2020春人教版八下数学同步精练18.2.3 正方形
基础知识梳理练
1.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的四条边都相等,四个角都是直角.
3.正方形的对角线相等且互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
4.正方形是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线所在的直线、两组对边的中点所在的直线是对称轴.
5.有一组邻边相等的矩形是正方形.
6.有一个角是直角的菱形是正方形.
教材要点分类练
知识点一 正方形的定义
7.(40732260)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PB∥AC,PC∥BD,PB,PC相交于点P.当矩形ABCD满足什么条件时,四边形PCOB是正方形?说明理由.
解:当AC⊥BD时,四边形PCOB是正方形.理由如下:
∵PB∥AC,PC∥BD,
∴四边形PCOB为平行四边形.
∵四边形ABCD为矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD.∴OB=OC,
∴四边形PCOB是菱形.
∵AC⊥BD,即∠BOC=90°,
∴菱形PCOB为正方形.
知识点二 正方形的性质
8.(40732261)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP的度数是(B)
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
第8题图
第9题图
9.(40732262)(中考·仙桃)如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(C)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.(40732263)(中考·青岛)已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342.
第10题图
第11题图
11.(40732264)如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点,点E是AB的中点,则PA+PE的最小值是52.
12.(40732265)(中考·广东)如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F.求证:AB=EF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠B=90°.
∴∠B=∠AFE,
∠AMB=∠EAF.
又AM=AE,
∴△AMB≌△EAF.
∴AB=EF.
13.(40732266)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,求正方形ABCD的边长.
解:如图,将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF'的位置,可得出△DAF≌△BAF'.
∴DF=BF',∠DAF=∠BAF'.
∴∠EAF'=45°.
在△FAE和△EAF'中,
AF=AF',∠FAE=∠EAF',AE=AE,
∴△FAE≌△F'AE.
∴EF=EF'.
∵△ECF的周长为4,
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4.
∴2BC=4.
∴BC=2.
即正方形ABCD的边长为2.
知识点三 正方形的判定
14.(40732267)如图所示,已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件是(A)
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
B.AB=BC=CD=DA
C.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
D.AB=BC,CD⊥DA
15.(40732268)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别是E,F.求证:四边形DECF是正方形.
证明:∵CD是角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴DE=DF,∠CED=∠CFD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形.
又∵DE=DF,∴矩形DECF是正方形.
16.(40732269)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE∥AC,DF∥AB.当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?为什么?
解:当△ABC是等腰直角三角形,即AB=AC,∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.理由如下:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴DE∥AF,DF∥AE.
∴四边形AEDF是平行四边形,
∠EAD=∠FDA.
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD是∠BAC的平分线.
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠FDA=∠FAD.
∴AF=DF.∴?AEDF是菱形.
∵∠BAC=90°,
∴菱形AEDF是正方形.
能力提升创新练
17.(40732270)如图所示,已知正方形ABCD和矩形PECF,其中点P在正方形ABCD的对角线BD上,点E,F分别在边BC,CD上.
(1)若正方形ABCD的周长为40 cm,求矩形PECF的周长;
(2)求证:AP=EF.
(1)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=45°.
∵四边形PECF是矩形,
∴∠PEB=90°.∴∠BPE=45°,PE=BE.
∵正方形ABCD的周长为40 cm,∴BC=10 cm.
于是矩形PECF的周长=2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=20 cm.
(2)证明:连接AC,PC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD垂直平分AC,∴AP=CP.
∵四边形PECF是矩形,
∴EF=CP.∴AP=EF.
18.(40732272)四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∠D=∠ABC=90°.
∵F是CB的延长线上的点,
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中,
AB=AD,∠ABF=∠ADE,BF=DE,
∴△ADE≌△ABF.
(2)解:∵BC=8,∴AD=8.
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE=AD2+DE2=10,
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90°得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°.
∴△AEF的面积为12AE·AF=12×100=50.
19.(40732274)如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB.
(1)求证:PE=PD;
(2)连接DE,试判断∠PED的度数,并证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,
∠ACB=∠ACD.
在△PBC和△PDC中,
BC=CD,∠ACB=∠ACD,PC=PC,
∴△PBC≌△PDC.∴PB=PD.
∵PE=PB,∴PE=PD.
(2)解:判断∠PED=45°.证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°.
∵△PBC≌△PDC,
∴∠PBC=∠PDC.
∵PE=PB,
∴∠PBC=∠PEB.
∴∠PDC=∠PEB.
∵∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°.
在四边形PECD中,∠EPD=360°-(∠PDC+∠PEC)-∠BCD=360°-180°-90°=90°.
又∵PE=PD,∴△PDE是等腰直角三角形.
∴∠PED=45°.
20.(40732275)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,
∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解:GE=BE+GD成立.理由如下:
由(1)得△CBE≌△CDF.∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
中考考场必刷练
21.(40732277)(中考·舟山)如图,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.
求证:矩形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°.
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
∠AEF=∠AFE=60°.
又∠CEF=45°,∴∠CFE=45°,
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
22.(40732278)(中考·聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证:AE=BF.
(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BH⊥AE,∴∠BHE=90°,
∴∠AEB+∠EBH=90°,∴∠BAE=∠EBH.
在△ABE和△BCF中,∠BAE=∠CBF,AB=BC,∠ABE=∠BCF,
∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF.
(2)解:由(1)得△ABE≌△BCF,∴BE=CF,
∵正方形边长是5,BE=2,
∴DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:
AF=AD2+DF2=52+32=25+9=34.
专题一 矩形
1.(40732279)矩形具有而菱形不具有的性质是(A)
A.对角线相等 B.两组对边分别平行
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
2.(40732280)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 (B)
A.∠A=∠B B.∠A=∠C
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(40732281)如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=8,点E为BC的中点,连接AE,EF是∠AEC的平分线,交AD于点F,则FD的长度为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(40732282)如图,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC.过点C作CG⊥AD,垂足为G,AF是BC边上的中线,连接FG.
(1)求证:AC=FG;
(2)当AC⊥FG时,△ABC应是怎样的三角形?为什么?
(1)证明:∵AD平分∠EAC,且AD∥BC,
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB.∴AB=AC.
∵AF是BC边上的中线,
∴AF⊥BC.
∵CG⊥AD,AD∥BC,∴CG⊥BC.
∴四边形AFCG是矩形.∴AC=FG.
(2)解:当AC⊥FG时,△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
∵四边形AFCG是矩形,∴四边形AFCG是正方形,∠ACB=45°.
∵AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形.
专题二 菱形
5.(40732283)如图,在?ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则?ABCD的周长为(C)
A.6 B.9 C.12 D.15
第5题图
第6题图
6.(40732284)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(A)
A.3 B.2 C.23 D.4
7.(40732285)如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动,可以添加一个条件,使四边形CBFE为菱形,下列选项中错误的是 (A)
A.BD=AE
B.CB=BF
C.BE⊥CF
D.BA平分∠CBF
8.(40732286)如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中),连接EF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长.
(1)证明:由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得:
AB=AF,∠BAE=∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠FAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∵AB=AF,
∴四边形ABEF为菱形.
(2)解:∵四边形ABEF为菱形,
∴AE⊥BF,BO=12FB=3,AE=2AO.
在Rt△AOB中,AO=52-32=4.
∴AE=2AO=8.
专题三 正方形
9.(40732287)正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角相等
10.(40732288)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使?ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是(B)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
11.(40732289)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为18,CE=4,求线段BE的长.
解:设正方形边长为a,
∵S△ABE=18,
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36.
∴a2=36.∵a>0,
∴a=6.在Rt△BCE中,
∵BC=6,CE=4,∠C=90°,
∴BE=BC2+CE2=62+42=213.
12.(40732290)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.
(1)求证:AE=BF;
(2)已知AF=2,EF=4,求四边形ABED的面积.
(1)证明:∵∠BAF+∠DAE=90°,∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠BAF=∠ADE.
在Rt△DEA和Rt△AFB中,
∠ADE=∠BAF,
∠DEA=∠AFB,DA=AB,
∴Rt△DEA≌Rt△AFB,∴AE=BF.
(2)解:AE=EF+AF=4+2=6,∴BF=6.
S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=12AE·(BF+DE)=12×6×(6+2)=24.
13.(40732291)如图,已知正方形ABCD,E为AD的中点,连接BE和EC,BE交AC于点P,连接DP,交CE于Q.求证:
(1)△ABP≌△ADP;
(2)DP⊥CE.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°.
在△ABP和△ADP中,
AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP=AP,
∴△ABP≌△ADP.
(2)∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AEB和△DEC中,
AB=DC,∠BAE=∠CDE=90°,AE=DE,
∴△AEB≌△DEC.∴∠DEC=∠AEB.
由(1)知△ABP≌△ADP,∴∠ABP=∠ADP.
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠ADP+∠DEC=90°.
∴∠EQD=90°,即DP⊥CE.
14.(40732292)(中考·长春)在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.
【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE=FG.
(2)连接CM,若CM=1,则FG的长为2.
【应用】如图③,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为9.
解:【探究】(1)证明:如图,作AH∥GF,交BC于点H,则AH=FG,
∵FG⊥BE,AH∥GF,∴AH⊥BE,
∴∠ABE+∠BAH=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC,
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠BAH=∠EBC.
在△ABH和△BCE中,
∵∠BAH=∠EBC,∠ABC=∠C,AB=BC,
∴△ABH≌△BCE,∴AH=BE.
又∵AH=FG,∴BE=FG.
2020春人教版八下数学同步精练18.2.3 正方形（打印版）
基础知识梳理练
1.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的四条边都相等,四个角都是直角.
3.正方形的对角线相等且互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
4.正方形是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线所在的直线、两组对边的中点所在的直线是对称轴.
5.有一组邻边相等的矩形是正方形.
6.有一个角是直角的菱形是正方形.
教材要点分类练
知识点一 正方形的定义
7.(40732260)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,PB∥AC,PC∥BD,PB,PC相交于点P.当矩形ABCD满足什么条件时,四边形PCOB是正方形?说明理由.
解:当AC⊥BD时,四边形PCOB是正方形.理由如下:
∵PB∥AC,PC∥BD,
∴四边形PCOB为平行四边形.
∵四边形ABCD为矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD.∴OB=OC,
∴四边形PCOB是菱形.
∵AC⊥BD,即∠BOC=90°,
∴菱形PCOB为正方形.
知识点二 正方形的性质
8.(40732261)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP的度数是(B)
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
第8题图
第9题图
9.(40732262)(中考·仙桃)如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(C)
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
10.(40732263)(中考·青岛)已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342.
第10题图
第11题图
11.(40732264)如图,P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点,点E是AB的中点,则PA+PE的最小值是52.
12.(40732265)(中考·广东)如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F.求证:AB=EF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠B=90°.
∴∠B=∠AFE,
∠AMB=∠EAF.
又AM=AE,
∴△AMB≌△EAF.
∴AB=EF.
13.(40732266)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,求正方形ABCD的边长.
解:如图,将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF'的位置,可得出△DAF≌△BAF'.
∴DF=BF',∠DAF=∠BAF'.
∴∠EAF'=45°.
在△FAE和△EAF'中,
AF=AF',∠FAE=∠EAF',AE=AE,
∴△FAE≌△F'AE.
∴EF=EF'.
∵△ECF的周长为4,
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4.
∴2BC=4.
∴BC=2.
即正方形ABCD的边长为2.
知识点三 正方形的判定
14.(40732267)如图所示,已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件是(A)
A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
B.AB=BC=CD=DA
C.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
D.AB=BC,CD⊥DA
15.(40732268)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别是E,F.求证:四边形DECF是正方形.
证明:∵CD是角平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴DE=DF,∠CED=∠CFD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴四边形DECF是矩形.
又∵DE=DF,∴矩形DECF是正方形.
16.(40732269)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE∥AC,DF∥AB.当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是正方形?为什么?
解:当△ABC是等腰直角三角形,即AB=AC,∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.理由如下:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴DE∥AF,DF∥AE.
∴四边形AEDF是平行四边形,
∠EAD=∠FDA.
∵BD=CD,AB=AC,
∴AD是∠BAC的平分线.
∴∠EAD=∠FAD,
∴∠FDA=∠FAD.
∴AF=DF.∴?AEDF是菱形.
∵∠BAC=90°,
∴菱形AEDF是正方形.
能力提升创新练
17.(40732270)如图所示,已知正方形ABCD和矩形PECF,其中点P在正方形ABCD的对角线BD上,点E,F分别在边BC,CD上.
(1)若正方形ABCD的周长为40 cm,求矩形PECF的周长;
(2)求证:AP=EF.
(1)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=45°.
∵四边形PECF是矩形,
∴∠PEB=90°.∴∠BPE=45°,PE=BE.
∵正方形ABCD的周长为40 cm,∴BC=10 cm.
于是矩形PECF的周长=2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=20 cm.
(2)证明:连接AC,PC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD垂直平分AC,∴AP=CP.
∵四边形PECF是矩形,
∴EF=CP.∴AP=EF.
18.(40732272)四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF;
(2)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,
∠D=∠ABC=90°.
∵F是CB的延长线上的点,
∴∠ABF=90°.
在△ADE和△ABF中,
AB=AD,∠ABF=∠ADE,BF=DE,
∴△ADE≌△ABF.
(2)解:∵BC=8,∴AD=8.
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE=AD2+DE2=10,
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90°得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°.
∴△AEF的面积为12AE·AF=12×100=50.
19.(40732274)如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB.
(1)求证:PE=PD;
(2)连接DE,试判断∠PED的度数,并证明你的结论.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,
∠ACB=∠ACD.
在△PBC和△PDC中,
BC=CD,∠ACB=∠ACD,PC=PC,
∴△PBC≌△PDC.∴PB=PD.
∵PE=PB,∴PE=PD.
(2)解:判断∠PED=45°.证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°.
∵△PBC≌△PDC,
∴∠PBC=∠PDC.
∵PE=PB,
∴∠PBC=∠PEB.
∴∠PDC=∠PEB.
∵∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°.
在四边形PECD中,∠EPD=360°-(∠PDC+∠PEC)-∠BCD=360°-180°-90°=90°.
又∵PE=PD,∴△PDE是等腰直角三角形.
∴∠PED=45°.
20.(40732275)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
(1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,
∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF.
∴CE=CF.
(2)解:GE=BE+GD成立.理由如下:
由(1)得△CBE≌△CDF.∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°.
又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF.
∴GE=DF+GD=BE+GD.
中考考场必刷练
21.(40732277)(中考·舟山)如图,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.
求证:矩形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°.
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
∠AEF=∠AFE=60°.
又∠CEF=45°,∴∠CFE=45°,
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∴△ABE≌△ADF,∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
22.(40732278)(中考·聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证:AE=BF.
(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵BH⊥AE,∴∠BHE=90°,
∴∠AEB+∠EBH=90°,∴∠BAE=∠EBH.
在△ABE和△BCF中,∠BAE=∠CBF,AB=BC,∠ABE=∠BCF,
∴△ABE≌△BCF,∴AE=BF.
(2)解:由(1)得△ABE≌△BCF,∴BE=CF,
∵正方形边长是5,BE=2,
∴DF=CD-CF=CD-BE=5-2=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:
AF=AD2+DF2=52+32=25+9=34.
专题一 矩形
1.(40732279)矩形具有而菱形不具有的性质是(A)
A.对角线相等 B.两组对边分别平行
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
2.(40732280)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 (B)
A.∠A=∠B B.∠A=∠C
C.AC=BD D.AB⊥BC
3.(40732281)如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=8,点E为BC的中点,连接AE,EF是∠AEC的平分线,交AD于点F,则FD的长度为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(40732282)如图,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC.过点C作CG⊥AD,垂足为G,AF是BC边上的中线,连接FG.
(1)求证:AC=FG;
(2)当AC⊥FG时,△ABC应是怎样的三角形?为什么?
(1)证明:∵AD平分∠EAC,且AD∥BC,
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB.∴AB=AC.
∵AF是BC边上的中线,
∴AF⊥BC.
∵CG⊥AD,AD∥BC,∴CG⊥BC.
∴四边形AFCG是矩形.∴AC=FG.
(2)解:当AC⊥FG时,△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
∵四边形AFCG是矩形,∴四边形AFCG是正方形,∠ACB=45°.
∵AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形.
专题二 菱形
5.(40732283)如图,在?ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则?ABCD的周长为(C)
A.6 B.9 C.12 D.15
第5题图
第6题图
6.(40732284)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60°,则△OCE的面积是(A)
A.3 B.2 C.23 D.4
7.(40732285)如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动,可以添加一个条件,使四边形CBFE为菱形,下列选项中错误的是 (A)
A.BD=AE
B.CB=BF
C.BE⊥CF
D.BA平分∠CBF
8.(40732286)如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中),连接EF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长.
(1)证明:由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得:
AB=AF,∠BAE=∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠FAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.
∴四边形ABEF为平行四边形.
∵AB=AF,
∴四边形ABEF为菱形.
(2)解:∵四边形ABEF为菱形,
∴AE⊥BF,BO=12FB=3,AE=2AO.
在Rt△AOB中,AO=52-32=4.
∴AE=2AO=8.
专题三 正方形
9.(40732287)正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B)
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角相等
10.(40732288)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使?ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是(B)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
11.(40732289)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为18,CE=4,求线段BE的长.
解:设正方形边长为a,
∵S△ABE=18,
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36.
∴a2=36.∵a>0,
∴a=6.在Rt△BCE中,
∵BC=6,CE=4,∠C=90°,
∴BE=BC2+CE2=62+42=213.
12.(40732290)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.
(1)求证:AE=BF;
(2)已知AF=2,EF=4,求四边形ABED的面积.
(1)证明:∵∠BAF+∠DAE=90°,∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠BAF=∠ADE.
在Rt△DEA和Rt△AFB中,
∠ADE=∠BAF,
∠DEA=∠AFB,DA=AB,
∴Rt△DEA≌Rt△AFB,∴AE=BF.
(2)解:AE=EF+AF=4+2=6,∴BF=6.
S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=12AE·(BF+DE)=12×6×(6+2)=24.
13.(40732291)如图,已知正方形ABCD,E为AD的中点,连接BE和EC,BE交AC于点P,连接DP,交CE于Q.求证:
(1)△ABP≌△ADP;
(2)DP⊥CE.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°.
在△ABP和△ADP中,
AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP=AP,
∴△ABP≌△ADP.
(2)∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AEB和△DEC中,
AB=DC,∠BAE=∠CDE=90°,AE=DE,
∴△AEB≌△DEC.∴∠DEC=∠AEB.
由(1)知△ABP≌△ADP,∴∠ABP=∠ADP.
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠ADP+∠DEC=90°.
∴∠EQD=90°,即DP⊥CE.
14.(40732292)(中考·长春)在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.
【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE=FG.
(2)连接CM,若CM=1,则FG的长为2.
【应用】如图③,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为9.
解:【探究】(1)证明:如图,作AH∥GF,交BC于点H,则AH=FG,
∵FG⊥BE,AH∥GF,∴AH⊥BE,
∴∠ABE+∠BAH=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC,
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠BAH=∠EBC.
在△ABH和△BCE中,
∵∠BAH=∠EBC,∠ABC=∠C,AB=BC,
∴△ABH≌△BCE,∴AH=BE.
又∵AH=FG,∴BE=FG.
人教版八下数学 学霸笔记整理18.2.3 正方形
1.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的四条边都相等,四个角都是直角.
3.正方形的对角线相等且互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
4.正方形是轴对称图形,有四条对称轴,两条对角线所在的直线、两组对边中点的连线所在的直线是对称轴.
5.有一组邻边相等的矩形是正方形.
6.有一个角是直角的菱形是正方形.
7.正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的包含关系如图:
1.规律方法:(1)正方形的性质可以从边、角和对角线三个方面说明:
正方形两组对边分别平行邻边互相垂直四条边都相等边四个角都是直角——角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直对角线
(2)判定正方形的方法:
2.解题技巧:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
3.口诀记忆:正方形性质及判定口诀:
①正方形,好应用,边相等,角相同.
菱形性质全具备,外加对角线相等.
各角均是九十度,矩形性质也适用.
②怎么判定正方形,方法可以有多种.
实质不过有两条,你可千万要记清.
矩形还要等边长,菱形尚需四角同.
[典例精析]
【例1】 如图,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC,PD.求证:△APB≌△DPC.
分析:由正方形的性质和已知条件易证∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP,由此可证得两三角形全等.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB.
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,
即∠ABP=∠DCP.
在△APB和△DPC中,
AB=DC,∠ABP=∠DCP,PB=PC,
∴△APB≌△DPC.
解题总结:解决三角形全等问题,首先看要证明的两个全等三角形中已知哪些条件,还缺少什么条件,再根据正方形的性质以及已知条件证明即可.熟练掌握全等三角形的几种判定方法,根据条件选择合适的判定方法是关键.
【例2】 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D,且DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.
分析:过D作DG垂直AB于点G,由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形,由AD为角平分线,利用角平分线定理得到DG=DF,同理得到DE=DG,等量代换得到DE=DF,利用邻边相等的矩形为正方形即可得证.
解:如图,过D作DG⊥AB,交AB于点G,
∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°,
∴四边形CEDF为矩形.
∵AD平分∠CAB,DF⊥AC,DG⊥AB,∴DF=DG.
∵BD平分∠ABC,DG⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=DG.
∴DE=DF.
∴矩形CEDF为正方形.
解题总结:证明一个四边形是正方形的方法:(1) 先证明四边形是矩形,再证明有一组邻边相等即可说明这个四边形是正方形;(2)先证明四边形是菱形,再加上有一个角是直角即可说明这个四边形是正方形.
