2020春人教版八下数学同步精练17.2 勾股定理的逆定理（打印版）
基础知识梳理练
1.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
3.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
教材要点分类练
知识点一 互逆命题与互逆定理
5.(40732132)下列定理没有逆定理的是 (B)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
6.(40732133)写出下列命题的逆命题,并判断其真假:
(1)若a=b,则a3=b3;
(2)个位数是0的数能被2整除.
解:(1)“若a=b,则a3=b3”的逆命题为:若a3=b3,则a=b.是真命题.
(2)“个位数是0的数能被2整除”的逆命题为:能被2整除的数的个位数是0.是假命题.
知识点二 勾股定理的逆定理
7.(40732134)下列长度的线段中,能构成直角三角形的一组是(D)
A.3,4,5 B.6,7,8
C.12,25,27 D.23,25,42
8.(40732135)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(D)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
9.(40732136)五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是(C)
10.(40732137)三角形的三边长分别为6,8,10,那它最短边上的高为(D)
A.4.8 B.5 C.6 D.8
11.(40732138)已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足等式:(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
12.(40732139)如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE,AF,则∠EAF的度数为(B)
A.30° B.45° C.60° D.35°
13.(40732140)已知△ABC的三边长分别为a,b,c且a+b=4,ab=1,c=14,则△ABC的形状为(C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
14.(40732141)若直角三角形的三边长为偶数,则这三边的边长可能是(B)
A.3,4,5 B.6,8,10
C.7,24,29 D.8,12,20
15.(40732142)在△ABC中,AB=12,BC=9,则当AC=15或37时,△ABC是直角三角形.
知识点三 勾股数
16.(40732143)下列几组数中,是勾股数的是 (B)
A.1,2,3 B.15,8,17
C.13,14,15 D.35,45,1
17.(40732144)观察下列表格,请你写出b,c的值:b=84,c=85.
列举 猜想
3,4,5 32=4+5
5,12,13 52=12+13
7,24,25 72=24+25
… …
13、b、c 132=b+c
能力提升创新练
18.(40732145)如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,图中有没有能构成一个直角三角形三边的线段?
解:∵AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,
EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
∴AB2+EF2=GH2.
∴图中有能构成一个直角三角形三边的线段,分别是AB,EF,GH.
19.(40732146)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别用a,b,c来表示,且其满足关系:a+b-14+|a-b+2|+(c-10)2=0,试判断△ABC的形状.
解:∵a+b-14+|a-b+2|+(c-10)2=0,
a+b-14≥0,|a-b+2|≥0,(c-10)2≥0,
∴a+b-14=0,a-b+2=0,c-10=0.解得a=6,b=8,c=10.
∵62+82=102,∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
20.(40732147)在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠A=60°,BC=25,CD=4.求∠ADC的度数.
解:如图,连接BD,
∵AB=AD=2,
∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=2,∠ADB=60°.
∵BC=25,CD=4,
∴BD2+CD2=22+42=20,BC2=(25)2=20.
∴BD2+CD2=BC2.∴∠BDC=90°.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°.
21.(40732148)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.
解:如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
∴AC=AB2+BC2=5.
∵CD=2,AD=3,
∴AC2+CD2=5+4=9,AD2=9.
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=12AB·BC+12AC·CD
=12×1×2+12×5×2=1+5.
∴四边形ABCD的面积为1+5.
22.(40732149)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)请判断△BCD的形状,并说明理由;
(2)求AB的长.
解:(1)∵CD2+BD2=81+144=225,BC2=225,
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形.
(2)设AB=x,则AC=x,AD=x-9,
由勾股定理,得x2=(x-9)2+122.
解得x=252.∴AB的长为252.
23.(40732150)满足方程x2+y2=z2的正整数x,y,z,我们称它们为勾股数.
(1)已知x=m2-n2,y=2mn,z=m2+n2,请证明x,y,z是一组勾股数;
(2)求有一个数是16的一组勾股数.
解:(1)∵x2+y2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4,z2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,∴x2+y2=z2.
∴x,y,z是一组勾股数.
(2)答案不唯一,如:设y=16,则y=16=2×8×1.取m=8,n=1,则x=82-1=63,z=82+1=65.
∴有一个数是16的一组勾股数是63,16,65.
24.(40732151)如图,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24,求:
(1)AC的长度;
(2)△ABC的面积.
解:(1)∵在△ABC中,BC=20,AD是边BC上的中线,
∴BD=12BC=12×20=10.
∵在△ABD中,AB=26,
BD=10,AD=24,
∴BD2+AD2=AB2,
即102+242=262.
∴△ABD是直角三角形.∴AD⊥BC.
∵AD是边BC上的中线,
∴△ABC是等腰三角形.∴AC=AB=26.
(2)∵在△ABC中,BC=20,AD=24,
∴S△ABC=12BC·AD=12×20×24=240.
25.(40732152)李叔叔想要检测图中雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长是50厘米,AD边垂直于AB边吗?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验BC边是否垂直于AB边吗?
解:(1)可用卷尺分别量得AD,AB,BD的长度,通过计算只要满足AD2+AB2=BD2,则说明△ABD是直角三角形,因此,有AD⊥AB.同理,也可类似地检测BC边是否垂直底边AB.
(2)因为302+402=502,即AD2+AB2=BD2,所以△ABD是直角三角形,且∠A=90°,所以AD⊥AB.
(3)可分别在AB,BC上量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.
26.(40732153)据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年,商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三,股四,弦五”.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.计算 12(9-1),12(9+1)与12(25-1),12(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合理猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以证明;
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示它们的股和弦.
解:(1)∵12(9-1)=4,12(9+1)=5;12(25-1)=12,12(25+1)=13,∴7,24,25的股的算式为12(49-1)=12(72-1),弦的算式为12(49+1)=12(72+1).
(2)当n为奇数且n≥3,勾、股、弦的代数式分别为:n,12(n2-1),12(n2+1).猜想关系式不唯一,例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2.
证明关系式①:
弦-股=12(n2+1)-12(n2-1)=12[(n2+1)-(n2-1)]=1.
或证明关系式②:
勾2+股2=n2+12(n2-1)2=14n4+12n2+14=14(n2+1)2=弦2.
∴猜想得证.
(3)当m为偶数且m>4时,股、弦的代数式分别为:m22-1,m22+1.
中考考场必刷练
27.(40732154)(中考·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
28.(40732155)(中考·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(A)
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
专题一 勾股定理及其逆定理
1.(40732156)如图,四边形OABC是正方形,以数轴原点O为圆心,以OB的长为半径画弧交数轴正半轴于D点,则D点表示的数等于(D)
A.32 B.12
C.3 D.2
2.(40732157)已知直角三角形的周长是2+6,斜边是2,则该三角形的面积是(C)
A.14 B.34
C.12 D.1
3.(40732158)如图,长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm至D点,则橡皮筋被拉长了(A)
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
4.(40732159)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(D)
A.3,4,4 B.3,4,5
C.3,4,7 D.3,4,6
5.(40732160)(1)我们知道3,4,5是一组勾股数,那么3k,4k,5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?答:是.
(2)一般地,如果a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?答:是.
6.(40732161)如图,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,已知S1=8π,S3=92π,则S2=252π.
专题二 勾股定理及其逆定理的应用
7.(40732162)在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险区域,是否需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
解:如图,过C作CD⊥AB于D,
∵CA⊥CB,
∴△ABC是直角三角形.
∵BC=400米,AC=300米,
∴AB=AC2+BC2=500米.
∵12AB·CD=12BC·AC,∴CD=240米.
∵240米<250米,
∴有危险区域,因此AB段公路需要暂时封锁.
8.(40732163)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C处将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,求:甲巡逻艇的航向.
解:如图所示,由题意可知AC=120×660=12(海里),
BC=50×660=5(海里),AB=13海里,∠EBC=40°.
∵AC2+BC2=122+52=169,AB2=132=169.∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
过C作CF∥BE,则∠BCF=∠CBE=40°,
∴∠DAC=∠ACF=50°.
∴甲的航向为北偏东50°.
2020春人教版八下数学同步精练
17.2 勾股定理的逆定理（答案版）
基础知识梳理练
1.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
3.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
教材要点分类练
知识点一 互逆命题与互逆定理
5.(40732132)下列定理没有逆定理的是 (B)
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
6.(40732133)写出下列命题的逆命题,并判断其真假:
(1)若a=b,则a3=b3;
(2)个位数是0的数能被2整除.
解:(1)“若a=b,则a3=b3”的逆命题为:若a3=b3,则a=b.是真命题.
(2)“个位数是0的数能被2整除”的逆命题为:能被2整除的数的个位数是0.是假命题.
知识点二 勾股定理的逆定理
7.(40732134)下列长度的线段中,能构成直角三角形的一组是(D)
A.3,4,5 B.6,7,8
C.12,25,27 D.23,25,42
8.(40732135)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(D)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
9.(40732136)五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是(C)
10.(40732137)三角形的三边长分别为6,8,10,那它最短边上的高为(D)
A.4.8 B.5 C.6 D.8
11.(40732138)已知三角形的三边长分别为a,b,c,且满足等式:(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
12.(40732139)如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接AE,AF,则∠EAF的度数为(B)
A.30° B.45° C.60° D.35°
13.(40732140)已知△ABC的三边长分别为a,b,c且a+b=4,ab=1,c=14,则△ABC的形状为(C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
14.(40732141)若直角三角形的三边长为偶数,则这三边的边长可能是(B)
A.3,4,5 B.6,8,10
C.7,24,29 D.8,12,20
15.(40732142)在△ABC中,AB=12,BC=9,则当AC=15或37时,△ABC是直角三角形.
知识点三 勾股数
16.(40732143)下列几组数中,是勾股数的是 (B)
A.1,2,3 B.15,8,17
C.13,14,15 D.35,45,1
17.(40732144)观察下列表格,请你写出b,c的值:b=84,c=85.
列举 猜想
3,4,5 32=4+5
5,12,13 52=12+13
7,24,25 72=24+25
… …
13、b、c 132=b+c
能力提升创新练
18.(40732145)如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,图中有没有能构成一个直角三角形三边的线段?
解:∵AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,
EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,
∴AB2+EF2=GH2.
∴图中有能构成一个直角三角形三边的线段,分别是AB,EF,GH.
19.(40732146)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别用a,b,c来表示,且其满足关系:a+b-14+|a-b+2|+(c-10)2=0,试判断△ABC的形状.
解:∵a+b-14+|a-b+2|+(c-10)2=0,
a+b-14≥0,|a-b+2|≥0,(c-10)2≥0,
∴a+b-14=0,a-b+2=0,c-10=0.解得a=6,b=8,c=10.
∵62+82=102,∴a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
20.(40732147)在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠A=60°,BC=25,CD=4.求∠ADC的度数.
解:如图,连接BD,
∵AB=AD=2,
∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=2,∠ADB=60°.
∵BC=25,CD=4,
∴BD2+CD2=22+42=20,BC2=(25)2=20.
∴BD2+CD2=BC2.∴∠BDC=90°.
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°.
21.(40732148)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.
解:如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
∴AC=AB2+BC2=5.
∵CD=2,AD=3,
∴AC2+CD2=5+4=9,AD2=9.
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=12AB·BC+12AC·CD
=12×1×2+12×5×2=1+5.
∴四边形ABCD的面积为1+5.
22.(40732149)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)请判断△BCD的形状,并说明理由;
(2)求AB的长.
解:(1)∵CD2+BD2=81+144=225,BC2=225,
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形.
(2)设AB=x,则AC=x,AD=x-9,
由勾股定理,得x2=(x-9)2+122.
解得x=252.∴AB的长为252.
23.(40732150)满足方程x2+y2=z2的正整数x,y,z,我们称它们为勾股数.
(1)已知x=m2-n2,y=2mn,z=m2+n2,请证明x,y,z是一组勾股数;
(2)求有一个数是16的一组勾股数.
解:(1)∵x2+y2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4,z2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,∴x2+y2=z2.
∴x,y,z是一组勾股数.
(2)答案不唯一,如:设y=16,则y=16=2×8×1.取m=8,n=1,则x=82-1=63,z=82+1=65.
∴有一个数是16的一组勾股数是63,16,65.
24.(40732151)如图,在△ABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24,求:
(1)AC的长度;
(2)△ABC的面积.
解:(1)∵在△ABC中,BC=20,AD是边BC上的中线,
∴BD=12BC=12×20=10.
∵在△ABD中,AB=26,
BD=10,AD=24,
∴BD2+AD2=AB2,
即102+242=262.
∴△ABD是直角三角形.∴AD⊥BC.
∵AD是边BC上的中线,
∴△ABC是等腰三角形.∴AC=AB=26.
(2)∵在△ABC中,BC=20,AD=24,
∴S△ABC=12BC·AD=12×20×24=240.
25.(40732152)李叔叔想要检测图中雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB,但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长是50厘米,AD边垂直于AB边吗?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验BC边是否垂直于AB边吗?
解:(1)可用卷尺分别量得AD,AB,BD的长度,通过计算只要满足AD2+AB2=BD2,则说明△ABD是直角三角形,因此,有AD⊥AB.同理,也可类似地检测BC边是否垂直底边AB.
(2)因为302+402=502,即AD2+AB2=BD2,所以△ABD是直角三角形,且∠A=90°,所以AD⊥AB.
(3)可分别在AB,BC上量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.
26.(40732153)据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年,商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三,股四,弦五”.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.计算 12(9-1),12(9+1)与12(25-1),12(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合理猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以证明;
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m>4)的代数式来表示它们的股和弦.
解:(1)∵12(9-1)=4,12(9+1)=5;12(25-1)=12,12(25+1)=13,∴7,24,25的股的算式为12(49-1)=12(72-1),弦的算式为12(49+1)=12(72+1).
(2)当n为奇数且n≥3,勾、股、弦的代数式分别为:n,12(n2-1),12(n2+1).猜想关系式不唯一,例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2.
证明关系式①:
弦-股=12(n2+1)-12(n2-1)=12[(n2+1)-(n2-1)]=1.
或证明关系式②:
勾2+股2=n2+12(n2-1)2=14n4+12n2+14=14(n2+1)2=弦2.
∴猜想得证.
(3)当m为偶数且m>4时,股、弦的代数式分别为:m22-1,m22+1.
中考考场必刷练
27.(40732154)(中考·南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)
A.3,4,5 B.2,3,4
C.4,6,7 D.5,11,12
28.(40732155)(中考·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(A)
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
专题一 勾股定理及其逆定理
1.(40732156)如图,四边形OABC是正方形,以数轴原点O为圆心,以OB的长为半径画弧交数轴正半轴于D点,则D点表示的数等于(D)
A.32 B.12
C.3 D.2
2.(40732157)已知直角三角形的周长是2+6,斜边是2,则该三角形的面积是(C)
A.14 B.34
C.12 D.1
3.(40732158)如图,长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm至D点,则橡皮筋被拉长了(A)
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
4.(40732159)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(D)
A.3,4,4 B.3,4,5
C.3,4,7 D.3,4,6
5.(40732160)(1)我们知道3,4,5是一组勾股数,那么3k,4k,5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?答:是.
(2)一般地,如果a,b,c是一组勾股数,那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗?答:是.
6.(40732161)如图,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,已知S1=8π,S3=92π,则S2=252π.
专题二 勾股定理及其逆定理的应用
7.(40732162)在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险区域,是否需要暂时封锁?请通过计算进行说明.
解:如图,过C作CD⊥AB于D,
∵CA⊥CB,
∴△ABC是直角三角形.
∵BC=400米,AC=300米,
∴AB=AC2+BC2=500米.
∵12AB·CD=12BC·AC,∴CD=240米.
∵240米<250米,
∴有危险区域,因此AB段公路需要暂时封锁.
8.(40732163)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C处将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,求:甲巡逻艇的航向.
解:如图所示,由题意可知AC=120×660=12(海里),
BC=50×660=5(海里),AB=13海里,∠EBC=40°.
∵AC2+BC2=122+52=169,AB2=132=169.∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
过C作CF∥BE,则∠BCF=∠CBE=40°,
∴∠DAC=∠ACF=50°.
∴甲的航向为北偏东50°.
人教版八下数学 学霸笔记整理17.2 勾股定理的逆定理
1.一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.
3.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.
1.一个命题一定有逆命题,原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题,逆命题不一定是假命题.
2.由于一个定理一定是命题,因而一定有逆命题,但是,定理的逆命题不一定正确,所以定理不一定有逆定理.
1.规律方法:利用勾股定理的逆定理,可以由三角形三边的长度判定它是否构成直角三角形.已知三角形的三边的长,判断三角形是不是直角三角形时,由于直角三角形的最大边是斜边,所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以.如果等式成立,该三角形是直角三角形,否则就不是直角三角形.
2.解题技巧:(1)常见的勾股数组有:3,4,5;5,12,13;8,15,17;7,24,25;20,21,29.
(2)一组勾股数中各数的相同的整数倍得到一组新的勾股数.如,3,4,5是一组勾股数,3,4,5各数的2倍6,8,10也是勾股数,3,4,5的3倍9,12,15也是勾股数,等等.
[典例精析]
【例1】 写出下列命题的逆命题,并指出逆命题的真假性:
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)全等三角形的对应角相等.
分析:把题设与结论互换即可得到逆命题.分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论.
解:(1)逆命题:两直线平行,同位角相等;是真命题.
(2)逆命题:对应角相等的三角形全等;是假命题.
解题总结:一般地,原命题成立时,它的逆命题可能成立,也可能不成立.
【例2】 以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是( )
A.2,3,5 B.3,4,5
C.32,42,52 D.1,2,3
解析:∵(2)2+(3)2=(5)2,∴选项A中边长能组成直角三角形.而其他选项都不符合勾股定理的逆定理.故选A.
答案:A
解题总结:应用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法,其基本步骤为:
(1)确定最长边;
(2)计算最长边的平方及另两边的平方和;
(3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等,若相等,就是直角三角形;否则就不是直角三角形.
