3.1.2空间向量的数乘运算(共37张PPT)

(共37张PPT)
复习
上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.
(1) 加法法则及减法法则
平行四边形法则或三角形法则.
(2) 运算律
加法交换律及结合律.
两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.
因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.
借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．
1. 空间向量数乘运算的定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.
（1）结果仍然是一个向量;
（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;
当λ<0时，λa与a方向相反;
当λ=0时，λa是零向量0;
（3）大小: λa的长度是a长度的 |λ|倍.
2.数乘运算的运算律
显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
（1） λa与a之间是什么关系？
（2） λa与a所在直线之间的关系？
对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.
3.共线向量（或平行向量）的定义
表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors） 记作
（1）向量平行与直线平行的比较;
（2）关注零向量;
（3）对空间任意两个向量a与b ,如果 ,那么a与b有什么相等关系?反过来呢?
零向量与任何向量平行
（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;
（2）当我们说 a // b时，也具有同样的意义.
4.共线向量基本定理
对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使
a = λb
（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;
（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）
5.共线向量基本定理的推论
如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点像O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
OP = OA + ta. (1)
其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）
在l上取AB=a，则(1)式可化为
说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
6.共面向量定义
平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.
空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.
7.共面向量的定理
如果两个向量a、b不共线，则向量 p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使
p = x a + y b
8.共面向量的定理的推论
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB
或对空间任一定点O，有
OP = OM + xMA + yMB.
M
对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式

（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、
C是否共面？
原式可以变形为
解答
所以，点P与点A，B，C共面.
如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使
求证：四点E、F、G、H共面.
　　分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.
证明:因为
所以 OE=kOA，OF=kOB，
OG=kOC，OH=kOD.
由于四边形ABCD是平行四边形，所以
AC=AB+AD.
解答
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.
因此
1.空间向量的数乘运算.
2.空间向量的数乘运算的运算律.
满足分配律及结合律.
3.共线向量与共面向量
共面
共线向量 共面向量
定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
定理
推论
运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面
B
解析:
点C在AB上，且∠AOC=30°
设A点坐标为(1，0)，
B点的坐标为(0， )
C点的坐标为(x，y)=( ， )
则∴
1.选择
（1）若对任一点O和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
（2）对于空间任意一点O，下列命题正确的是（ ）.
A.若　　　　　　，则P、A、B共线
B.若　　　　　　，则P是AB的中点
C.若　　　　　　，则P、A、B不共线
D.若　　　　　　，则P、A、B共线
A
（3）下列命题正确的是（ ）
A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B. 向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面
C. 零向量没有确定的方向
D. 若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb
C
A. 中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.
答案C.
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .
解答
2.解答题
已知：
且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.
空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.
解答
∵a // b,且a ≠0，
∴b= λ a，
即
又∵m，n，p不共面，
∴