2020春人教版八下数学同步精练18.2.1 矩形
基础知识梳理练
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
2.矩形的四个角都是直角.
3.矩形的对角线相等.
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.对角线相等的平行四边形是矩形.
6.有三个角是直角的四边形是矩形.
教材要点分类练
知识点一 矩形的定义
7.(40732222)如图,在?ABCD中,增加一个条件,四边形ABCD就成为矩形,这个条件是(B)
A.AB=CD B.∠A+∠C=180°
C.BD=2AB D.AC⊥BD
8.(40732223)在?ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE.求证:四边形DEBF是矩形.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,即DF∥BE.
又∵DF=BE,
∴四边形DEBF为平行四边形.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴四边形DEBF为矩形.
知识点二 矩形的性质
9.(40732224)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=120°,AD=3,则该矩形两条对角线长度的和等于(C)
A.6 B.9 C.12 D.15
10.(40732225)矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,AB=8,BC=6,则△AOB的周长为18.
11.(40732226)如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠B.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BCE中,AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,
∴△ADE≌△BCE.
(2)解:∵AB=6,E是AB的中点,
∴AE=BE=3.
在Rt△ADE中,AD=4,AE=3,根据勾股定理,得
DE=AD2+AE2=42+32=5.
∵△ADE≌△BCE,∴DE=CE=5.
又∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6.
∴DE+CE+CD=5+5+6=16.
即△CDE的周长为16.
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
12.(40732227)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,CA,BC的中点,若EF=2,则线段CD的长是2;若∠A=20°,则∠BDC=40°.
13.(40732228)如图,△ABC中,AB=AC=8,BC=6,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,求△CDE的周长.
解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=6,
∴AD⊥BC,CD=BD=12BC=3.
∵点E为AC的中点,
∴DE=CE=12AC=4.
∴△CDE的周长为CD+DE+CE=3+4+4=11.
14.(40732229)如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.
证明:如图,连接BM,DM,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
M是AC的中点,
∴BM=DM=12AC.
∵点N是BD的中点,
∴MN⊥BD.
知识点四 矩形的判定
15.(40732230)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(B)
A.AB=CD B.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD D.AB∥CD,AD=BC
16.(40732231)如图,在?ABCD中,AC,BD相交于O点,若∠OAB=∠OBA,求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB.
∵在?ABCD中,OA=OC,OB=OD,
∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD.
∴?ABCD是矩形.
17.(40732232)如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,求证:四边形ADCE是矩形.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠EAC=12∠MAC.
∴∠DAE=12∠BAC +12∠MAC
=12(∠BAC +∠MAC)=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.
∴四边形ADCE为矩形.
能力提升创新练
18.(40732233)如图,在矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:△DEF是等腰三角形.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC.
∵△AEC是由△ABC折叠而成,
∴AD=BC=EC,AB=DC=AE.
在△ADE和△CED中,
AD=CE,DE=ED,AE=CD,∴△ADE≌△CED.
(2)由(1)△ADE≌△CED可得∠AED=∠CDE,
∴FD=FE,∴△DEF是等腰三角形.
19.(40732234)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是?ABCD外一点,且∠AEC=∠BED=90°.求证:?ABCD是矩形.
证明:连接OE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵∠AEC=∠BED=90°,
∴OE=12AC=12BD.
∴AC=BD.∴?ABCD是矩形.
20.(40732235)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
(2)解:在矩形ABCD中,
OC=12AC,OD=12BD,且AC=BD,
∴OC=OD,又∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴∠ABD=60°,∠ADB=30°.
在Rt△ABD中,BD=2AB=12,由勾股定理,
得AD=63.
∴矩形ABCD的面积=AB·AD=363.
21.(40732236)在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,求CE的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4,DC=AB=2,∠D=90°.
∵OE垂直平分AC,
∴EC=AE.
设CE=x,则 AE=x,DE=4-x,
在△DEC中,由勾股定理,得DE2+DC2=EC2,即(4-x)2+22=x2,解得x=52.
∴CE的长是52.
22.(40732237)如图所示是一个矩形ABCD,在AD上取一点P,过P作PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,其中AD=12,AB=5,求PE+PF的值.
解:如图,连接OP,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
AC=BD,OA=OC,
OB=OD.
在△BAD中,∠BAD=90°,AD=12,AB=5,
由勾股定理,得AC=BD=52+122=13.
∴OA=OD=132.
∵矩形的面积是12×5=60,
∴△AOD的面积是14×60=15.
∵S△AOD=S△OAP+S△ODP=12OA·PF+12OD·PE,
∴15=12×132×PF+12×132×PE.
∴PE+PF=6013.
中考考场必刷练
23.(40732238)(中考·内江)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为(D)
A.31° B.28° C.62° D.56°
24.(40732239)(中考·曲靖)如图:在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD如果DE=2.5,那么△ACD的周长是18.
25.(40732241)(中考·青岛)已知:如图,?ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BF∥CD,AB=CD,
∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,
∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)解:结论:四边形ACDF是矩形.证明如下:
∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°,
∵AB=AG=AF,∴△AGF是等边三角形,
∴AG=GF,
∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG,
∵AG=GD,∴AD=CF,
∴?ACDF是矩形.
2020春人教版八下数学同步精练18.2.1 矩形（打印版）
基础知识梳理练
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.
2.矩形的四个角都是直角.
3.矩形的对角线相等.
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5.对角线相等的平行四边形是矩形.
6.有三个角是直角的四边形是矩形.
教材要点分类练
知识点一 矩形的定义
7.(40732222)如图,在?ABCD中,增加一个条件,四边形ABCD就成为矩形,这个条件是(B)
A.AB=CD B.∠A+∠C=180°
C.BD=2AB D.AC⊥BD
8.(40732223)在?ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE.求证:四边形DEBF是矩形.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,即DF∥BE.
又∵DF=BE,
∴四边形DEBF为平行四边形.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴四边形DEBF为矩形.
知识点二 矩形的性质
9.(40732224)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=120°,AD=3,则该矩形两条对角线长度的和等于(C)
A.6 B.9 C.12 D.15
10.(40732225)矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,AB=8,BC=6,则△AOB的周长为18.
11.(40732226)如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE,CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠B.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE与△BCE中,AD=BC,∠A=∠B,AE=BE,
∴△ADE≌△BCE.
(2)解:∵AB=6,E是AB的中点,
∴AE=BE=3.
在Rt△ADE中,AD=4,AE=3,根据勾股定理,得
DE=AD2+AE2=42+32=5.
∵△ADE≌△BCE,∴DE=CE=5.
又∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6.
∴DE+CE+CD=5+5+6=16.
即△CDE的周长为16.
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
12.(40732227)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,CA,BC的中点,若EF=2,则线段CD的长是2;若∠A=20°,则∠BDC=40°.
13.(40732228)如图,△ABC中,AB=AC=8,BC=6,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,求△CDE的周长.
解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=6,
∴AD⊥BC,CD=BD=12BC=3.
∵点E为AC的中点,
∴DE=CE=12AC=4.
∴△CDE的周长为CD+DE+CE=3+4+4=11.
14.(40732229)如图,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD.
证明:如图,连接BM,DM,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
M是AC的中点,
∴BM=DM=12AC.
∵点N是BD的中点,
∴MN⊥BD.
知识点四 矩形的判定
15.(40732230)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(B)
A.AB=CD B.OA=OC,OB=OD
C.AC⊥BD D.AB∥CD,AD=BC
16.(40732231)如图,在?ABCD中,AC,BD相交于O点,若∠OAB=∠OBA,求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB.
∵在?ABCD中,OA=OC,OB=OD,
∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD.
∴?ABCD是矩形.
17.(40732232)如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,求证:四边形ADCE是矩形.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠EAC=12∠MAC.
∴∠DAE=12∠BAC +12∠MAC
=12(∠BAC +∠MAC)=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.
∴四边形ADCE为矩形.
能力提升创新练
18.(40732233)如图,在矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:△DEF是等腰三角形.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC.
∵△AEC是由△ABC折叠而成,
∴AD=BC=EC,AB=DC=AE.
在△ADE和△CED中,
AD=CE,DE=ED,AE=CD,∴△ADE≌△CED.
(2)由(1)△ADE≌△CED可得∠AED=∠CDE,
∴FD=FE,∴△DEF是等腰三角形.
19.(40732234)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是?ABCD外一点,且∠AEC=∠BED=90°.求证:?ABCD是矩形.
证明:连接OE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵∠AEC=∠BED=90°,
∴OE=12AC=12BD.
∴AC=BD.∴?ABCD是矩形.
20.(40732235)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
(2)解:在矩形ABCD中,
OC=12AC,OD=12BD,且AC=BD,
∴OC=OD,又∵∠AOB=∠COD=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴∠ABD=60°,∠ADB=30°.
在Rt△ABD中,BD=2AB=12,由勾股定理,
得AD=63.
∴矩形ABCD的面积=AB·AD=363.
21.(40732236)在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,求CE的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4,DC=AB=2,∠D=90°.
∵OE垂直平分AC,
∴EC=AE.
设CE=x,则 AE=x,DE=4-x,
在△DEC中,由勾股定理,得DE2+DC2=EC2,即(4-x)2+22=x2,解得x=52.
∴CE的长是52.
22.(40732237)如图所示是一个矩形ABCD,在AD上取一点P,过P作PF⊥AC于F,PE⊥BD于E,其中AD=12,AB=5,求PE+PF的值.
解:如图,连接OP,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
AC=BD,OA=OC,
OB=OD.
在△BAD中,∠BAD=90°,AD=12,AB=5,
由勾股定理,得AC=BD=52+122=13.
∴OA=OD=132.
∵矩形的面积是12×5=60,
∴△AOD的面积是14×60=15.
∵S△AOD=S△OAP+S△ODP=12OA·PF+12OD·PE,
∴15=12×132×PF+12×132×PE.
∴PE+PF=6013.
中考考场必刷练
23.(40732238)(中考·内江)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE与AD交于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为(D)
A.31° B.28° C.62° D.56°
24.(40732239)(中考·曲靖)如图:在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD如果DE=2.5,那么△ACD的周长是18.
25.(40732241)(中考·青岛)已知:如图,?ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BF∥CD,AB=CD,
∴∠AFC=∠DCG,
∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,
∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD,∴AB=AF.
(2)解:结论:四边形ACDF是矩形.证明如下:
∵AF=CD,AF∥CD,
∴四边形ACDF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°,
∵AB=AG=AF,∴△AGF是等边三角形,
∴AG=GF,
∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG,
∵AG=GD,∴AD=CF,
∴?ACDF是矩形.
人教版八下数学 学霸笔记整理18.2.1 矩形
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.如图①,若四边形ABCD是平行四边形,且∠A是直角,则?ABCD是矩形.
2.矩形的四个角都是直角.如图①,若四边形ABCD是矩形,则∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
3.矩形的对角线相等.如图②,若四边形ABCD是矩形,则AC=BD.
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图③,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB的中点,则CD=12AB.
5.对角线相等的平行四边形是矩形.如图②,若四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD,则?ABCD是矩形.
6.有三个角是直角的四边形是矩形.如图④,若∠A=∠B=∠C=90°,则四边形ABCD是矩形.
1.有一角是直角的四边形,不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形.
2.两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形.
1.规律方法:(1)矩形的性质可从边、角和对角线三个方面说明:
矩形两组对边分别平行且相等邻边互相垂直边四个角都是直角——角对角线互相平分对角线相等对角线
(2)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质.
2.解题技巧:判定矩形的方法:
3.口诀记忆:
(1)矩形的性质口诀:
直角平行四边形,就是矩形(长方形);矩形四角是直角,矩形对角线相等.
(2)矩形的判定口诀:
任意一个四边形,三个直角成矩形;对角线相等且互相平分,四边形它是矩形.
已知平行四边形,一个直角叫矩形;两对角线若相等,理所当然为矩形.
[典例精析]
【例1】 已知:如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,若点E是AO的中点,点F是OD的中点.求证:BE=CF.
分析:由矩形的性质得出OA=OC=OB=OD,证出OE=OF,由SAS证明△OBE≌△OCF,得出对应边相等即可.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,AC=BD.
∴OA=OC=OB=OD.
∵点E是AO的中点,点F是OD的中点,
∴OE=12OA,OF=12OD.∴OE=OF.
在△OBE和△OCF中,
∵OE=OF,∠BOE=∠COF,OB=OC,
∴△OBE≌△OCF.∴BE=CF.
解题总结:证明线段相等通常是考虑利用三角形全等,涉及矩形要考虑到矩形的四个角都是直角,对角线相等且互相平分,由此证明三角形全等.
【例2】 如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M,N是EC,DB的中点.求证:MN⊥BD.
分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=12EC,BM=12EC,从而得到DM=BM,再根据等腰三角形三线合一的性质证明.
证明:∵BC⊥a,DE⊥b,点M是EC的中点,
∴DM=12EC,BM=12EC.∴DM=BM.
∵点N是BD的中点,∴MN⊥BD.
解题总结:解决这类问题的关键是准确识图,首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到等腰三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质即可得结论.
【例3】 如图,平行四边形ABCD中,AQ,BN,CN,DQ分别是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AQ与BN交于点P,CN与DQ交于点M.求证:四边形MNPQ是矩形.
分析:首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC=180°,再根据角平分线的性质可得∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠ABC)=90°,所以∠P=90°.然后同理可得∠M=90°,∠PNM=90°.根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形MNPQ是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AP,BP分别平分∠DAB,∠ABC,
∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠ABC)=12×180°=90°.∴∠P=90°.
同理可证:∠M=90°,∠PNM=90°.
∴四边形MNPQ是矩形.
解题总结:如果题目中没有涉及线段的关系,仅仅涉及角的关系,通常是考虑证明四边形中有三个角是直角来判定它是矩形.
