2020春人教版八下数学同步精练18.2.2 菱形
基础知识梳理练
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的四条边都相等.
3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
4.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对角线所在的直线是对称轴.
5.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
6.四条边相等的四边形是菱形.
教材要点分类练
知识点一 菱形的定义
7.(40732242)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,连接MN分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则可以得到四边形AEDF的形状(C)
A.仅仅只是平行四边形 B.是矩形
C.是菱形 D.无法判断
第7题图
第8题图
8.(40732243)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,使四边形AFDE为菱形,应添加的条件是AF=AE(答案不唯一)(添加一个条件即可).
9.(40732244)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF.
∴DA=DC.∴平行四边形ABCD是菱形.
知识点二 菱形的性质
10.(40732246)已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是23.
11.(40732247)(中考·日照)如图,已知菱形ABCD的边长为2 cm,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点O.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求对角线AC与BD的长.
(1)证明:在菱形ABCD中,
∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°,
AB=BC,∴△ABC是等边三角形.
(2)解:在等边△ABC中,AC=AB=2 cm.
在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴OA=1 cm.
在Rt△AOB中,由勾股定理,得
BO=AB2-AO2=22-12=3(cm),
∴BD=2BO=23(cm).
知识点三 菱形的判定
12.(40732248)(中考·日照)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是(B)
A.AB=AD B.AC=BD
C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
13.(40732249)如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证:四边形AFCE是菱形.
证明:(方法1)∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC,
∴∠EAC=∠ACF.
∵EF平分AC,∴AO=OC.
又∵∠AOE=∠COF=90°,
∴△AOE≌△COF,∴EO=FO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴?AFCE是菱形.
(方法2)同上,可证△AOE≌△COF,
∴AE=CF.∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,AF=CF.∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AFCE是菱形.
(方法3)同方法1,可证四边形AFCE是平行四边形.
∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,∴?AFCE是菱形.
能力提升创新练
14.(40732250)如图,已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
(2)解:结论:四边形BEDF是菱形.理由如下:
∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,
∵AD=BC,∴DE=BF,
∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形,
∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED,
∴平行四边形BEDF是菱形.
15.(40732251)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.求证:BE=BF.
证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AB=BC,∠BAC=∠BCA.
∴∠BAE=∠BCF.
在△BAE与△BCF中,
BA=BC,∠BAE=∠BCF,AE=CF,
∴△BAE≌△BCF.∴BE=BF.
16.(40732252)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的顶点O,D的坐标分别是(0,0),(3,4),求顶点C的坐标.
解:∵D(3,4),∴OE=3,DE=4.
∴OD=DE2+OE2=5.
∵四边形ODCB是菱形,
∴OD=CD=5.
∴点C的横坐标=5+3=8.
∴点C的坐标为(8,4).
17.(40732254)如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2,菱形ABCD的周长是40 cm.求:
(1)两条对角线AC,BD的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2,
∴∠ABC=13×180°=60°.
∴∠ABO=12∠ABC=30°.
∵菱形ABCD的周长是40 cm,∴AB=10 cm.
∴OA=12AB=5 cm.
∴OB=AB2-OA2=53 cm.
∴AC=2OA=10 cm,BD=2OB=103 cm.
(2)S菱形ABCD=12AC·BD=12×10×103=503(cm2).
18.(40732255)如图,在平行四边形ABCD中,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF,CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形ABCD满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵MA⊥BC,NC⊥AD,∴∠BAM=∠DCN.
在△ABE和△CDF中,
∠ABE=∠CDF,AB=CD,∠BAM=∠DCN,
∴△ABE≌△CDF.
(2)解:四边形ABCD是菱形时,四边形AECF是菱形.证明如下:连接AC.
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥EF.
∴四边形AECF为菱形.
19.(40732256)如图,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形?
(1)证明:∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,
即AC=DF.
又∵∠A=∠D,AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.
∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)解:若四边形BCEF是菱形,连接BE,交CF于点G.
∴BE⊥CF,FG=CG.
∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=AB2+BC2=42+32=5.
∴BG=3×45=125,GC=BC2-BG2=95.
∴FC=2CG=185.
∴AF=AC-FC=5-185=75.
因此,当AF=75时,四边形BCEF是菱形.
20.(40732257)如图,在?ABCD中,AB=AD=2,∠DAB=60°,F为AC上一点,E为AB中点.求:
(1)?ABCD的周长;
(2)EF+BF的最小值.
解:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC.
∵AB=AD,∴AB=CD=AD=BC.
∴?ABCD的周长为2×4=8.
(2)如图,连接BD,
∵AB=CD=AD=BC,
∴四边形ABCD为菱形.
∴AC与BD互相垂直平分.∴BF=DF.
连接DE,交AC于点F,此时EF+BF的值最小,最小值为DE的长.
∵AB=AD=2,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∵E是AB的中点,∴AE=1,DE⊥AB.
∴△ADE为直角三角形.
∴DE=AD2-AE2=22-12=3.
即EF+BF的最小值为3.
中考考场必刷练
21.(40732258)(中考·柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=2,
∴菱形ABCD的周长为8.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=12AC=1,OB=OD,
且∠AOB=90°.
在Rt△AOB中,OB=AB2-OA2=22-12=3.
∴BD=2OB=23.
22.(40732259)(中考·南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:
(1)∠BOD=∠C;
(2)四边形OBCD是菱形.
证明:(1)∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA.
如图,延长AO至点E,
则∠BOE=2∠OAB,∠DOE=2∠OAD,
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BAD.
又∵∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C;
(2)如图,连接OC,
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,
∴△BOC≌△DOC,
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,
∴∠BOC=12∠BOD,∠BCO=12∠BCD.
由(1)知∠BOD=∠C,
∴∠BOC=∠BCO,∴OB=CB.
又∵OB=OD,CB=CD,
∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.
2020春人教版八下数学同步精练18.2.2 菱形（打印版）
基础知识梳理练
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的四条边都相等.
3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
4.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,对角线所在的直线是对称轴.
5.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
6.四条边相等的四边形是菱形.
教材要点分类练
知识点一 菱形的定义
7.(40732242)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,连接MN分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则可以得到四边形AEDF的形状(C)
A.仅仅只是平行四边形 B.是矩形
C.是菱形 D.无法判断
第7题图
第8题图
8.(40732243)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,使四边形AFDE为菱形,应添加的条件是AF=AE(答案不唯一)(添加一个条件即可).
9.(40732244)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠AED=∠CFD=90°.
又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF.
∴DA=DC.∴平行四边形ABCD是菱形.
知识点二 菱形的性质
10.(40732246)已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是23.
11.(40732247)(中考·日照)如图,已知菱形ABCD的边长为2 cm,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点O.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求对角线AC与BD的长.
(1)证明:在菱形ABCD中,
∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°,
AB=BC,∴△ABC是等边三角形.
(2)解:在等边△ABC中,AC=AB=2 cm.
在菱形ABCD中,AC⊥BD,∴OA=1 cm.
在Rt△AOB中,由勾股定理,得
BO=AB2-AO2=22-12=3(cm),
∴BD=2BO=23(cm).
知识点三 菱形的判定
12.(40732248)(中考·日照)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是(B)
A.AB=AD B.AC=BD
C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO
13.(40732249)如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证:四边形AFCE是菱形.
证明:(方法1)∵四边形ABCD是矩形,∴AE∥FC,
∴∠EAC=∠ACF.
∵EF平分AC,∴AO=OC.
又∵∠AOE=∠COF=90°,
∴△AOE≌△COF,∴EO=FO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,∴?AFCE是菱形.
(方法2)同上,可证△AOE≌△COF,
∴AE=CF.∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,AF=CF.∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AFCE是菱形.
(方法3)同方法1,可证四边形AFCE是平行四边形.
∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,∴?AFCE是菱形.
能力提升创新练
14.(40732250)如图,已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
(2)解:结论:四边形BEDF是菱形.理由如下:
∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,
∵AD=BC,∴DE=BF,
∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形,
∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED,
∴平行四边形BEDF是菱形.
15.(40732251)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.求证:BE=BF.
证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AB=BC,∠BAC=∠BCA.
∴∠BAE=∠BCF.
在△BAE与△BCF中,
BA=BC,∠BAE=∠BCF,AE=CF,
∴△BAE≌△BCF.∴BE=BF.
16.(40732252)如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的顶点O,D的坐标分别是(0,0),(3,4),求顶点C的坐标.
解:∵D(3,4),∴OE=3,DE=4.
∴OD=DE2+OE2=5.
∵四边形ODCB是菱形,
∴OD=CD=5.
∴点C的横坐标=5+3=8.
∴点C的坐标为(8,4).
17.(40732254)如图,在菱形ABCD中,∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2,菱形ABCD的周长是40 cm.求:
(1)两条对角线AC,BD的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC.
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2,
∴∠ABC=13×180°=60°.
∴∠ABO=12∠ABC=30°.
∵菱形ABCD的周长是40 cm,∴AB=10 cm.
∴OA=12AB=5 cm.
∴OB=AB2-OA2=53 cm.
∴AC=2OA=10 cm,BD=2OB=103 cm.
(2)S菱形ABCD=12AC·BD=12×10×103=503(cm2).
18.(40732255)如图,在平行四边形ABCD中,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF,CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当四边形ABCD满足什么条件时,四边形AECF是菱形?证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵MA⊥BC,NC⊥AD,∴∠BAM=∠DCN.
在△ABE和△CDF中,
∠ABE=∠CDF,AB=CD,∠BAM=∠DCN,
∴△ABE≌△CDF.
(2)解:四边形ABCD是菱形时,四边形AECF是菱形.证明如下:连接AC.
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.
∴四边形AECF为平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥EF.
∴四边形AECF为菱形.
19.(40732256)如图,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形?
(1)证明:∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,
即AC=DF.
又∵∠A=∠D,AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.
∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)解:若四边形BCEF是菱形,连接BE,交CF于点G.
∴BE⊥CF,FG=CG.
∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=AB2+BC2=42+32=5.
∴BG=3×45=125,GC=BC2-BG2=95.
∴FC=2CG=185.
∴AF=AC-FC=5-185=75.
因此,当AF=75时,四边形BCEF是菱形.
20.(40732257)如图,在?ABCD中,AB=AD=2,∠DAB=60°,F为AC上一点,E为AB中点.求:
(1)?ABCD的周长;
(2)EF+BF的最小值.
解:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC.
∵AB=AD,∴AB=CD=AD=BC.
∴?ABCD的周长为2×4=8.
(2)如图,连接BD,
∵AB=CD=AD=BC,
∴四边形ABCD为菱形.
∴AC与BD互相垂直平分.∴BF=DF.
连接DE,交AC于点F,此时EF+BF的值最小,最小值为DE的长.
∵AB=AD=2,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∵E是AB的中点,∴AE=1,DE⊥AB.
∴△ADE为直角三角形.
∴DE=AD2-AE2=22-12=3.
即EF+BF的最小值为3.
中考考场必刷练
21.(40732258)(中考·柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=2,
∴菱形ABCD的周长为8.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=12AC=1,OB=OD,
且∠AOB=90°.
在Rt△AOB中,OB=AB2-OA2=22-12=3.
∴BD=2OB=23.
22.(40732259)(中考·南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD,O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:
(1)∠BOD=∠C;
(2)四边形OBCD是菱形.
证明:(1)∵OA=OB=OD,
∴∠OAB=∠OBA,∠OAD=∠ODA.
如图,延长AO至点E,
则∠BOE=2∠OAB,∠DOE=2∠OAD,
∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BAD.
又∵∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C;
(2)如图,连接OC,
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,
∴△BOC≌△DOC,
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,
∴∠BOC=12∠BOD,∠BCO=12∠BCD.
由(1)知∠BOD=∠C,
∴∠BOC=∠BCO,∴OB=CB.
又∵OB=OD,CB=CD,
∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.
人教版八下数学 学霸笔记整理18.2.2 菱形
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图①,在?ABCD中,如果AB=BC,那么?ABCD是菱形.
2.菱形的四条边都相等.如图①,若四边形ABCD是菱形,则AB=BC=CD=DA.
3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.如图②,若四边形ABCD是菱形,则AC⊥BD,AC与BD分别平分∠DAB,∠BCD与∠ABC,∠ADC.
4.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴.
5.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.如图②,在?ABCD中,若AC⊥BD,则?ABCD是菱形.
6.四条边相等的四边形是菱形.如图①,在四边形ABCD中,若AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形.
1.有一组邻边相等的四边形,不一定是菱形,必须加上平行四边形这个条件,它才是菱形.
2.两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,必须加上平行四边形这个条件,它才是菱形.
1.规律方法:(1)菱形的性质可以从边、角和对角线三个方面说明:
两组对边分别平行四条边都相等边两组对角分别相等——角对角线互相垂直平分每一条对角线都平分一组对角对角线
(2)判定菱形的方法:
2.解题技巧:(1)菱形是特殊的平行四边形,菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半.
3.口诀记忆:菱形的判定口诀:
任意一个四边形,四边相等成菱形;四边形的对角线,垂直互分是菱形.
已知平行四边形,邻边相等叫菱形;两对角线若垂直,顺理成章为菱形.
[典例精析]
【例1】 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=6,BO=3.求AC的长及∠BAD的度数.
分析:由四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,AB=6,BO=3,易证得△ABD是等边三角形,即可求得∠BAD的度数,然后由勾股定理求得OA的长,继而求得AC的长.
解:∵四边形ABCD是菱形,AB=6,BO=3,
∴AC⊥BD,AC=2OA,AD=AB=6,BD=2BO=2×3=6.∴OA=AB2-BO2=33,AC=2OA=63,AB=AD=BD.
∴△ABD是等边三角形.∴∠BAD=60°.
解题总结:有关菱形中的求线段长度的问题,通常是利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理求解.本题中求得△ABD是等边三角形是关键.
【例2】 如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.求证:四边形AECD是菱形.
分析:利用菱形的定义进行证明.
证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠EAC=∠DAC.
∵AB∥CD,∴∠EAC=∠ACD,
∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.
∴平行四边形AECD是菱形.
解题总结:先证明所给的四边形是平行四边形,再证明有一组邻边相等,即可判定四边形是菱形.
