2020春人教版八下数学同步精练
18.1.1 平行四边形的性质（打印版）
基础知识梳理练
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质1:平行四边形的对边相等.
3.平行四边形的性质2:平行四边形的对角相等.
4.如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
5.平行四边形的性质3:平行四边形的对角线互相平分.
教材要点分类练
知识点一 平行四边形的定义
6.(40732164)如图,在?ABCD中,EG∥AB,FH∥CD,则图中平行四边形的个数是(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
第6题图
第7题图
7.(40732165)如图,将?ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E的度数为(B)
A.102° B.112° C.122° D.92°
知识点二 平行四边形的性质1
8.(40732166)(中考·黔东南)如图,在?ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则?ABCD的周长为(D)
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
9.(40732167)在?ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=AD.
求证:∠BAE=∠CDF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD.
∴∠ABE=∠DCF.
又∵EF=AD,∴BC=EF.∴BE=CF.
在△ABE和△DCF中,
AB=DC,∠B=∠DCF,BE=CF,
∴△BAE≌△CDF.∴∠BAE=∠CDF.
知识点三 平行四边形的性质2
10.(40732168)(中考·常州)如图,在?ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB=40°.
11.(40732169)如图,在?ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点.求证:△ABE≌△CDF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,AD=BC.
∵点E,F分别为边BC,AD的中点,
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
AB=CD,∠B=∠D,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
知识点四 两条平行线之间的距离
12.(40732170)如图,a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥b,如果AB=5 cm,AC=4 cm,那么平行线a,b之间的距离为(B)
A.5 cm B.4 cm
C.3 cm D.不能确定
13.(40732171)如图,AD∥BC,若△ABC的面积是15,则△DBC的面积是(D)
A.12 B.13
C.14 D.15
知识点五 平行四边形的性质3
14.(40732172)(中考·泰州)如图,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为14.
15.(40732173)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF分别交AD,BC于点E,F,求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.
能力提升创新练
16.(40732174)如图,已知?ABCD的对角线相交于点O,且AD>CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.
(1)若?ABCD的周长为12,求△CDM的周长;
(2)若∠ACM=36°,CA=CB,求∠ADC的度数.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,OA=OC.
∵?ABCD的周长为12,∴AD+CD=6.
∵OA=OC,OM⊥AC,∴AM=CM.
△CDM的周长=CM+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD=6.
(2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠ACM=36°.
∵CA=CB,∴∠CAB=∠ABC.
?ABCD中,AD∥BC,∴∠ABC+∠DAB=180°.
∴2∠ABC+36°=180°.解得∠ABC=72°.
∴∠ADC=∠ABC=72°.
17.(40732175)如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC,OA的长以及?ABCD的面积.
解:∵在?ABCD中,AD=8,∴BC=AD=8.
∵AC⊥BC,AB=10,
∴AC=AB2-BC2=102-82=6.
∴OA=12AC=3.
∴S?ABCD=BC·AC=8×6=48.
18.(40732176)如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB上,且四边形AEBF是平行四边形.请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹,不写画法),并说明理由.
解:作图略(画法:连接AB,EF相交于C点,画射线OC,即为所求的角平分线).
理由:∵四边形AEBF是平行四边形,∴AC=BC.
∵OA=OB,∴OC平分∠AOB.
19.(40732177)如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于点F,G,连接BE.
(1)求证:△AFB≌△EFC;
(2)判断CF与AD的关系,并说明理由.
(1)证明:在?ABCD中,
∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠CEF,
∠ABF=∠ECF.
∵AB=CD,CE=CD,
∴AB=CE.
在△AFB和△EFC中,
∠BAF=∠CEF,AB=CE,∠ABF=∠ECF,
∴△AFB≌△EFC.
(2)解:CF??12AD.理由如下:
∵△AFB≌△EFC,∴CF=BF=12BC.
在?ABCD中,BC??AD,∴CF??12AD.
20.(40732178)如图,在?ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB的延长线交于点F.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF.
∴∠ADE =∠F.
∵点E是AB边的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BFE中,
∠ADE =∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE.
(2)解:CE⊥DF.理由如下:
由(1)知,△ADE≌△BFE.∴DE=FE,
即点E是DF的中点,∠ADE =∠F.
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE =∠CDF.
∴∠CDF=∠F.∴CD=CF.∴CE⊥DF.
21.(40732179)已知四边形ABCD是平行四边形(如图),把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A'BD.
(1)利用尺规作出△A'BD(要求保留作图痕迹);
(2)设DA'与BC交于点E,求证:△BA'E≌△DCE.
(1)解:如图:
①作∠A'BD=∠ABD;
②在射线BA'上取BA'=BA;
③连接DA';
则△A'BD即为所求.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∠BAD=∠C.
由折叠的性质可得
∠BA'D=∠BAD,A'B=AB.
∴∠BA'D=∠C,A'B=CD.
在△BA'E和△DCE中,
∠BA'E=∠C,∠BEA'=∠DEC,A'B=CD,
∴△BA'E≌△DCE.
22.(40732180)如图,在?ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连接DG,B'G.求证:
(1)∠1=∠2;
(2)DG=B'G.
证明:(1)∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,
∴∠2=∠FEC.
由折叠得∠1=∠FEC.∴∠1=∠2.
(2)∵∠1=∠2,∴EG=GF.
∵AB∥DC,∴∠DEG=∠EGF.
由折叠得EC'∥B'F.∴∠B'FG=∠EGF.
∵DE=BF=B'F,∴DE=B'F.
∴△DEG≌△B'FG.∴DG=B'G.
中考考场必刷练
23.(40732181)(中考·宿迁)如图,在?ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H,求证:AG=CH.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠F=∠E.
∵BE=DF,∴AD+DF=CB+BE,即AF=CE.
在△AGF和△CHE中,
∵∠A=∠C,AF=CE,∠F=∠E,
∴△AGF≌△CHE,∴AG=CH.
24.(40732182)(中考·无锡)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=AB,
∠C=∠A.
∵E,F分别是边BC,AD的中点,
∴CE=12BC,AF=12AD,∴AF=CE,
∴△ABF≌△CDE,∴∠ABF=∠CDE.
25.(40732183)(中考·福建)如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
∵∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
2020春人教版八下数学同步精练
18.1.1 平行四边形的性质（答案版）
基础知识梳理练
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质1:平行四边形的对边相等.
3.平行四边形的性质2:平行四边形的对角相等.
4.如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
5.平行四边形的性质3:平行四边形的对角线互相平分.
教材要点分类练
知识点一 平行四边形的定义
6.(40732164)如图,在?ABCD中,EG∥AB,FH∥CD,则图中平行四边形的个数是(D)
A.3 B.4 C.5 D.6
第6题图
第7题图
7.(40732165)如图,将?ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E的度数为(B)
A.102° B.112° C.122° D.92°
知识点二 平行四边形的性质1
8.(40732166)(中考·黔东南)如图,在?ABCD中,已知AC=4 cm,若△ACD的周长为13 cm,则?ABCD的周长为(D)
A.26 cm B.24 cm C.20 cm D.18 cm
9.(40732167)在?ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=AD.
求证:∠BAE=∠CDF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD.
∴∠ABE=∠DCF.
又∵EF=AD,∴BC=EF.∴BE=CF.
在△ABE和△DCF中,
AB=DC,∠B=∠DCF,BE=CF,
∴△BAE≌△CDF.∴∠BAE=∠CDF.
知识点三 平行四边形的性质2
10.(40732168)(中考·常州)如图,在?ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB=40°.
11.(40732169)如图,在?ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点.求证:△ABE≌△CDF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,AD=BC.
∵点E,F分别为边BC,AD的中点,
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
AB=CD,∠B=∠D,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
知识点四 两条平行线之间的距离
12.(40732170)如图,a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,AC⊥b,如果AB=5 cm,AC=4 cm,那么平行线a,b之间的距离为(B)
A.5 cm B.4 cm
C.3 cm D.不能确定
13.(40732171)如图,AD∥BC,若△ABC的面积是15,则△DBC的面积是(D)
A.12 B.13
C.14 D.15
知识点五 平行四边形的性质3
14.(40732172)(中考·泰州)如图,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为14.
15.(40732173)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF分别交AD,BC于点E,F,求证:AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF中,
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.
能力提升创新练
16.(40732174)如图,已知?ABCD的对角线相交于点O,且AD>CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.
(1)若?ABCD的周长为12,求△CDM的周长;
(2)若∠ACM=36°,CA=CB,求∠ADC的度数.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,OA=OC.
∵?ABCD的周长为12,∴AD+CD=6.
∵OA=OC,OM⊥AC,∴AM=CM.
△CDM的周长=CM+MD+CD=AM+MD+CD=AD+CD=6.
(2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠ACM=36°.
∵CA=CB,∴∠CAB=∠ABC.
?ABCD中,AD∥BC,∴∠ABC+∠DAB=180°.
∴2∠ABC+36°=180°.解得∠ABC=72°.
∴∠ADC=∠ABC=72°.
17.(40732175)如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC,OA的长以及?ABCD的面积.
解:∵在?ABCD中,AD=8,∴BC=AD=8.
∵AC⊥BC,AB=10,
∴AC=AB2-BC2=102-82=6.
∴OA=12AC=3.
∴S?ABCD=BC·AC=8×6=48.
18.(40732176)如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB上,且四边形AEBF是平行四边形.请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹,不写画法),并说明理由.
解:作图略(画法:连接AB,EF相交于C点,画射线OC,即为所求的角平分线).
理由:∵四边形AEBF是平行四边形,∴AC=BC.
∵OA=OB,∴OC平分∠AOB.
19.(40732177)如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于点F,G,连接BE.
(1)求证:△AFB≌△EFC;
(2)判断CF与AD的关系,并说明理由.
(1)证明:在?ABCD中,
∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠CEF,
∠ABF=∠ECF.
∵AB=CD,CE=CD,
∴AB=CE.
在△AFB和△EFC中,
∠BAF=∠CEF,AB=CE,∠ABF=∠ECF,
∴△AFB≌△EFC.
(2)解:CF??12AD.理由如下:
∵△AFB≌△EFC,∴CF=BF=12BC.
在?ABCD中,BC??AD,∴CF??12AD.
20.(40732178)如图,在?ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB的延长线交于点F.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF.
∴∠ADE =∠F.
∵点E是AB边的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BFE中,
∠ADE =∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE.
(2)解:CE⊥DF.理由如下:
由(1)知,△ADE≌△BFE.∴DE=FE,
即点E是DF的中点,∠ADE =∠F.
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE =∠CDF.
∴∠CDF=∠F.∴CD=CF.∴CE⊥DF.
21.(40732179)已知四边形ABCD是平行四边形(如图),把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A'BD.
(1)利用尺规作出△A'BD(要求保留作图痕迹);
(2)设DA'与BC交于点E,求证:△BA'E≌△DCE.
(1)解:如图:
①作∠A'BD=∠ABD;
②在射线BA'上取BA'=BA;
③连接DA';
则△A'BD即为所求.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∠BAD=∠C.
由折叠的性质可得
∠BA'D=∠BAD,A'B=AB.
∴∠BA'D=∠C,A'B=CD.
在△BA'E和△DCE中,
∠BA'E=∠C,∠BEA'=∠DEC,A'B=CD,
∴△BA'E≌△DCE.
22.(40732180)如图,在?ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B',C'处,线段EC'与线段AF交于点G,连接DG,B'G.求证:
(1)∠1=∠2;
(2)DG=B'G.
证明:(1)∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,
∴∠2=∠FEC.
由折叠得∠1=∠FEC.∴∠1=∠2.
(2)∵∠1=∠2,∴EG=GF.
∵AB∥DC,∴∠DEG=∠EGF.
由折叠得EC'∥B'F.∴∠B'FG=∠EGF.
∵DE=BF=B'F,∴DE=B'F.
∴△DEG≌△B'FG.∴DG=B'G.
中考考场必刷练
23.(40732181)(中考·宿迁)如图,在?ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H,求证:AG=CH.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C,
∴∠F=∠E.
∵BE=DF,∴AD+DF=CB+BE,即AF=CE.
在△AGF和△CHE中,
∵∠A=∠C,AF=CE,∠F=∠E,
∴△AGF≌△CHE,∴AG=CH.
24.(40732182)(中考·无锡)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=AB,
∠C=∠A.
∵E,F分别是边BC,AD的中点,
∴CE=12BC,AF=12AD,∴AF=CE,
∴△ABF≌△CDE,∴∠ABF=∠CDE.
25.(40732183)(中考·福建)如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中,
∵∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
人教版八下数学 学霸笔记整理18.1.1 平行四边形的性质
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“?”表示,如图①,平行四边形ABCD记作“?ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
2.平行四边形的对边相等.如图①,若四边形ABCD是平行四边形,则AB=CD,AD=BC.
3.平行四边形的对角相等.如图①,若四边形ABCD是平行四边形,则∠A=∠C,∠D=∠B.
4.如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.如图②,a∥b,A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是直线a,b之间的距离.
5.平行四边形的对角线互相平分.如图③,若四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于O点,则OA=OC,OB=OD.
1.用符号“?”表示平行四边形时,字母的排列要按一定的顺序,可以按逆时针方向排列,也可以按顺时针方向排列,但不能打乱顺序排列.如图①的平行四边形不能表示成?ACBD,也不能表示成?ADBC.
2.平行四边形的对边平行且相等,不要把平行四边形的对边相等误认为成邻边相等.
1.规律方法:平行四边形的性质可以从边、角和对角线三个方面说明:
平行四边形边:对边平行且相等角:对角相等,邻角互补对角线:对角线互相平分
2.解题技巧:平行四边形的定义的作用:
①“判定”作用:在四边形ABCD中,若满足AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.
②“性质”作用:若四边形ABCD是平行四边形,则两组对边分别平行,即AB∥CD,AD∥BC.
3.口诀记忆:平行四边形的性质口诀:
平行四边形,形状不稳定.若是三角形,永远不变更.
平行四边形,对角定相等.再看其对边,平行且相等.
注意对角线,互相能平分.
[典例精析]
【例题】 如图,在?ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,AC垂直于BC,且AB=10 cm,AD=8 cm.求:
(1)AC的长;
(2)OB的长.
分析:(1)根据平行四边形的性质得到BC=AD=8 cm,根据勾股定理可求得AC;(2)根据AC可求得OC,利用勾股定理可求得OB.
解:(1)在?ABCD中,
∵AD=8 cm,∴BC=AD=8 cm.
∵AC垂直于BC,∴∠ACB=90°.
∴AC=AB2-BC2=102-82=6(cm).
(2)在?ABCD中,∵OC=12AC=3 cm,∴OB=BC2+OC2=82+32=73(cm).
解题总结:在平行四边形中求线段的长度,如果有垂直,通常是利用平行四边形的性质和勾股定理进行推理计算.
