2020春人教版八下数学同步精练
18.1.2 平行四边形的判定（打印版）
基础知识梳理练
1.平行四边形的判定1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的判定2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.平行四边形的判定3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行四边形的判定4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
6.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
教材要点分类练
知识点一 平行四边形的判定1
7.(40732184)下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.△ABC≌△CDA
8.(40732185)如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC.
∴∠DFC=∠BEA.
∵CF=AE,EF=EF,∴AF=CE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE,△CDF≌△ABE.
∴AD=BC,AB=DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点二 平行四边形的判定2
9.(40732186)下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断出四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.4∶3∶2∶1
B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2
D.3∶2∶2∶1
10.(40732187)已知,在四边形ABCD中,∠A=110°,∠B=70°,∠C=110°,求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:在四边形ABCD中,
∵∠A=110°,∠B=70°,∠C=110°,
∴∠D=360°-(∠A+∠B+∠C)=70°.
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点三 平行四边形的判定3
11.(40732188)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为(D)
A.6 B.12 C.20 D.24
12.(40732189)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO.
在△ABO与△CDO中,
∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠AOB=∠COD,
∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点四 平行四边形的判定4
13.(40732190)(中考·玉林)在四边形ABCD中,①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC,从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有(B)
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
14.(40732191)如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
证明:∵BE∥DF,
∴∠FEB=∠EFD,
∴∠BEC=∠DFA.
在△ADF和△CBE中,
∠ADF=∠CBE,∠AFD=∠CEB,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE.∴BE=DF.
又∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形.
知识点五 三角形的中位线定理
15.(40732192)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(B)
A.7 B.8 C.9 D.10
16.(40732193)如图,△ABC的中线BD,CE相交于O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG.
证明:如图,连接DE,FG,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴D,E分别是AC,AB边的中点.
∴DE∥BC,DE=12BC.
同理FG∥BC,FG=12BC.
∴DE∥FG,且DE=FG,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF∥DG,且EF=DG.
能力提升创新练
17.(40732194)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的中点,BE,CD相交于点O,点F,G分别是线段OB,OC的中点.求证:DG,EF互相平分.
证明:∵点D,E分别是边AB,AC上的中点,
∴DE是△ABC的中位线,FG是△OBC的中位线.
∴DE∥BC,且DE=12BC,FG∥BC,且FG=12BC.
∴DE∥FG,且DE=FG,
∴四边形DFGE是平行四边形.
∴DG,EF互相平分.
18.(40732195)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,点E和点F分别是AB与CD的中点.若∠PEF=20°,求∠EPF的度数.
解:∵在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,
∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PF=12BC,PE=12AD.
∵AD=BC,∴PF=PE.
∴∠PEF=∠PFE=20°.
∴∠EPF=180°-2∠PEF=140°.
19.(40732196)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,求DF的长.
解:∵在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE∥AB.
∴∠ABF=∠BFD.
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠DBF=∠DFB.
∴DF=BD=12BC=12×6=3.
20.(40732197)如图,在?ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=CB,
∠A=∠C,
∠ADC=∠ABC.
又∵∠ADE=12∠ADC,∠CBF=12∠ABC,
∴∠ADE=∠CBF.∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.∴AB-AE=CD-CF,即EB=DF.
又∵DF∥BE,∴四边形EBFD是平行四边形.
21.(40732198)如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN于N,且AB=10,AC=16,求MN的长.
解:如图,延长线段BN,交AC于E.
∵AN平分∠BAC,
AN⊥BN于N,
∴∠BAN=∠EAN,∠ANB=∠ANE=90°.
∵AN=AN,
∴△ABN≌△AEN.
∴AE=AB=10,BN=NE.
又∵M是边BC的中点,
∴MN=12EC=12(AC-AE)=12×(16-10)=3.
22.(40732199)如图,将?ABCD沿CE折叠,使点D落在BC边上的F处,点E在AD上.
(1)求证:四边形ABFE为平行四边形;
(2)若AB=4,BC=6,求四边形ABFE的周长.
(1)证明:由折叠知EF=ED,∠CFE=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠D.
∴AE∥BF,∠B=∠CFE.∴AB∥EF.
∴四边形ABFE为平行四边形.
(2)解:∵四边形ABFE为平行四边形,
∴EF=AB=4.
∵EF=ED,∴ED=4.∴AE=BF=6?4=2.
∴四边形ABFE的周长为AB+BF+FE+EA=12.
23.(40732200)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于H,G,连接GH.求证:
(1)四边形AECF是平行四边形;
(2)EF与GH互相平分.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AE∥CF.
∵AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)得,四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
∵AE=CF,AB∥CD,AB=CD,
∴BE∥DF,BE=DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BF∥DE,即GF∥EH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
中考考场必刷练
24.(40732201)(中考·呼和浩特)顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D,四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C)
A.5种 B.4种
C.3种 D.1种
25.(40732202)(中考·安徽)在?ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 (B)
A.BE=DF B.AE=CF
C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF
26.(40732203)(中考·张家界)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ABC的周长是12,则△ADE的周长是(A)
A.6 B.12 C.18 D.24
第26题图
第27题图
27.(40732204)(中考·宁波)如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(B)
A.50° B.40°
C.30° D.20°
28.(40732205)(中考·达州)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为(C)
A.32 B.2 C.52 D.3
第28题图
第29题图
29.(40732206)(中考·南京)如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB,AC的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,连接DE.若BC=10 cm,则DE=5cm.
30.(40732207)(中考·常州)如图,把△ABC沿BC翻折得△DBC.
(1)连接AD,则BC与AD的位置关系是垂直.
(2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形,写出添加的条件,并说明理由.
解:AB=AC(答案不唯一).
证明如下:
∵△ABC沿BC翻折到△DBC,
∴AB=BD,AC=CD.
又AB=AC,
∴AB=CD,AC=BD.
∴四边形ABDC是平行四边形.
31.(40732208)(中考·孝感)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
证明:∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∠B=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠F,
∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE.
又∵AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.
专题一 平行四边形
1.(40732209)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,过点P画线段EF,GH分别平行于AB,BC,则图中平行四边形共有(C)
A.4个 B.5个 C.9个 D.8个
第1题图
第2题图
2.(40732210)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.(40732211)如图,?ABCD的周长是28 cm,△ABC的周长是22 cm,则AC的长为(D)
A.6 cm B.12 cm C.4 cm D.8 cm
第3题图
第4题图
4.(40732212)如图,在?ABCD中,∠BAC=68°,∠ACB=36°,则∠D等于(B)
A.86° B.76° C.68° D.60°
5.(40732213)已知平行四边形的一边长是14,下列各组数中能分别作为它的两条对角线的长是(C)
A.10与16 B.12与16
C.20与22 D.10与40
6.(40732214)(中考·临沂)如图,在?ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则BD=413.
第6题图
第7题图
7.(40732215)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是38.(40732216)(中考·金华)如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
9.(40732217)如图,在?ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,
∠A=∠C,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵ED⊥DB,FB⊥BD,∴∠EDB=∠FBD=90°,
∴∠ADE=∠CBF.∴△AED≌△CFB.
(2)作DH⊥AB,垂足为H.
在Rt△ADH中,∠A=30°,∴AD=2DH.
在Rt△DEB中,∠DEB=45°,∴EB=2DH.
∵ED⊥DB,FB⊥BD,∴ED∥FB,
∵AB∥CD,∴四边形EBFD是平行四边形,
∴FD=EB,∴DA=DF.
专题二 三角形的中位线
10.(40732218)如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD,∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH=12BD,EH∥BD.
同理得FG=12BD,FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
11.(40732219)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=33,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,求EF长度的最大值.
解:如图,连接DN,
∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=12DN.
当点N与点B重合时,DN的值最大即EF最大.
在Rt△ABD中,∠A=90°,AD=3,AB=33,
∴BD=AD2+AB2=32+(33)2=6.
∴EF的最大值为12BD=3.
12.(40732220)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F是AD,BC的中点,EF分别交AC,BD于M,N,且OM=ON.
求证:AC=BD.
证明:如图,取AB和CD的中点分别为G,H,连接EG,GF,FH,EH,
则EH∥AC,EH=12AC,GE∥BD,GE=12BD.
∴∠1=∠4,∠3=∠2.
∵OM=ON,∴∠1=∠2.
∴∠4=∠3=∠1=∠2.
同理,∠EFH=∠GFE=∠1=∠2.
∴∠4=∠EFH.∴EH=HF.
∵EH=12AC,FH=12BD,∴AC=BD.
13.(40732221)为提高廉政建设,践行两会精神,某市加强“公车”监督机制,倡导办公人员以步代车.如图,是该市部分街道示意图,A,D,F在同一直线上,F是CE的中点,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙两人同时从住所B地步行到F地办公,若甲走的路线是B—A—E—F;乙走的路线是B—D—C—F,假设两人行走的速度相同,那么谁先到达办公地点F?请说明理由.
解:同时到达.
理由:连接BE,交AD于点G.
∵BA∥DE,BD∥AE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE,BD=AE,EG=GB.
又∵F是CE的中点,
∴GF是△EBC的中位线,
∴GF∥BC.
∵EC⊥BC,∴EC⊥GF,
∴GF是EC的垂直平分线,
∴DE=DC,∴AB=DC.
因此,有BA+AE+EF=BD+DC+CF,
所以两人同时到达F地
2020春人教版八下数学同步精练18.1.2
平行四边形的判定（答案版）
基础知识梳理练
1.平行四边形的判定1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的判定2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
3.平行四边形的判定3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行四边形的判定4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
6.三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
教材要点分类练
知识点一 平行四边形的判定1
7.(40732184)下列四组条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BC
D.△ABC≌△CDA
8.(40732185)如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC.
∴∠DFC=∠BEA.
∵CF=AE,EF=EF,∴AF=CE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE,△CDF≌△ABE.
∴AD=BC,AB=DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点二 平行四边形的判定2
9.(40732186)下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断出四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A.4∶3∶2∶1
B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2
D.3∶2∶2∶1
10.(40732187)已知,在四边形ABCD中,∠A=110°,∠B=70°,∠C=110°,求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:在四边形ABCD中,
∵∠A=110°,∠B=70°,∠C=110°,
∴∠D=360°-(∠A+∠B+∠C)=70°.
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点三 平行四边形的判定3
11.(40732188)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为(D)
A.6 B.12 C.20 D.24
12.(40732189)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO.
在△ABO与△CDO中,
∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠AOB=∠COD,
∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点四 平行四边形的判定4
13.(40732190)(中考·玉林)在四边形ABCD中,①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC,从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有(B)
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
14.(40732191)如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
证明:∵BE∥DF,
∴∠FEB=∠EFD,
∴∠BEC=∠DFA.
在△ADF和△CBE中,
∠ADF=∠CBE,∠AFD=∠CEB,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE.∴BE=DF.
又∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形.
知识点五 三角形的中位线定理
15.(40732192)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为(B)
A.7 B.8 C.9 D.10
16.(40732193)如图,△ABC的中线BD,CE相交于O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG.
证明:如图,连接DE,FG,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴D,E分别是AC,AB边的中点.
∴DE∥BC,DE=12BC.
同理FG∥BC,FG=12BC.
∴DE∥FG,且DE=FG,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF∥DG,且EF=DG.
能力提升创新练
17.(40732194)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的中点,BE,CD相交于点O,点F,G分别是线段OB,OC的中点.求证:DG,EF互相平分.
证明:∵点D,E分别是边AB,AC上的中点,
∴DE是△ABC的中位线,FG是△OBC的中位线.
∴DE∥BC,且DE=12BC,FG∥BC,且FG=12BC.
∴DE∥FG,且DE=FG,
∴四边形DFGE是平行四边形.
∴DG,EF互相平分.
18.(40732195)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点P是对角线BD的中点,点E和点F分别是AB与CD的中点.若∠PEF=20°,求∠EPF的度数.
解:∵在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,
∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PF=12BC,PE=12AD.
∵AD=BC,∴PF=PE.
∴∠PEF=∠PFE=20°.
∴∠EPF=180°-2∠PEF=140°.
19.(40732196)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,求DF的长.
解:∵在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,
∴DE∥AB.
∴∠ABF=∠BFD.
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠DBF=∠DFB.
∴DF=BD=12BC=12×6=3.
20.(40732197)如图,在?ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点E,∠ABC的平分线交CD于点F,求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=CB,
∠A=∠C,
∠ADC=∠ABC.
又∵∠ADE=12∠ADC,∠CBF=12∠ABC,
∴∠ADE=∠CBF.∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.∴AB-AE=CD-CF,即EB=DF.
又∵DF∥BE,∴四边形EBFD是平行四边形.
21.(40732198)如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠BAC,AN⊥BN于N,且AB=10,AC=16,求MN的长.
解:如图,延长线段BN,交AC于E.
∵AN平分∠BAC,
AN⊥BN于N,
∴∠BAN=∠EAN,∠ANB=∠ANE=90°.
∵AN=AN,
∴△ABN≌△AEN.
∴AE=AB=10,BN=NE.
又∵M是边BC的中点,
∴MN=12EC=12(AC-AE)=12×(16-10)=3.
22.(40732199)如图,将?ABCD沿CE折叠,使点D落在BC边上的F处,点E在AD上.
(1)求证:四边形ABFE为平行四边形;
(2)若AB=4,BC=6,求四边形ABFE的周长.
(1)证明:由折叠知EF=ED,∠CFE=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠D.
∴AE∥BF,∠B=∠CFE.∴AB∥EF.
∴四边形ABFE为平行四边形.
(2)解:∵四边形ABFE为平行四边形,
∴EF=AB=4.
∵EF=ED,∴ED=4.∴AE=BF=6-4=2.
∴四边形ABFE的周长为AB+BF+FE+EA=12.
23.(40732200)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于H,G,连接GH.求证:
(1)四边形AECF是平行四边形;
(2)EF与GH互相平分.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AE∥CF.
∵AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)由(1)得,四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE.
∵AE=CF,AB∥CD,AB=CD,
∴BE∥DF,BE=DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BF∥DE,即GF∥EH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
中考考场必刷练
24.(40732201)(中考·呼和浩特)顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D,四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C)
A.5种 B.4种
C.3种 D.1种
25.(40732202)(中考·安徽)在?ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 (B)
A.BE=DF B.AE=CF
C.AF∥CE D.∠BAE=∠DCF
26.(40732203)(中考·张家界)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的中点,如果△ABC的周长是12,则△ADE的周长是(A)
A.6 B.12 C.18 D.24
第26题图
第27题图
27.(40732204)(中考·宁波)如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为(B)
A.50° B.40°
C.30° D.20°
28.(40732205)(中考·达州)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为(C)
A.32 B.2 C.52 D.3
第28题图
第29题图
29.(40732206)(中考·南京)如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB,AC的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,连接DE.若BC=10 cm,则DE=5cm.
30.(40732207)(中考·常州)如图,把△ABC沿BC翻折得△DBC.
(1)连接AD,则BC与AD的位置关系是垂直.
(2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形,写出添加的条件,并说明理由.
解:AB=AC(答案不唯一).
证明如下:
∵△ABC沿BC翻折到△DBC,
∴AB=BD,AC=CD.
又AB=AC,
∴AB=CD,AC=BD.
∴四边形ABDC是平行四边形.
31.(40732208)(中考·孝感)如图,B,E,C,F在一条直线上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
证明:∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∠B=∠DEF,BC=EF,∠ACB=∠F,
∴△ABC≌△DEF,∴AB=DE.
又∵AB∥DE,∴四边形ABED是平行四边形.
专题一 平行四边形
1.(40732209)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥CD,过点P画线段EF,GH分别平行于AB,BC,则图中平行四边形共有(C)
A.4个 B.5个 C.9个 D.8个
第1题图
第2题图
2.(40732210)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.(40732211)如图,?ABCD的周长是28 cm,△ABC的周长是22 cm,则AC的长为(D)
A.6 cm B.12 cm C.4 cm D.8 cm
第3题图
第4题图
4.(40732212)如图,在?ABCD中,∠BAC=68°,∠ACB=36°,则∠D等于(B)
A.86° B.76° C.68° D.60°
5.(40732213)已知平行四边形的一边长是14,下列各组数中能分别作为它的两条对角线的长是(C)
A.10与16 B.12与16
C.20与22 D.10与40
6.(40732214)(中考·临沂)如图,在?ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则BD=413.
第6题图
第7题图
7.(40732215)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是38.(40732216)(中考·金华)如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
解:答案不唯一,如下图.
9.(40732217)如图,在?ABCD中,点E,F分别在AB,DC上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,
∠A=∠C,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵ED⊥DB,FB⊥BD,∴∠EDB=∠FBD=90°,
∴∠ADE=∠CBF.∴△AED≌△CFB.
(2)作DH⊥AB,垂足为H.
在Rt△ADH中,∠A=30°,∴AD=2DH.
在Rt△DEB中,∠DEB=45°,∴EB=2DH.
∵ED⊥DB,FB⊥BD,∴ED∥FB,
∵AB∥CD,∴四边形EBFD是平行四边形,
∴FD=EB,∴DA=DF.
专题二 三角形的中位线
10.(40732218)如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD,∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH是△ABD的中位线.
∴EH=12BD,EH∥BD.
同理得FG=12BD,FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
11.(40732219)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=33,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,求EF长度的最大值.
解:如图,连接DN,
∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=12DN.
当点N与点B重合时,DN的值最大即EF最大.
在Rt△ABD中,∠A=90°,AD=3,AB=33,
∴BD=AD2+AB2=32+(33)2=6.
∴EF的最大值为12BD=3.
12.(40732220)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F是AD,BC的中点,EF分别交AC,BD于M,N,且OM=ON.
求证:AC=BD.
证明:如图,取AB和CD的中点分别为G,H,连接EG,GF,FH,EH,
则EH∥AC,EH=12AC,GE∥BD,GE=12BD.
∴∠1=∠4,∠3=∠2.
∵OM=ON,∴∠1=∠2.
∴∠4=∠3=∠1=∠2.
同理,∠EFH=∠GFE=∠1=∠2.
∴∠4=∠EFH.∴EH=HF.
∵EH=12AC,FH=12BD,∴AC=BD.
13.(40732221)为提高廉政建设,践行两会精神,某市加强“公车”监督机制,倡导办公人员以步代车.如图,是该市部分街道示意图,A,D,F在同一直线上,F是CE的中点,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙两人同时从住所B地步行到F地办公,若甲走的路线是B—A—E—F;乙走的路线是B—D—C—F,假设两人行走的速度相同,那么谁先到达办公地点F?请说明理由.
解:同时到达.
理由:连接BE,交AD于点G.
∵BA∥DE,BD∥AE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE,BD=AE,EG=GB.
又∵F是CE的中点,
∴GF是△EBC的中位线,
∴GF∥BC.
∵EC⊥BC,∴EC⊥GF,
∴GF是EC的垂直平分线,
∴DE=DC,∴AB=DC.
因此,有BA+AE+EF=BD+DC+CF,
所以两人同时到达F地.
人教版八下数学 学霸笔记整理18.1.2 平行四边形的判定
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图①,若AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形.
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图①,若∠A=C,∠B=∠D,则四边形ABCD是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图②,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形.
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.如图①,若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形.
5.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图③,D,E分别是AB,AC的中点,则DE是△ABC的中位线.
6.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.如图③,若DE是△ABC的中位线,则DE∥BC,且DE=12BC.
1.利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定一个四边形是平行四边形的前提条件是“对角线互相平分”,注意不能说成“对角线平分的四边形是平行四边形”.
2.三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念.前者是连接三角形两边中点的线段,后者是连接三角形的顶点与对边中点的线段.
1.规律方法:判定平行四边形的方法:
(1)考虑“对边”关系:
思路①:证明两组对边分别相等;
思路②:证明两组对边分别平行;
思路③:证明一组对边平行且相等.
(2)考虑“对角”关系:
思路:证明两组对角分别相等.
(3)考虑“对角线”的关系:
思路:证明两条对角线互相平分.
2.解题技巧:在三角形中,涉及中点问题,通常是考虑利用三角形的中位线定理,三角形中线的性质,其中三角形的中位线定理为证明线段相等和平行提供了依据.
3.口诀记忆:
(1)要证平行四边形,两个条件才能行;
一证对边都相等,或证对边都平行;
一组对边也可以,必须相等且平行;
对角线,是个宝,互相平分“跑不了”;
对角相等也有用,“两组对角”才能成.
(2)首先判断两对边,分别平行或相等;
二是看其对角线,如若平分能判断;
三是看两对角,只要两组对应相等.
满足上面某一种,即为平行四边形.
[典例精析]
【例1】 如图,E,F是?ABCD对角线上的两点.
(1)给出下列三个条件:①BE=DF;②AF=CE;③△AEB≌△CFD.在上述三个条件中,选择一个合适的条件说明四边形AECF是平行四边形,则可以选择 ;?
(2)选择其中的一种方案说明四边形AECF是平行四边形.
分析:(1)根据平行四边形的判定定理判断即可;(2)根据(1)的已知条件,利用平行四边形ABCD,证得AE=FC,AF=EC,即可证明四边形AECF是平行四边形.
解:(1)可以选择的条件是①或③.
(2)选择①BE=DF.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
在△ABE与△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
同理:△ADF≌△CBE,
∴AF=CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
解题总结:平行四边形的判定方法与平行四边形的性质相对应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系.
【例2】 如图,△ABC的中线BF,CE相交于点O,点H,G分别是BO,CO的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.
分析:由三角形中位线定理可证EF=GH,EF∥GH,故四边形EFGH是平行四边形.
解:四边形EFGH的形状是平行四边形.证明如下:
∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC,EF=12BC.
同理可证:GH∥BC,GH=12BC.
∴EF=GH,EF∥GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
