2.1.2求曲线的方程(共33张PPT)

(共33张PPT)
在上节课的学习中，我们知道，通过方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容，圆锥曲线的几何性质的研究是通过它们的方程展开的. 同学们能总结出这其中的
核心方法吗？
回顾上节课的内容，不难发现，无论是在练习还是例题中，我们都通过坐标系，把点和坐标，曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.
如上节课某例：
以（a，b）为圆心、r为半径的圆的方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2.如果M(x0 ,y0)是圆上的点，则M到圆心的距离d = r，这说明（ x0,y0 ）是方程的一个解.
反之，如果( x0 , y0 ）是方程的一个解，那么该点到圆心的距离一定等于 r，即该点在这个圆上.
点（或直线）与圆锥曲线位置关系的问题，反应在代数上，就是它们的方程组成的方程组有无实数解的问题.方程组有几组解，直线与曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，直线与曲线就没有公共点.
坐标法是研究几何问题的重要方法，因此，我们若总结出坐标法的一般步骤，许多几何问题方可迎刃而解.
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当平面直角坐标系用坐标和
方程表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算解决代数问题;
第三步：把代数运算的结果“翻译”成
几何结论.
我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念，再结合前面提到的坐标法，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹.
数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.
解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程.
（2）通过曲线方程，研究曲线的性质.

本节课我们主要研究曲线方程的问题.

已知：一条直线l和它上方的一个点F，点F到 l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：
建立坐标系的时候，一般应当充分利用已知条件中的定点，定直线等，这样可以使问题中的集合特征得到更好的表示从而使曲线方程得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图2.1-5，取直线 l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立直角坐标系xOy.
设点M (x, y)是曲线上的任意一点，作MB垂直于x轴，垂足为B，那么
点M属于集合
P={M| |MF|-|MB|=2}.
图2.1-5
由两点的距离公式，
点M适合的条件可表示为根号

将1式移项后两边平方，得
x2+(y-2)2=(y+2)2
化简得y = x2
图2.1-5
由于曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以，曲线的方程应是
y = x2 (x≠0)
图2.1-5
由上述例子，可以看出，结合前面所提及的
坐标法，求曲线方程，一般有以下几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x, y)
表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合的条件p的点M的集合
P = { M | p (M) }；
（3）用坐标表示条件 p (M)，列出方程f (x, y)=0；
（4）化方程f (x, y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
一般的，化简前后的方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况可以适当说明.另外，也可以根据情况略去步骤（2），直接列出曲线方程.
接下来，为了巩固这一方法，
我们再来看一个例子…

已知点A(3,0)，点P在圆x2+y2=1
的上半圆周上，∠AOP的平分线交
PA于Q，求点Q的轨迹方程.
坐标法求曲线方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x, y)
表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合的条件p的点M的集合
P = { M | p (M) }；
坐标法求曲线方程的步骤（续）：
（3）用坐标表示条件 p (M)，列出方程
f (x, y)=0；
（4）化方程f (x, y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
1.（2019江苏卷）
如图，圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得
试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.
解：如图，以直线O1O2为轴，线段O1O2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0)．设P(x，y)，则 PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1,
同理PN2=(x-2)2+y2-1
因为
所以(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即x2-12x+y2+3=0即(x-6)2+y2=33.这就是动点P的轨迹方程.
1. 倾斜角为60°，且过原点的直线被圆
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a、b、r满足的条件是 ( )
A
r
2.直线l与直线y=1、x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1,-1)，则直线l的斜率为( )
A
1.若点P( a, b)与点Q(b+1,a-1)关于直线 l 对称，
则直线l的方程是_______________
解： x-y-1=0 P、Q关于直线l对称，故
=-1且 PQ中点在l上，
∴ 又PQ中点为
( , )
∴ l的方程为y- ＝x- ，
即x-y-1=0.此题也可将a, b赋特殊值去求直线l.
2.已知圆的(x-2)2+(y-1)2 =16一条直径通过
直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径
所在直线的方程为___________.
解：2x+y-3=0 由圆的几何意义知该直径
与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为
y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
2x+y-3=0
1.过圆x2+y2=4外一点P(4，-1)引圆
的两条切线.
求：经过两切点的直线方程.
解答题
2.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0 <α< )所得直线的方程为3x-y-4=0，若继续绕点P逆时针方向旋转 ，则得的方程为
x+2y+1=0，试求直线l的方程.
2.解：由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得
∴

∴P点为(1，-1).
又l与l2垂直，故l的方程为y+1=2(x-1)，即l的方程为2x-y-3=0.