,通过构造直角三角形,利用勾股定理来解决.
教材要点分类练
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
3.(40732107)如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是(D)
A.5 m B.12 m C.13 m D.18 m
4.(40732108)现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行,蜗牛的速度为14厘米/分,乌龟的速度为48厘米/分,5分钟后,蜗牛和乌龟的直线距离为(B)
A.300厘米 B.250厘米
C.200厘米 D.150厘米
5.(40732109)如图,有一个边长为20 cm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,则圆盖的直径(结果保留整数)至少是(C)
A.20 cm B.28 cm C.29 cm D.40 cm
6.(40732110)如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是20 cm,长都是50 cm,宽都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从A点出发到点B,其爬行的最短路线的长度是(C)
A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm
第6题图
第7题图
7.(40732111)如图所示的是一个十字路口,O是两条公路的交点,点A,B,C,D表示的是公路上的四辆车,若OC=8 m,AC=17 m,AB=5 m,BD=105 m,则C,D两辆车之间的距离为(D)
A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m
8.(40732112)如图,在水池的正中央有一根芦苇,池底长16尺,它高出水面2尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则这根芦苇的长度是(D)
A.14尺 B.15尺 C.16尺 D.17尺
9.(40732113)如图,一个长、宽、高分别为4 m,3 m,12 m的长方体盒子能放下的最长木棒的长度为(C)
A.11 m B.12 m
C.13 m D.14 m
10.(40732114)如图,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的长方形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用(D)
A.9 m B.7 m C.5 m D.3 m
11.(40732115)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径为5 cm,高为12 cm,上底面中心有一个小圆孔,一条长为20 cm到达底部的直吸管在罐外部分长度a cm(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)的范围是(C)
A.8≤a≤15 B.5≤a≤8
C.7≤a≤8 D.7≤a≤15
12.(40732116)如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为42 dm.?
知识点二 利用勾股定理作长度为2,3,…的无理数的线段
13.(40732117)如图,数轴上点A表示的数是-1,原点O是线段AB的中点,∠BAC=30°,∠ABC=90°,以点A为圆心,AC为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是(D)
A.233-1 B.233
C.433 D.433-1
14.(40732118)在数轴上作出表示-5的点.
解:如图所示:
(1)作一个两直角边的长分别为2,1的直角三角形.
(2)以原点为圆心,所画直角边的斜边长为半径画弧,交数轴的负半轴于一点A,点A即为表示-5的点.
能力提升创新练
15.(40732119)第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽如图甲,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
16.(40732120)在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(2,1),B(4,-1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10,则“宝藏”点的坐标是(5,2)和(1,-2).
17.(40732121)如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4 m,高 3 m,长20 m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,则阳光透过的最大面积为100 m2.?
18.(40732122)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行10米.
19.(40732123)如图的△ABC是小新家门口的一块空地,三边的长分别是AB=13米,BC=14米,AC=15米,现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮,则共需要费用4 200元.?
20.(40732124)(中考·广安)如图有4张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个一直角边长为4,面积为6的直角三角形;
(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形;
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;
(4)画一个一边长为22,面积为6的等腰三角形.
解:所画图形如图所示.(答案不唯一)
21.(40732125)一个寻宝探险小队,从A处出发探寻宝藏,他们向正东行走4 km到达C点,然后又向正北行走 2.5 km 到达D点,接着他们又向正东继续行走 2 km 到达E点,最后他们又向正北前进了 5.5 km,才找到了宝藏,你能准确地求出宝藏藏匿点距离出发点多少千米吗?
解:如图所示,求宝藏藏匿点距离出发点多少千米,实际上就是求AB的长度,延长AC,BE相交于F.
根据题意,得AF=4+2=6(km),BF=2.5+5.5=8(km).
由勾股定理,得AB2=AF2+BF2=62+82=102.
∴AB=10 km.∴宝藏藏匿点距离出发点10 km.
22.(40732126)如图,在某笔直的公路上有A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在公路的AB段上建一个土特产收购站E,使得C,D两村到收购站E的距离相等,则收购站E应建在离A点多远处?
解:设AE=x,则BE=25-x.
在Rt△ADE中,DE2=152+x2.
在Rt△CBE中,CE2=102+(25-x)2.
∵CE=ED,∴152+x2 =102+(25-x)2.
解得x=10,即AE=10 km.
∴收购站E应建在离A点10 km的位置.
23.(40732127)如图,有一架长2.5米的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯子底端距离墙底端0.7米.若梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯子底端将向左滑动多少米?
解:∵∠AOB=90°,
在Rt△OAB中,
由勾股定理,得AB2=OA2+OB2,
∴2.52=0.72+OB2.
∴OB=2.4.
∴OD=OB-BD=2.4-0.4=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD2=OC2+OD2,即2.52=OC2+22.
∴OC=1.5.
∴AC=OC-OA=1.5-0.7=0.8.
∴梯子底端将向左滑动0.8米.
24.(40732128)如图,两只猴在树上的点A处戏耍,在距离树的底部B 20米的C处有一水池,它们准备到池里喝水,一只猴从树上滑下走到池边,另一只猴则爬高5米到树的顶端D处直接跃入池中,如果两猴经过的路程相同,求树高BD.
解:由题意,知AD=5,BC=20.
设BD=x米,则AB=(x-5)米.
由AD+DC=AB+BC,得5+DC= x-5+20,
∴DC=x+10.
由勾股定理,得BD2+BC2=DC2,
∴x2+202=(x+10)2,解得x=15.
∴树高BD为15米.
中考考场必刷练
25.(40732129)(中考·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股“章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为x2+32=(10-x)2.
第25题图
第26题图
26.(40732130)(中考·吉林)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为(-1,0).
27.(40732131)(中考·黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度不计).
人教版八下数学 学霸笔记整理17.1 勾股定理
1.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.证明勾股定理几种常见的方法:
(1)如图①,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得(a+b)2=c2+4×12ab,即a2+b2=c2.
(2)如图②,用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的正方形.
由“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”,得c2=(a-b)2+4×12ab,即a2+b2=c2.
(3)如图③,用两个完全相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c)拼成如图所示的梯形.
由“梯形面积等于3个直角三角形面积之和”,得12(a+b)(a+b)=2×12ab+12c2,即a2+b2=c2.
3.利用勾股定理可以解决实际生活中与直角三角形有关的许多问题.如长度、高度、距离、面积、体积等问题往往需要用勾股定理来解决.
4.对于作长度为2,3,5,7,…的线段,一般可借助于数轴,通过构造直角三角形,利用勾股定理来解决.
1.使用勾股定理的前提条件是直角三角形,对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.
2.利用勾股定理必须分清谁是直角边,谁是斜边.尤其是在记忆a2+b2=c2时,此关系式只有当c是斜边时才成立.若b是斜边,则关系式是a2+c2=b2;若a是斜边,则关系式是b2+c2=a2.
3.利用勾股定理可以在数轴上画出长度为无理数的线段(表示无理数的点),但是并不是所有的无理数都能用尺规作图的方法在数轴上作出对应的点,如π,0.101 001 000 1…等.
1.规律方法:(1)勾股定理有许多变形,如:若a2+b2=c2,则a2=c2-b2,b2= c2-a2 ,c=a2+b2,b=c2-a2,a=c2-b2.
(2)作一条长度等于已知无理数的线段的方法不一定唯一,如8,可以利用直角边分别为2和2的直角三角形得到,也可以借助于已有的直角边为1和7的直角三角形得到,但是尽量利用直角边长为整数的直角三角形解决.
(3)在数轴上表示无理数的方法:
①在数轴上,以原点为直角三角形一个锐角的顶点,利用勾股定理作出边长为无理数的线段;
②以原点为圆心,以作出的对应线段的长为半径画弧,如果是正无理数,那么选择与数轴的正方向的交点;如果是负无理数,那么选择与数轴的负方向的交点.
2.解题技巧:(1)利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式,从而推导出勾股定理.
(2)在应用勾股定理解决实际问题时,需要把实际问题抽象成数学问题,根据题意画出符合实际的直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理这一数学模型,利用数形结合的思想方法解决.
[典例精析]
【例题】 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明以灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明 a2+b2=c2,请你写出证明过程.
分析:根据“S五边形面积=S梯形1+S梯形2=S正方形+2S直角三角形”即可求解.
解:如图所示:
∵S五边形ABCDE=S梯形AGDE+S梯形BCDG=S正方形CDEF+2S直角三角形AEF,
∴12(b+a+b)·b+12(a+a+b)·a=c2+2×12ab.
∴12ab+b2+a2+12ab=c2+ab.
∴a2+b2=c2.
解题总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.
